1.5.1 全称量词与存在量词-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第一册)

第 1 章 集合与常用逻辑用语 1.5.1 全称量词与存在量词 人教A版2019必修第一册 1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义. 2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定. 3.通过本节的学习,提升逻辑推理、数学运算的素养. 教学目标 情境引入 01 情景导入 在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸. 这就是著名的“罗素理发师悖论”问题。 如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题的知识,就可以通过逻辑进行分析了. 全称量词与全称量词命题 02 概念讲解 探究1：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，你有什么发现？ （1） （2）是整数 （3）对所有的； （4）对任意一个是整数 命题：可以判断真假的陈述句。 (1)无法判断真假,不是命题！x范围不明确； (3)可以判断真假，是命题！x范围明确.(有了量词“所有的”) (2)无法判断真假,不是命题！x范围不明确； (4)可以判断真假！是命题！x范围明确，(有了量词“任意一个”) 概念讲解 全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示. 定义 全称量词命题 含有全称量词的命题,叫做全称量词命题。 符号语言：∀x∈M，p(x)，读作：“对M中任意一个x，p(x)成立” 定义 概念讲解 要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立； 但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可． 探究2：全称量词命题真假判断 ★ 要判断全称量词命题是真命题，需要从左往右地推导； ★ 要判断全称量词命题是假命题，只需找一个反例即可. 概念讲解 例1.判断下列全称量词命题的真假 解：（1）2是素数，但是2不是奇数，所以命题为假. （2）因为，所以，命题为真. （3）因为是无理数，但是是有理数， 所以命题为假. （1）所有的素数都是奇数； （2）； （3）对任意一个无理数，也是无理数 素数，即质数，一个正整数，除了1和自身之外没有其他整数的因数，则成为素数(质数). 概念讲解 练习：用量词符号表示下列全称量词命题,并判断其真假: (1)任意一个实数乘以0都等于0; (2)自然数的平方是正数; (3)任意两个有理数的和仍是有理数. 解:(1)∀x∈R,x·0=0,是真命题. (2)∀x∈N,x2>0,当x=0时,不成立,故是假命题. (3)∀x,y∈Q,x+y∈Q,是真命题. 存在量词与存在量词命题 03 概念讲解 探究3：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. (1)无法判断真假,不是命题！x范围不明确； (3)可以判断真假，是命题！x范围明确. (有了量词“存在一个”) (2)无法判断真假,不是命题！x范围不明确； (4)可以判断真假！是命题！x范围明确. (有了量词“有一个”) 概念讲解 存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”“有些” “有一个” “对某些”“有的”在逻辑中一般叫做存在量词。用符号“ ”表示 定义 存在量词命题 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题。 符号语言：∃x∈M，p(x)，读作：“存在一个x属于Ｍ，有p(x)成立” 定义 概念讲解 解：（1）全称量词命题 （2）存在量词命题 （3）全称量词命题 （4）存在量词命题 概念讲解 探究4：存在量词命题真假判断 要判断全称量词命题“”是真命题，只需在集合M中找到一个元素，证明成立即可； 如果在集合M中找不到任何元素，使得成立，那么这个存在量词命题就是假命题. ★ 要判断存在量词命题是真命题， 只需要找出一个满足条件； ★ 要判断全称量词命题是假命 题，需要推导证明. 概念讲解 例3. 判断下列存在量词命题的真假： （１）有一个实数x，使x²＋２x＋３＝０； （２）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （３）有些平行四边形是菱形． 假 假 真 含有量词的命题的应用 04 概念讲解 例4.已知方程 （2）若，方程无解，求集合M （1）若，使方程有一个实根，求的取值范围. （1）当即时，方程化为，方程有解，满足题意； 当即时，方程为一元二次方程，方程有解等价于≥0， 即，解得 综上， （2）由（1）知方程无解等价于，即＜0， 解得，所以M={| } 概念讲解 课堂小结 05 课堂小结 例2.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)∀x∈N,2x+1是奇数; (2)存在一个x∈R,使=0; (3)对任意实数a,|a|>0; (4)有一个角α,使sin α=. 练习：已知命题p:∀x∈,-a≥0是真命题,求实数a的取值范围. 解：∵-a≥0,∴a≤. 由题意知a≤, 又x∈, ∴1≤≤2,∴a≤1. $$