第3章 3 探索与表达规律-【一课通】2024-2025学年七年级上册数学随堂小练习(北师大版2024)

3　 探索与表达规律 第 1 课时　 探索规律 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【边学边练】 知识点　 探索规律 1. 小明在日历表的同一列圈出相邻的 3 个数,这 3 个数的和可能是 (　 　 ) A. 21 B. 45 C. 49 D. 75 2. 将连续的奇数 1,3,5,7,…,按如图所示方式排列,并用一个十字形框架框住其中的 五个数,设中间的数为 a,则十字形框架中的五个数的和是 (　 　 ) A. 5a+50 B. 5a+2 C. 5a D. 5a-2 3. 下列图案是晋商大院窗格的一部分,其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸,则第 n 个图 案中所贴剪纸“〇”的个数为 (　 　 ) 图 1 　 图 2 　 图 3 　 … A. 3n B. 3n+1 C. 3n+2 D. 3n+3 【随堂小测】 1. 如图是用 摆成的,按照这种摆法,第 n 个图形中 的个数是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 … 　 　 　 　 　 图 1 　 　 图 2　 　 　 　 图 3　 　 　 　 　 图 4　 A. n2 +1 B. n2 -1 C. n(n+1) D. n2 2. 观察如图所示的图形中数字间的关系,得出图 4 中 x 的值是 (　 　 ) 图 1 　 图 2 　 图 3 　 图 4 A. 11 B. 5 C. 3 D. 4 75 3. 如图是一组有规律的图案,它由若干个大小相同的基本图形 组成。 第 1 个图 案中有 2 个圆,第 2 个图案中有 5 个圆,第 3 个图案中有 8 个圆……按此规律,第 n 个 图案中圆的个数为 。 (用含 n 的代数式表示) 第 1 个 　 　 第 2 个 　 　 第 3 个 　 　 … 4. 将 50 个连续奇数 1,3,5,7,9,…,99 排成如图所示的数表。 (1)▱框内四个数之和是 4 的倍数吗? (2)若将这个框上下左右移动,可框住另外四个数,(1)中的规律还成立吗? 请说明 理由。 5. 某种墙角线瓷砖的铺设方式如图所示,图 1 为当有 1 块灰色瓷砖时,白色瓷砖有 3 块;图 2 为当有 2 块灰色瓷砖时,白色瓷砖有 6 块;图 3 为当有 3 块灰色瓷砖时,白 色瓷砖有 9 块…… (1)当铺设墙角线瓷砖时,用了 n 块灰色瓷砖,请用含 n 的代数式表示白色瓷砖所 用的块数; (2)当灰色瓷砖有 40 块时,白色瓷砖有多少块? (3)当铺设完墙角线时,白色瓷砖比灰色瓷砖多用了 264 块,灰色瓷砖用了多少块? 图 1 　 图 2 　 图 3 　 图 4 　 … 85 第 2 课时　 数字游戏 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【边学边练】 知识点　 利用整式的加减解释数字游戏 1. 数学活动课上,老师做了一个有趣的游戏:开始时东东、亮亮和乐乐三位同学手中均 有 a 张扑克牌(假定 a 足够大),然后依次完成以下三个步骤:第一步,东东拿出 2 张扑克牌给亮亮;第二步,乐乐拿出 3 张扑克牌给亮亮;第三步,东东手中此时有 多少张扑克牌,亮亮就拿出多少张扑克牌给东东。 游戏过程中,亮亮手中扑克牌张 数的变化情况正确的是 (　 　 ) A. a→a+2→a+3→1 B. a→a+2→a+5→3 C. a→a+2→a+5→2a+3 D. a→a+2→a+5→7 2. 一个四位数能不能被 9 整除,只要看这个数的各位数字之和能不能被 9 整除,这是 为什么? 3. 数学课上,李老师和同学们做了一个猜数游戏,游戏规则是第一步:请同学们任意写 一个各数位上的数字均相同的三位数;第二步:计算出这个三位数除以各数位上的 数字之和的商。 李老师均能猜出同学们计算的结果,请你说明其中的道理。 【随堂小测】 1. 寒寒和阳阳在做数学游戏,寒寒对阳阳说:“你在心里想一个数,不说出来。 把想好 的这个数减去 4,把所得的差乘 2,然后再加 7,最后再减去所想数的 2 倍,得到一个 结果。 无论你心里想的是几,我都能猜中刚才的结果。”设阳阳想的数是 x,寒寒猜 中的结果是 (　 　 ) A. 1 B. -1 C. 3 D. 4x+3 2. 甲、乙两同学玩猜数游戏,甲说:“你随便选定一个三位数,按如下的步骤做:①百位 上的数字乘 5;②结果加上 5;③再乘 2;④再加上十位上的数字;⑤乘 10;⑥最后加 上个位数字。 只要你告诉我最后的结果,我便可以说出那个三位数。”乙同学试了 95 几次,果真如此。 请你指出甲同学是如何猜出这个三位数的,并用数学知识说明 理由。 3. 某班有 48 名学生,其中有 25 名男生和 23 名女生,在某次体育活动时,该班分成甲、 乙两组,甲组 29 人,乙组 19 人。 (1)若设甲组有男生 x 人(x>6 且 x 为整数),请你用含 x 的代数式表示: ①甲组女生的人数是　 　 　 　 ; ②乙组男生的人数是 ; ③乙组女生的人数是　 　 　 　 。 (2)小强是一个爱动脑筋的学生,他说按上面分组,无论男女如何分,甲组中的男生 总比乙组中的女生多 6 人,他说的对吗? 为什么? 4. (新素养·模型观念)一堆足够多的棋子,其数目是 3 的倍数,现在依次进行如下 操作: 第一步:将棋子平均分成左、中、右三堆; 第二步:从左堆中取出 5 枚棋子放入中堆,再从右堆中取出 3 枚棋子放入中堆; 第三步:从中堆取出与左堆余留棋子数相等的棋子放入左堆。 (1)若这堆棋子数为 30,第三步完成后,中堆有多少枚棋子? (2)若将题中第二步改为从左堆中取出 8 枚棋子放入中堆,再从右堆中取出 4 枚棋 子放入中堆,其余步骤不变,则完成第三步后,中堆有多少枚棋子? (要有计算 过程) 06 因为这种材料每米的价格为 a 元,所以这位用户共需 要花的钱数为(21xa+19ya)元。 7.解:(1)因为 2A+B=C, 所以 B=C-2A = 4a2b-3ab2 +4abc-2(3a2b-2ab2 +abc) = 4a2b-3ab2 +4abc-6a2b+4ab2 -2abc = -2a2b+ab2 +2abc。 (2)2A-B = 2(3a2b-2ab2 +abc) -( -2a2b+ab2 +2abc) = 6a2b-4ab2 +2abc+2a2b-ab2 -2abc = 8a2b-5ab2 。 因为正确结果中不含 c,所以小强的说法对,正确结 果的大小与 c 的取值无关。 (3)将 a = 1 8 ,b = 1 5 ,代入(2)中的代数式,得 8a2b- 5ab2 = 8× ( 18 ) 2 × 1 5 -5× 1 8 × ( 15 ) 2 = 1 40 - 1 40 = 0。 专题 2　 整式的化简求值 1.解:3(2x2y-xy2 ) -(4x2y+xy2 ) = 6x2y-3xy2 -4x2y-xy2 = (6-4)x2y-(3+1)xy2 = 2x2y-4xy2 。 当 x= 2,y= -1 时, 原式= 2×22 ×( -1) -4×2×( -1) 2 = -8-8 = -16。 2.解:5m2 -[m-2(3m-1) +4m2 ] = 5m2 -(m-6m+2+4m2 ) = 5m2 -m+6m-2-4m2 =m2 +5m-2。 当 m= 2 时,原式= 22 +5×2-2 = 4+10-2 = 12。 3.解:3(2x2y-xy2 ) -(5x2y+2xy2 ) = 6x2y-3xy2 -5x2y-2xy2 = x2y-5xy2 。 因为 | x+5 | = 0,y 是-2 的相反数, 所以 x+5 = 0,y= 2。 所以 x= -5。 原式= ( -5) 2 ×2-5×( -5) ×22 = 50+100 = 150。 4.解:(3a2 -2ab+b2 ) -(a2 -2ab-3b2 ) = 3a2 -2ab+b2 -a2 +2ab+3b2 = 2a2 +4b2 = 2(a2 +2b2 )。 当 a2 +2b2 = 5 时,原式= 2×5 = 10。 5.解:2(x2 -x) -3(x-1) +(3x-4) = 2x2 -2x-3x+3+3x-4 = 2x2 -2x-1。 因为 x2 -x+5 = 7,所以 x2 -x= 2。 所以原式= 2(x2 -x) -1 = 2×2-1 = 3。 6.解:(a-3c) +(5b-d) -(5b-3c) =a-3c+5b-d-5b+3c = (a-5b) +(5b-3c) +(3c-d)。 当 a-5b= 3,5b-3c= -5,3c-d= 10 时, 原式= 3+( -5) +10 = 8。 7.解:(1)因为 A= 3x2y-xy2 ,B= 5xy2 -3x2y, 所以 5A+B= 5(3x2y-xy2 ) +5xy2 -3x2y = 15x2y-5xy2 +5xy2 -3x2y = 12x2y。 (2)当 x= 1 2 ,y= 1 3 时,5A+B= 12× ( 12 ) 2 × 1 3 = 1。 8.解:(1)3A-(2A+B)= 3A-2A-B=A-B = 2x2 -4xy+6y+3-(x2 -xy+1) = 2x2 -4xy+6y+3-x2 +xy-1 = 2x2 -x2 -4xy+xy+6y+3-1 = x2 -3xy+6y+2。 (2)由(1),得 3A-( 2A+B) = x2 - 3xy+ 6y+ 2 = x2 +( 6- 3x)y+2。 因为 3A-(2A+B)的值与 y 的取值无关, 所以 6-3x= 0,x= 2。 所以 3A-(2A+B)= x2 +(6-3x) y+2 = 22 +(6-3×2) y+ 2 = 4+0+2 = 6。 所以(1)中代数式的值为 6。 3　 探索与表达规律 第 1 课时　 探索规律 【边学边练】 1. B　 2. C 3. C　 【解析】第一个图案为 3+2 = 5(个)剪纸;第二个 图案为 3×2+2 = 8(个)剪纸;第三个图案为 3×3+2 = 11(个)剪纸……从而可以探究第 n 个图案所贴的剪 纸数为(3n+2)个。 故选 C。 【随堂小测】 1. C　 【解析】由图形的变化可知,第 1 个图形有 1×2 个 星星,第 2 个图形有 2×3 个星星,第 3 个图形有 3×4 个 星星,第 4 个图形有 4×5 个星星,所以第 n 个图形有 n(n+1)个星星。 故选 C。 2. A　 【解析】观察图形,得图 1 中 2×4-1×5 = 3,图 2 中 4×3-2×6 = 0,图 3 中 3×5-4×(-2)= 23。 发现规律: 右上角数字与左下角数字的乘积减去左上角数字与 右下角数字的乘积所得的差等于中间的数字,所以 2×4-(-1)×3 = x。 所以 x= 11。 故选 A。 3. 3n-1　 【解析】第 1 个图案中有 2 个圆,第 2 个图案中 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 221 有 5 个圆,第 3 个图案中有 8 个圆……按此规律,第 n 个 图案中圆的个数为 3n-1。 4.解:(1)是。 因为 15+17+23+25 = 80 = 4×20,所以▱框 内四个数之和是 4 的倍数。 (2)还成立。 理由如下: 设左上角的数是 x,则其他三个数可表示为 x+2,x+8, x+10。 所以 x+(x+2) +(x+8) +(x+10)= 4x+20 = 4(x+5)。 所以这四个数的和是 4 的倍数。 所以(1)中的规律还成立。 5.解:(1)由题意可知,图 1 为当有 1 块灰色瓷砖时,白 色瓷砖有 1×3 = 3(块);图 2 为当有 2 块灰色瓷砖时, 白色瓷砖有 2×3 = 6(块);图 3 为当有 3 块灰色瓷砖 时,白色瓷砖有 3×3 = 9(块)…… 观察可知,当有 n 块灰色瓷砖时,白色瓷砖有 3n 块, 即当铺设墙角线瓷砖时,用了 n 块灰色瓷砖,则白色 瓷砖所用的块数为 3n。 (2)由(1) 可知,当有 n 块灰色瓷砖时,白色瓷砖有 3n 块, 所以当 n= 40 时,白色瓷砖有 3×40 = 120(块)。 (3)设灰色瓷砖用了 x 块,则白色瓷砖用了 3x 块。 由题意,得 3x-x= 264。 所以 x= 132,即灰色瓷砖用了 132 块。 第 2 课时　 数字游戏 【边学边练】 1. D　 【解析】第一步后:东东 a-2,亮亮 a+2,乐乐 a;第 二步后:东东 a-2,亮亮 a+2+3 = a+5,乐乐 a-3;第三 步后:东东 2(a-2),亮亮 a+5-(a-2)= 7,乐乐 a-3。 故选 D。 2 解:设这个四位数为 1 000a+100b+10c+d,如果 a+b+ c+d= 9k, 那么 1 000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+a+b+c+d = 999a+99b+9c+9k = 9(111a+11b+c+k)。 所以 1 000a+100b+10c+d 能被 9 整除。 3.解:设这个三位数的各数位上的数字为 x,则这个三 位数为 100x+10x+x = 111x。 各数位上的数字之和为 x+x+x = 3x,所以 111x÷3x = 37,即这个三位数除以各 数位上的数字之和的商总是 37。 【随堂小测】 1. B 2.解:只要将说出的三位数减去 100 就知道了。 理由 如下: 设百位上的数字为 a,十位上的数字为 b,个位上 的数字为 c, 则 乙 按 步 骤 做 所 得 的 三 位 数 为 10[2(5a+5) +b] +c,化简后为 100a+10b+c+100,减去 100 就是原三位数。 3.解:(1)①29-x　 ②25-x　 ③x-6 (2)由(1)可知,乙组女生的人数是 x-6 人, 所以 x-(x-6)= 6,即无论男女如何分,甲组中的男生 总比乙组中的女生多 6 人。 所以小强说的对。 4.解:(1)第一步完成后,左、中、右三堆棋子数为 10, 10,10。 第二步完成后,左、中、右三堆棋子数为 5,18, 7;第三步完成后,左、中、右三堆棋子数为 10,13,7。 所以中堆有 13 枚棋子。 (2)设这堆棋子数为 3n(n 是正整数),第一步完成 后,左、中、右三堆棋子数为 n,n,n;第二步完成后, 左、中、右三堆棋子数为 n-8,n+8+4,n-4;第三步完 成后,左、中、右三堆棋子数为 n-8+n-8,n+8+4-(n- 8),n-4。 所以中堆有 n+8+4-(n-8)= 20(枚)棋子。 ☆问题解决策略:归纳 【边学边练】 1. D　 2. B 【随堂小测】 1. C　 【解析】由三种元素原子结构示意图可知,原子核 外电子排布为第一层 2 个,第二层 8 个,三个电子层 的电子数之和等于原子核中的数字。 故该元素原子 结构的原子核中数字为 2+8+6 = 16。 故选 C。 2. A　 【解析】由题知,1 号箱子放入球的颜色是红色, 2 号箱子放入球的颜色是绿色,3 号箱子放入球的颜 色是白色,4 号箱子放入球的颜色是红色……所以放 入箱子中球的颜色按红、绿、白循环出现。 则小明走 第 1 圈时,放入 4 号箱子球的颜色是红色。 因为 20÷ 3 = 6……2,所以小明走第 1 圈时,放入 20 号箱子球 的颜色是绿的。 则小明走第 2 圈时,放入箱子中球的 颜色按白、红、绿循环出现。 则小明走第 2 圈时,放入 4 号箱子中球的颜色是白色。 依次类推,小明每走一 圈,放入 4 号箱子中球的颜色按红、白、绿循环出现, 即走 3 圈一个循环。 因为 50÷3 = 16……2,小明沿着 圆桌走了 50 圈,所以 4 号箱内绿球的颗数为 16。 故 选 A。 3. 108　 【解析】图 1 有 3 枚棋子,图 2 有 3+6=9(枚)棋子, 图 3 有 3+6+9=18(枚)棋子……图 8 有 3+6+9+…+24 = 3×(1+2+3+4+…+7+8)= 108(枚)棋子。 4. 102　 【解析】对于这列数 2,-4,6,-8,10,-12,…,奇 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 321