第3章 3 勾股定理的应用举例-【一课通】2024-2025学年七年级上册数学随堂小练习(五四制鲁教版)

..... 可撕可裁 勾股定理的应用举例 第1课时 勾股定理的应用(一) 【边学边练】 知识点一 勾股定理的应用 1.如图所示,圆柱的底面周长为6cm.AC是底面圆的直径,高BC=6cm.P是母线BC 是 A3cm 1cn 第1题图 第2题图 2.如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm.高为6cm.如果用一根细线从点A开 始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm. 知识点二 直角三角形的判定的应用 3.如图,有一段斜坡BC长为10m.坡角2CBD>45*,因为斜坡较为陆峭,为方便行人 通行,现准备把坡角降低.已知CD=8m.BD=6m.AB=9m.求斜坡新起点A与点 C的距离. 【随堂小测】 1.如图,校园内有两棵树,相距12m,一棵树高13m,另一棵树高8m,一只小鸟从一 棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞 m. # 20 第1题图 第2题图 2.(易错题)如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为20dm,3dm,2dm,A 和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂 蚁从A点沿着台阶面爬到B点的最短路程是 47 3.如图是一个底面为等边三角形的三校柱,小丽在三校柱的侧面,从顶点A到顶点A 镶上一圈金属丝,已知此三梭柱的高为5cm.底面边长为4cm.则这圈金属丝的长 C 度至少为 __ A.8cm B.13cm C.12cm D.15cm # 1 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图是滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆 柱”而成的,中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆,其边缘AB三CD= 20m.小明要在AB上选取一点E.使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行路程最 短,则他滑行的最短路程约为 m.(取3) 5.(核心素养·抽象能力)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内 壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cn 与蜂密相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm. (杯壁厚度不计) 6.小明要外出旅游,他所带的行李箱长60cm,宽40cm,高30cm,如图.一把70cm长 的雨伞能否装进这个行李箱? 7.(核心素养·几何直观)某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下,在临 街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图,已知AB=9m.BC=12m.CD= 17m.AD=8m.技术人员在只有卷尺的情况下,通过测量某两点之间距离,便快速 确定了乙ABC=90o (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定之ABC=90{的依据; (2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元,试计算绿化这片空地共需花费多 少元? 住宅 48 ># ..... 可撕可裁 ...................... 第2课时 勾股定理的应用(二) 【边学边练】 知识点 勾股定理的应用 1.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1m.一阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐 及水面,已知红莲移动的水平距离为2m.则这里水深是 .m. 2.某工厂大门形状如图所示,其上方为半圆,下方为长方形,工厂门口的 道路为双行道(双行道中间隔离带忽略不计).要想使宽为1.2m、高为 23m 2.8m的卡车安全通过,那么此大门的宽度至少应增加 ( ) B.0.6m A.1.7m C.0.3m D.1m 2m 【随堂小测】 1.(核心素养·抽象能力)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:“今有开门 去阐(读kún,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?”题目大意是推开双门,双 门间隙CD的距离为2寸(如图1.图2为图1的平面示意图),点C和点D距离门 ( 槛AB都为1尺(1尺三10寸),则AB的长是 ) 门槛 {_ 图1 图2 A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 2.如图,在Rt△ABC中, B=90*}AB=3.BC=4.将△ABC折叠,使点B恰好落在边 AC上,与点B'重合,AE为折痕,则EB'= - 23m 第2题图 第3题图 3.一辆装满货物的卡车,高2.5m,宽1.6m,想要开进某工厂,工厂厂门如图所示(上 部分为半圆,下部分为长方形),则这辆卡车 (填“能”或“不能”)通过 4 4.如图是一个滑梯示意图,左边是楼梯,右边是滑道,已知滑道AC与AE的长度一样, 滑梯的高度BC=4m.BE=1m.则滑道AC的长为 m. EB 1....... 第4题图 第5题图 5.如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为 17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,则船向岸边移动了 米. 6.(核心素养·抽象能力)如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触 到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m.计 算旗杆的高度,(滑轮上方的部分忽略不计 7.(核心素养·抽象能力)笔直的河流一侧有一旅游地C,河边有两个漂流点A,B,其 中AB=AC.由于某种原因,由点C到点A的路现在已经不通,为方便游客,决定在河 边新建一个漂流点H(点A.HI,B在一条直线上).并新修一条路CH.测得BC=5km CH-4 km.BH-3 km (1)CHI是否为从旅游地C到河的最近的路线?请通过计算加以说明 (2)求原来路线AC的长 502.B【解析】如图所示，AC=AN=4,BC=BM=3,AB=【随堂小测】 2+2+1=5,所以AC+BC=AB 1,13【解析】根据题意画示意图如图所示，由题意，可 所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.故选B. 得AE=13-8=5(m),EC=12m.由勾股定理，可得AC =13m 3.B【解析】根据表格中数据可得a2+=c2, 并且c=b+2,则a2+2=(6+2)2 当a=20时，202+62=(b+2)2,解得b=99. 2.25dm 所以c=99+2=101.所以h+c=200.故选B. 3.B【解析】将三棱柱的侧面沿AA晨开，如图所示， 4.150 AA'的长度就是金属丝长度的最小值， 5.等腰直角【解析】在R△ABF,R△BCD,R△ACE中， 根据勾股定理，可得AB=2+4=20,BC=AG=12+ 32=10,则AB=BC+AC. 所以△ABC是等腰直角三角形. 由勾股定理，得AA2=(4+4+4)2+52=169,所以 6.11,60,61【解析】由题中所给的四组勾股数可知第 A4'=13cm.故选B. 一个量a(m≥3)是连铁的寺数，第二个量为”，第 4.25【解析】将U型池中间可供滑行的部分展平，如 图，作点C关于直线AB的对称点F,连接DF交AB 三个数为”，故下一组勾度数为11,60,61。 于点E,此时DE+CE的值最小 7.解：△ABC为等腰三角形.理由如下： 因为BC=16,AD为BC边上的中线， 所以DC=BD=BC=8 所以AD+BD2=152+82=289=172=AB 易知BC=BF,CE=FE, 所以△ADB为直角三角形，∠ADB=90. 因为中间可供滑行的部分的裁面是半径为2.5m的 所以∠ADC=90°. 丰国，所以BC=7×2mx2.5=75(m) 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=152+82=17 所以CF=2BC=I5m.在Rt△CDF中，DF2=CFP+ =AB. CD2=152+202=625,所以DF=25m 所以AB=AC 所以DE+CE=DE+EF=DF=25m. 所以△ABC为等腰三角形， 故他滑行的最短距离约为25m. 8.解：(1)A=(n2-1)2+(2n)2=m-2n2+1+4n2= 5.20【解析】如图，将该国柱的侧面展开，作点A关于 n+2n2+1=(n2+1)2 展开图顶端所在直线的对称，点A',连接BA',过点B (2)因为A=B,B>0. 作BC⊥AC于点C. 所以B=n2+1. 由题意，得BC=32÷2=16(cm),A'C=14-5+3= (3)当2n=8时，n=4,所以n2+1=42+1=17. 12(cm).在Rt△4'BC中，A'B2=163+122=400, 当m2-1=35时，n2+1=37. 所以A'B=20cm所以蚂蚁从外壁A处到内壁B处 3勾股定理的应用举例 的最短距离为20cm. 第1课时勾股定理的应用（一） 【边学边练】 1.5cm2.10 3.解：因为CD+BD=82+62=100=10=BC,所以 △BDC是直角三角形，且∠BDC=90°. 6.解：如图，连接AC,AC.因为∠ABC=90° 在R△ACD中，AC2=CD+AD2=82+(9+6)2=289 所以AC2=AB2+BC2=602+402=5200. =172,所以AC=17m. 因为∠ACC=90°，所以(AC)2=AC2+(CC')2= 所以斜坡新起点A与点C的距离是I7m 5200+302=6100>702. 106 所以AC'>70cm,因此能放下 所以在R△ABC中，由勾股定理，得 AC2=AB+BC=32+42=25=52,AC=5. 所以BC=AC-AB=5-3=2. 在t△BEC中，由勾股定理，得 x2+22=(4-x)2,解得x=1.5. 7.解：(1)测量的是点A,C之间的距离. 3.能【解析】如图，MN为卡车的宽 依据：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+=c2,那 度，MN=1.6m,AB=2m. 么这个三角形是直角三角形（或勾股定理的逆 所以0E=1.6÷2=0.8(m). 定理). OC=OA=1m.在Rt△OCE中， 2.3 (2)如图，连接AC. CE2=0C-0b2=12-0.82=0.36 所以CE=0.6m. 所以CM=EM+CE=2.3+0.6=2.9(m)>2.5m 街 住宝室 所以这辆卡车能通过. 道 4.8.5【解析】设AC=xm,则AE=xm. 街道C 所以AB=AE-BE=(x-1)m 因为∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m, 在R△ABC中，AB2+BC2=AC,即(x-1)2+42=x2. 所以34=92=54(m2。 解得x=8.5.所以AC=8.5m. 2 5.9【解析】在1△ABC中，∠CAB=90°，BC=17米， 由勾股定理，得AC=AB+BC=92+122=152, AC=8米， 所以AC=15m. 所以AB=BC-AC2=17-82=225. 又因为AD=8m,CD=17m, 所以AB=15米 所以AC+AD=CD. 在R△ACD中，∠CAD=90°，CD=10米，AC=8米， 所以△ACD是直角三角形. 所以AD2=CD2-AC2=102-82=36. 所以5aam-8X5=60(m. 所以AD=6米.所以BD=AB-AD=15-6=9(米) 2 故船向岸边移动了9米 所以S国边形》=S△c+S6D=54+60=114(m2). 6.解：如图，设旗杆为AE,绳为AB,作BC⊥ 所以114×150=17100（元）. AE于点C,则BC=DE=8m. 所以绿化这片空地共需花费17100元 设AE=xm,则AB=xm,AC=(x 第2课时 勾股定理的应用（二） 2)m. 【边学边练】 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB 1.1.5 即(x-2)2+82=x2.解得x=17. 2.B 所以旗杆的高度为17m. 【随堂小测】 7.解：(1)CH是从旅游地C到河的最近的路线， 1.C【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E 在△CHB中，因为CH+Bm=42+32=25,BC2=25, 由题意，得OA=OB=AD=BC. 所以CF+BF=BC 设OA=OB=AD=BC=r, 所以△HBC是直角三角形，且∠CHB=90 AB=2r,DE=10,0E=2 CD=1,AE=r-1. 所以CH⊥AB. 所以CH是从旅游地C到河的最近的路线。 在R△ADE中，AE+DE2=AD, (2)设AC=AB=xkm,则AH=(x-3)km. 即(r-1)2+102=2 在R△ACH中，由勾股定理，得AC2=AF+CF, 解得r=50.5. 所以2r=101.所以AB=101寸.故选C. 即=(x-3)2+4.解得x=2 6 2寸 所以原来路线4C的长为管km 1尺 EO 第四章实数 2.1.5【解析】根据折叠可得BE=EB,AB=AB=3. 1无理数 设BE=EB'=x,则EC=4-x 【边学边练】 因为∠B=90°，AB=3,BC=4 1.D2.C3.(1)1.7m(2)L.73m 107