第5章 3 一元一次方程的应用-【一课通】2024-2025学年七年级上册数学随堂小练习(北师大版2024)

3　 一元一次方程的应用 第 1 课时　 列一元一次方程解几何问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【边学边练】 知识点一　 等体积图形问题 1. 用一个底面半径为 30 mm、高为 120 mm 的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为 100 mm 的大圆柱形玻璃杯中倒水,倒了满满 10 杯水后,大玻璃杯的液面离杯口还有 15 mm。 设大玻璃杯的高度是 x mm,则可列方程为 　 。 2. 两个圆柱体容器如图所示,它们的直径分别为 4 cm 和 8 cm,高分别为 39 cm 和 10 cm。 先在第一个容器中倒满水,然后将其倒入第二个容器中,全部倒完后,第二个容器的 水面离容器口有　 　 　 　 cm。 　 知识点二　 等周长(或等面积)图形问题 3. 一个长方形的周长是 40 cm,若将长减少 8 cm,宽增加 2 cm,长方形就变成了正方 形,则正方形的边长为 (　 　 ) A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 4. 一个长方形篮球场的周长为 86 米,长是宽的 2 倍少 2 米。 如果设这个篮球场的宽 为 x 米,那么篮球场的长为 米。 【随堂小测】 1. 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形的饰物,如图实线所示(单位:cm)。 小颖将梯形下 底的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,如图虚线所示。 小颖所钉长方形的 长、宽各为多少厘米? 如果设长方形的长为 x cm,根据题意可列方程为 (　 　 ) A. 2(x+10)= 10×4+6×2 B. 2(x+10)= 10×3+6×2 C. 2x+10 = 10×4+6×2 D. 2(x+10)= 10×2+6×2 98 2. 如图,某同学从一个正方形纸片 ABCD 上剪去一个宽 AE 为 5 cm 的长方形纸条 AEFD,再从剩下的长方形纸片 BCFE 上剪去一个宽 CH 为 6 cm 的长方形纸条 CFGH。 若两次剪下的长方形纸条 AEFD 和 CFGH 的面积相等,则剪下的每一个长方形纸条 的面积均为 (　 　 ) A. 30 cm2 B. 150 cm2 C. 160 cm2 D. 900 cm2 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 4 题图 3. 如图是由六个不同的正方形组成的大长方形,已知中间最小的一个正方形 A 的边长 为 1,那么大长方形中的正方形 C 的面积是 。 4. 如图,一个盖着盖的容器里装着一些水,根据图中标明的数据可计算该容器的容积 是　 　 　 　 cm3。 5. 如图,图 1 是边长为 24 的正方形纸板,裁掉阴影部分后将其折叠成如图 2 所示的长 方体盒子,已知该长方体的宽是高的 2 倍,求长方体的体积。 图 1 　 →　 图 2 6. (新素养·几何直观)好朋友给小亮过生日,如图,现有底面直径为 16 cm,高为 30 cm 的圆柱形容器,里面装满了果汁,小亮要把果汁分装到底面直径为 8 cm 的 10 个小 圆柱形杯子里(每个杯子刚好装满),与好友分享,请你帮他计算杯子的高度。 09 第 2 课时　 列一元一次方程解盈亏问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【边学边练】 知识点　 列一元一次方程解盈亏问题 1. 《九章算术》中有这样一道题:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三。 问人数、羊价几何?”这道题的意思是今有若干人共买一头羊,若每人出 5 钱,则还 差 45 钱;若每人出 7 钱,则仍然差 3 钱。 求买羊的人数和这头羊的价格。 设买羊的 人数为 x,根据题意可列方程为 (　 　 ) A. 5x-45 = 7x+3 B. 5x+45 = 7x-3 C. 5x-45 = 7x-3 D. 5x+45 = 7x+3 2. 我国古代数学著作“算经十书”之首《九章算术》中记载了一个问题:“今有人共买 鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六。 问人数、鸡价各几何?”其意思为有若干人 一起买鸡,若每人出 9 文钱,则多出 11 文钱;若每人出 6 文钱,则还差 16 文钱。 求 人数和鸡的价格。 鸡的价格为　 　 　 　 文钱。 3. 某中学九年级毕业生在礼堂就座进行毕业典礼,若一条长椅上坐 4 人,就有 22 人没 座位;若一条长椅上坐 5 人,最后一条长椅上空出了 3 个座位。 求长椅条数和学生 的人数。 【随堂小测】 1. 我国古代《孙子算经》记载了这样一个数学问题:“今有三人共车,二车空;二人共 车,五人步。 问车有几何?”意思是每 3 人共乘一辆车,最终剩余 2 辆车;每 2 人共乘 一辆车,最终有 5 人无车可乘。 则车有 (　 　 ) A. 10 辆 B. 11 辆 C. 12 辆 D. 9 辆 2. 《孙子算经》中有这样一道题,原文如下:“今有百鹿入城,家取一鹿,不尽;又三家共 一鹿,适尽。 问城中家几何?”大意为今有 100 头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完; 剩下的鹿每 3 家共取一头,恰好取完。 则城中有　 　 　 　 户人家。 19 3. 阳春三月,正是旅游踏青的好时机,为丰富员工业余生活,缓解工作压力,增进各部 门沟通交流,增强凝聚力,某单位组织员工出游。 原计划租用 28 座客车若干辆,但 有 18 人没有座位,若租用同样数量的 30 座客车,仍有 10 人没有座位,其余客车都 已坐满。 求该单位组织出游的员工人数。 4. 某社区组织志愿者服务小组利用周末时间购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老 人。 如果送给每位老人 3 袋,那么剩余 12 袋;如果送给每位老人 4 袋,那么还差 24 袋。 敬老院一共有多少位老人? 5. 某中学从某商店购买了若干件文具,准备分配给七年级各班。 若每班分 5 件,则会 余 7 件;若每班分 6 件,则会少 5 件。 学校这次一共购买了多少件文具? 6. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”,书中记载:“清明游园,共坐八 船,大船满六,小船满四,三十八学子,满船坐观。 请问客家,大小几船?”其大意为 清明时节出去游园,所有人共坐了 8 只船,大船每只坐 6 人,小船每只坐 4 人,38 人 刚好坐满。 问大小船各有几只? 29 第 3 课时　 列一元一次方程解行程问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【边学边练】 知识点　 列一元一次方程解行程问题 1. 小明参加了一场 2 000 米的跑步比赛,他以 6 米 /秒的速度跑了一段路程后,又以 5 米 /秒的速度跑完了剩下的路程,一共花了 10 分钟。 设小明以 6 米 /秒的速度跑 了 x 米,可列方程为 (　 　 ) A. 6x= 5(x+10) B. x 6 +2 000-x 5 = 10 C. x 5 +2 000-x 6 = 60×10 D. x 6 +2 000-x 5 = 60×10 2. A,B 两地相距 95 km,上午 8 时甲、乙两人分别从 A,B 两地同时出发,相向而行,已 知甲比乙每小时多走 0. 5 km,2 h 两人共走了 25 km。 (1)求甲、乙两人的平均速度; (2)因为天气原因,在出发 2 h 后,两人分别加快了行走速度,甲每小时比原来多走 0. 8 km,乙每小时比原来多走 0. 7 km,按此速度,甲、乙两人在什么时刻相遇? (中途两人各休息 30 min) 【随堂小测】 1. 小明以每小时 4 千米的速度从家步行到学校上学,放学时以每小时 3 千米的速度按 原路返回,结果发现比上学所花的时间多 10 分钟。 如果设上学路上所花的时间为 x 小时,根据题意,所列方程正确的是 (　 　 ) A. 4x= 3 (x+ 16 ) B. 4 (x+ 1 6 ) = 3x C. 4 (x- 16 ) = 3x D. 4x= 3(x-10) 2. 甲、乙两人在 300 米的环形跑道上跑步,甲每分钟跑 100 米,乙每分钟跑 80 米。 若 他们从同一地点同时同向出发,则他们第一次相遇时用了 (　 　 ) A. 10 分钟 B. 15 分钟 C. 20 分钟 D. 30 分钟 39 3. 一列火车正在匀速行驶,它先用 30 s 通过了一条长 280 m 的桥(即从车头进入桥头到 车尾离开桥尾),又用 20 s 通过了一条长为 120 m 的桥,这列火车的长度是 (　 　 ) A. 160 m B. 180 m C. 200 m D. 220 m 4. 一天小明带着小狗从 A 地出发,同时小红从距 A 地 1 000 米的 B 地出发,相向而行。 小明每分钟走 45 米,小红每分钟走 55 米,小狗每分钟跑 150 米,在小明和小红相向而行 的过程中,小狗不停地在两人间来回跑。 当两人相遇时,小狗一共跑了　 　 　 　 米的路。 5. 甲、乙两人从 A 地到 B 地,甲的速度为 8 km/ h,乙的速度为 10 km/ h,甲出发 30 min 后,乙开始出发,结果两人同时到达 B 地。 求 A 地到 B 地的距离。 6. 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了 10 小时,从乙码头返回甲码头逆流行驶, 用了 15 小时。 已知水流的速度是 5 千米 /时。 (1)求船在静水中的平均速度; (2)两码头之间的距离是多少千米? 49 化简,得 1 2 ( x 2 - x 2 026 ) = 1 012, 即 1 2 ×1 012 2 026 x= 1 012。 系数化为 1,得 x= 4 052。 3　 一元一次方程的应用 第 1 课时　 列一元一次方程解几何问题 【边学边练】 1. π×1002 ×(x-15)= π×302 ×120×10 2. 0. 25　 3. B　 4. 28 【随堂小测】 1. A 2. B　 【解析】设正方形 ABCD 的边长为 x cm,则长方形 AEFD 的面积为 5x cm2,长方形 CFGH 面积为 6(x-5)cm2。 因为两次剪下的长方形纸条 AEFD 和 CFGH 的面积 相等,所以 5x = 6( x- 5)。 解得 x = 30。 所以 5x = 5× 30 = 150。 所以剪下的每一个长方形纸条的面积均为 150 cm2。 故选 B。 3. 16 4. 70　 【解析】设容器的容积是 x cm3,根据题意,得 x- (9-7)×10 = 10×5。 解得 x = 70。 所以该容器的容积 是 70 cm3。 5.解:设长方体的高为 x,则其宽为 1 2 (24-2x)。 根据题意,得 1 2 (24-2x)= 2x。 解得 x= 4。 所以长方体的宽为 8,高为 4,长为 24-4×2 = 16。 所以长方体的体积为 8×4×16 = 512。 6.解:设杯子的高度为 x cm。 根据题意,得 10π ( 82 ) 2 x= π ( 162 ) 2 ×30。 解得 x= 12。 所以杯子的高度是 12 cm。 第 2 课时　 列一元一次方程解盈亏问题 【边学边练】 1. D 2. 70　 【解析】 设鸡的价格为 x 文钱,根据题意,得 x+11 9 = x-16 6 。 解得 x= 70。 所以鸡的价格为 70 文钱。 3.解:设礼堂有 x 条长椅,则该中学九年级毕业生共有 (4x+22)人。 根据题意,得 4x+22 = 5x-3。 解得 x= 25。 所以 4x+22 = 4×25+22 = 122。 所以该中学九年级毕业生共有 122 人,礼堂有 25 条 长椅。 【随堂小测】 1. B　 2. 75 3.解:设该单位组织出游的员工人数为 x。 根据题意,得x -18 28 = x-10 30 。 解得 x= 130。 所以该单位组织出游的员工人数为 130。 4.解:设敬老院一共有 x 位老人。 根据题意,得 3x+12 = 4x-24。 解得 x= 36。 所以敬老院一共有 36 位老人。 5.解:设学校这次一共购买了 x 件文具。 根据题意,得x -7 5 = x+5 6 。 解得 x= 67。 所以学校这次一共购买了 67 件文具。 6.解:设大船有 x 只,则小船有(8-x)只。 根据题意,得 6x+4(8-x)= 38。 解得 x= 3。 所以 8-x= 8-3 = 5。 所以大船有 3 只,小船有 5 只。 第 3 课时　 列一元一次方程解行程问题 【边学边练】 1. D 2.解:(1) 设甲的速度为 a km / h,则乙的速度为 ( a - 0. 5)km / h。 由题意可得 2a+2(a-0. 5)= 25。 解得 a= 6. 5。 所以 a-0. 5 = 6。 所以甲的平均速度为 6. 5 km / h, 乙的平均速度 为 6 km / h。 (2)设甲、乙两人从开始到相遇经过 x h。 由题意可得 25+(6. 5+0. 8)(x-2-0. 5) +(6+0. 7) (x- 2-0. 5)= 95。 解得 x= 7. 5。 因为上午 8 时出发,经过 7. 5 h 后两人相遇,所以甲、 乙两人在 15 时 30 分相遇。 【随堂小测】 1. A　 2. B　 3. C 4. 1 500　 【解析】设小明和小红相遇时用了 x 分钟,根 据题意,得 45x+55x= 1 000。 解得 x= 10。 所以 150x= 150×10 = 1 500。 5.解:设 A 地到 B 地的距离为 x km。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 131 根据题意,得 x 8 - x 10 = 30 60 。 解得 x= 20。 所以 A 地到 B 地的距离为 20 km。 6.解:(1)设船在静水中的平均速度为 x 千米 /时。 根据题意,得 10×(x+5)= 15×(x-5)。 解得 x= 25。 所以船在静水中的平均速度为 25 千米 /时。 (2)由(1)知,船在静水中的平均速度为 25 千米 /时, 则两码头之间的距离为 10×(25+5)= 300(千米)。 所以两码头之间的距离是 300 千米。 专题 5　 列一元一次方程解决实际问题 1. A　 2. D 3.解:设裁剪侧面的学生有 x 人,则裁剪底面的学生有 (45-x)人。 根据题意,得60x 3 = 50×(45-x) 2 。 解得 x= 25。 所以 45-x= 45-25 = 20。 所以裁剪侧面的学生有 25 人,裁剪底面的学生有 20 人。 4.解:(1)设甲工程队整治河道 x 天,则乙工程队整治河 道(25-x)天。 根据题意,得 8x+12(25-x)= 260。 解得 x= 10。 所以 25-x= 25-10 = 15。 所以甲工程队整治河道 10 天,乙工程队整治河道 15 天。 (2)根据题意,得 800×10+1 000×15 = 8 000+15 000 = 23 000(元)。 所以一共需要支付两个工程队 23 000 元。 5.解:(1)由题意,得 10a= 28. 8。 解得 a= 2. 88。 所以 a 的值为 2. 88。 (2)设该用户 10 月份用水 x 立方米。 因为用水 40 立方米时,水费为 40×2. 88= 115. 2(元), 所以 x>40。 所以 40×2. 88+(x-40) ×(2. 88+1. 12) = 155. 2。 解得 x= 50。 所以该用户 10 月份用水 50 立方米。 6.解:(1)设租用了 x 条四座电瓶船,则租用了(10-x)条 六座电瓶船。 根据题意,得 100x+120(10-x)= 1 060。 解得 x= 7。 所以租用了 7 条四座电瓶船。 (2)由(1)可知,共有学生 4×7+6×(10-7)= 46(名)。 方案一:租用 7 条四座电瓶船,3 条六座电瓶船,总费 用为 1 060 元; 方案二:租用 10 条四座电瓶船,1 条六座电瓶船,总 费用为 100×10+120×1 = 1 120(元); 方案三:租用 4 条四座电瓶船,5 条六座电瓶船,总费 用为 100×4+120×5 = 1 000(元); 方案四:租用 1 条四座电瓶船,7 条六座电瓶船,总费 用为 100×1+120×7 = 940(元)。 因为 940<1 000<1 060<1 120,所以最省钱的方案是 租用 1 条四座电瓶船,7 条六座电瓶船。 ☆问题解决策略:直观分析 1.解:设 A,B 两地之间的距离为 x km。 由题意,得 x 200 - x 300 = (11-10)。 解得 x= 600。 所以 A,B 两地之间的距离为 600 km。 2.解:(1)设奉节到宜昌的水上距离是 x km。 根据题意,得 x 14 -350-x 10 = 1。 解得 x= 210。 所以奉节到宜昌的水上距离是 210 km。 (2)不能。 理由如下: 210 14 +350-210 10 = 15+14 = 29(h)。 因为 29>24, 所以李白不能在一日之内从白帝城到达江陵。 3.解:设非遗文献馆的座席有 2x 个,少年儿童馆座席有 3x 个,则山体阅览区的座席有 4 × 3x + 200 = ( 12x + 200)个。 由题意,得 2x+3x+(12x+200)= 1 900。 解得 x= 100。 所以 2x= 200,3x= 300,12x+200 = 1 400。 所以山体阅览区的座席有 1 400 个、非遗文献馆的座 席有 200 个、少年儿童馆的座席有 300 个。 4.解:(1)设甲种节能灯进了 x 只,则乙种节能灯进了 (100-x)只。 根据题意,得 60x+70(100-x)= 6 600。 解得 x= 40。 所以 100-x= 100-40 = 60。 所以甲种节能灯进了 40 只,乙种节能灯进了 60 只。 (2)根据题意,得(80-60) ×40+(100-70) ×60 = 20×40+30×60 = 800+1 800 = 2 600(元)。 所以该商场获利 2 600 元。 5.解:任务 1:设兑换前购买了 4x 支钢笔,3x 本笔记本。 由题意,可得 10×4x+5×3x= 1 100。 解得 x= 20。 所以 4x= 4×20 = 80,3x= 3×20 = 60。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 231