25.2 3.列举所有机会均等的结果 同步练习 2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

列举所有机会均等的结果(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　画树状图法求复杂事件的概率 1.(2023·德阳中考)在6,7,8,9四个数字中任意选取两个数字,则这两个数字之和为奇数的概率是(C) A. B. C. D. 2.(2023·武汉中考)某校即将举行田径运动会,“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中,随机选择两项,则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是 (C) A. B. C. D. 3.随着信息化的发展,二维码已经走进我们的日常生活,其图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“”进行涂色,每个小正方形随机涂成黑色或白色,恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为(B) A. B. C. D. 4.(2024·西安期中)西安是一座历史悠久的城市,它有丰富的历史遗产和人文景观,吸引着无数游客前来探索.某天甲、乙两人来西安旅游,两人分别从A,B,C三个景点中随机选择一个景点游览. (1)甲选择A景点的概率为______;  (2)请用画树状图或列表的方法,求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率. 【解析】(1)∵每个景点被选择的可能性相等, ∴随机选择一个景点,选择A景点的概率为; 答案: (2)由题意,画树状图为: 共有9种等可能的结果,其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的结果有5种, ∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率为. 知识点2　概率的应用 5.在如图所示的圆形图案中,正方形ABCD内接于☉O.甲、乙两人将它作为一个游戏盘,游戏规则如下:在这个圆面上随意抛一粒豆子(豆子大小忽略不计),若豆子落在正方形ABCD内为甲胜,豆子落在图中阴影部分内为乙胜,则这个游戏 (C) A.对双方公平 B.对甲有利 C.对乙有利 D.无法确定公平性 6.如图,小李与小陈做猜拳游戏,规定每人每次至少要出一个手指,两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜,那么,小李获胜的概率为 　.  7.一只不透明的布袋中装有4个大小、质地完全相同的小球,球面上分别标有数字1,2,3,4.小明从布袋中随机取出1个小球,记下数字为x,小红在剩下的3个小球中随机取出1个小球,记下数字为y. (1)计算由x,y确定的点(x,y)在函数y=-x+5的图象上的概率. (2)小明和小红约定做一个游戏,其规则为:若x,y满足xy≥6,则小明胜;若x,y满足xy<6,则小红胜.这个游戏公平吗?谁的获胜几率大? 【解析】(1)画树状图得: ∵共有12种等可能的结果,其中在函数y=-x+5的图象上的有4种:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1), ∴点(x,y)在函数y=-x+5的图象上的概率为:=; (2)这个游戏不公平. 理由:∵x,y满足xy≥6有:(2,4),(3,4),(4,2),(4,3)共4种情况,x,y满足xy<6有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)共8种情况. ∴P(小明胜)==,P(小红胜)==, ∴这个游戏不公平.小红的获胜几率大. 【B层 能力进阶】 8.(易错警示题·隐含条件未挖掘)用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏:转盘A红色区域的扇形圆心角度数为120°,转盘B被分成面积相等的四个扇形,分别转动两个转盘,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色(若指针停在分割线上,则重新转动转盘),那么可配成紫色的概率是 (B) A. B. C. D. 9.(学科融合)在如图所示的电路中,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是 (B) A. B. C. D. 10.甲、乙两地共有A,B,C,D四路公交车往返,现在小明和小伟先后从甲地前往乙地(假设他们两人坐上A,B,C,D四路公交车的可能性是相同的),则他们乘坐同一路公交车的概率是 　.  11.(2024·连云港质检)在4张相同的卡片上分别写有数字1,2,3,4,将卡片的背面朝上,洗匀后从中任意抽取1张,将卡片上的数字作为被减数;一只不透明的袋子中装有标号为1,2,5的三个小球,这些球除标号外都相同,搅匀后从中任意摸出一个球,将摸到的球的标号作为减数. (1)在袋子中摸到球的标号是2的概率为______;  (2)甲、乙二人玩游戏,游戏规则规定:当抽到的这两个数的差为非负数时,甲获胜;否则乙获胜,请用树状图或者表格来分析甲、乙二人获胜的概率; (3)这个游戏公平吗?如果不公平,请你设计一个公平的游戏规则,并说明理由. 【解析】(1)P(摸到球的标号是2)=. 答案: (2)根据题意列表如下: 数字 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 -1 0 1 2 5 -4 -3 -2 -1 ∵共有12种等可能的结果,其中这两个数的差为非负数的情况占7种,负数的情况占5种, ∴甲获胜的概率是; 乙获胜的概率是1-=. (3)∵P(甲获胜)=,P(乙获胜)=. ∴P(甲获胜)>P(乙获胜), ∴这样的规则不公平, 可将规则改为:两个数的差为负数时,甲获胜,两个数的差为正数时,乙获胜. 此时P(甲获胜)=,P(乙获胜)=,P(甲获胜)=P(乙获胜). 【C层 创新挑战（选做）】 12.(推理能力、运算能力)体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球,足球从一人传到另一人就记为踢一次. (1)如果从小强开始踢,踢两次后,踢到小智处的概率是多少?(请用树状图求解) (2)请用树状图说明,踢了三次后,要使踢到小强处的概率最小,应该从谁开始踢? 【解析】(1)画树状图如图: 共有4种等可能的情况数,其中踢两次后,踢到小智处的情况有1种, 则踢两次后,踢到小智处的概率是; (2) 从小强开始踢,P(踢到小强处)==, 同理,若从小东开始踢,P(踢到小强处)=, 若从小智开始踢,P(踢到小强处)=. 应从小强开始踢. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 列举所有机会均等的结果(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　画树状图法求复杂事件的概率 1.(2023·德阳中考)在6,7,8,9四个数字中任意选取两个数字,则这两个数字之和为奇数的概率是( ) A. B. C. D. 2.(2023·武汉中考)某校即将举行田径运动会,“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中,随机选择两项,则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是 ( ) A. B. C. D. 3.随着信息化的发展,二维码已经走进我们的日常生活,其图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“”进行涂色,每个小正方形随机涂成黑色或白色,恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为( ) A. B. C. D. 4.(2024·西安期中)西安是一座历史悠久的城市,它有丰富的历史遗产和人文景观,吸引着无数游客前来探索.某天甲、乙两人来西安旅游,两人分别从A,B,C三个景点中随机选择一个景点游览. (1)甲选择A景点的概率为______;  (2)请用画树状图或列表的方法,求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率. 知识点2　概率的应用 5.在如图所示的圆形图案中,正方形ABCD内接于☉O.甲、乙两人将它作为一个游戏盘,游戏规则如下:在这个圆面上随意抛一粒豆子(豆子大小忽略不计),若豆子落在正方形ABCD内为甲胜,豆子落在图中阴影部分内为乙胜,则这个游戏 ( ) A.对双方公平 B.对甲有利 C.对乙有利 D.无法确定公平性 6.如图,小李与小陈做猜拳游戏,规定每人每次至少要出一个手指,两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜,那么,小李获胜的概率为 .  7.一只不透明的布袋中装有4个大小、质地完全相同的小球,球面上分别标有数字1,2,3,4.小明从布袋中随机取出1个小球,记下数字为x,小红在剩下的3个小球中随机取出1个小球,记下数字为y. (1)计算由x,y确定的点(x,y)在函数y=-x+5的图象上的概率. (2)小明和小红约定做一个游戏,其规则为:若x,y满足xy≥6,则小明胜;若x,y满足xy<6,则小红胜.这个游戏公平吗?谁的获胜几率大? 【B层 能力进阶】 8.(易错警示题·隐含条件未挖掘)用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏:转盘A红色区域的扇形圆心角度数为120°,转盘B被分成面积相等的四个扇形,分别转动两个转盘,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色(若指针停在分割线上,则重新转动转盘),那么可配成紫色的概率是 ( ) A. B. C. D. 9.(学科融合)在如图所示的电路中,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是 ( ) A. B. C. D. 10.甲、乙两地共有A,B,C,D四路公交车往返,现在小明和小伟先后从甲地前往乙地(假设他们两人坐上A,B,C,D四路公交车的可能性是相同的),则他们乘坐同一路公交车的概率是 .  11.(2024·连云港质检)在4张相同的卡片上分别写有数字1,2,3,4,将卡片的背面朝上,洗匀后从中任意抽取1张,将卡片上的数字作为被减数;一只不透明的袋子中装有标号为1,2,5的三个小球,这些球除标号外都相同,搅匀后从中任意摸出一个球,将摸到的球的标号作为减数. (1)在袋子中摸到球的标号是2的概率为______;  (2)甲、乙二人玩游戏,游戏规则规定:当抽到的这两个数的差为非负数时,甲获胜;否则乙获胜,请用树状图或者表格来分析甲、乙二人获胜的概率; (3)这个游戏公平吗?如果不公平,请你设计一个公平的游戏规则,并说明理由. 【C层 创新挑战（选做）】 12.(推理能力、运算能力)体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球,足球从一人传到另一人就记为踢一次. (1)如果从小强开始踢,踢两次后,踢到小智处的概率是多少?(请用树状图求解) (2)请用树状图说明,踢了三次后,要使踢到小强处的概率最小,应该从谁开始踢? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　列举所有机会均等的结果(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点　用列表法求复杂事件的概率 1.有2件不同款式的衬衣和3条不同款式的裤子,取一件衬衣和一条裤子搭配,则不同的搭配共有( ) A.2种 B.4种 C.5种 D.6种 2.甲袋中装有1个白球、1个黄球,乙袋中装有2个白球、1个黄球,这些球除颜色外无其他差别,在看不到球的情况下,从两个袋子中各随机摸出一个球,摸出的两个球的颜色都是白色的概率是 .  3.(2024·重庆期末)万州烤鱼,如今已是重庆市非物质文化遗产项目.它结合现代人的饮食习惯和现代烹饪技术,采用先腌后烤再炖煮的独特技法,调制出“麻辣”“泡椒”“香辣”“蒜泥”“豆豉”等几十种不同口味,以麻、辣、鲜、香的味道传遍大江南北.某游客慕名而来,决定从“麻辣”“泡椒”“香辣”“蒜泥”“豆豉”这5个口味的烤鱼中随机选取2种进行品尝,则他同时抽到“泡椒”和“蒜泥”的概率为 .  4.同时掷两个质地均匀的骰子,用列表法求下列事件的概率: ①两个骰子的点数相同; ②两个骰子点数的和是9; ③至少有一个骰子的点数为2. 5.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,在小球上标有数字1,2,3,4,5,随机取出一个小球不放回,再取出一个小球,请用列表法求下列事件的概率. (1)两个小球中至少有一个是数字3; (2)两个小球上的数字之和为7; (3)两个小球上的数字之和在3到6之间(包括3和6). 【B层 能力进阶】 6.班长邀请A,B,C,D四位同学参加圆桌会议.如图,班长坐在⑤号座位,四位同学随机坐在①②③④四个座位,则A,B两位同学座位相邻的概率是 ( ) A. B. C. D. 7.看了《田忌赛马》的故事后,小杨用数学模型来分析:齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表,每匹马只赛一场,两数相比,大数为胜,三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为10,8,6.若田忌的三匹马随机出场,则田忌能赢得比赛的概率为 .  项目 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 8.(2024·青岛期末)在庆祝龙年的元旦联欢会上,九年级1班进行抽奖活动,活动规则如下:将4张正面标有“龙”“蛇”“马”羊”的纸牌(纸牌反面完全相同)洗匀后,反面朝上放在桌子上,参与者每次随机从中抽取两张纸牌,若抽到“龙”和“马”,即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语,则参与者可获得奖品. (1)王小虎随机抽出一张纸牌,抽到“龙”牌的概率是______;  (2)丽丽决定参加游戏,请用画树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率. 9.(2024·深圳期中)某商场为了吸引顾客,设计了一种促销活动.在一个不透明的箱子里放有4个完全相同的小球,球上分别标有“0元”“10元”“20元”和“40元”的字样.规定:顾客在本商场同一日内,消费每满300元,就可以从箱子里先后摸出两个球(每次只摸出一个球,第一次摸出后不放回).商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券,可以重新在本商场消费.某顾客消费刚好满300元,则在本次消费中: (1)该顾客最少可得______元购物券,最多可得______元购物券;  (2)求出该顾客所获购物券的金额不低于40元的概率. 【C层 创新挑战（选做）】 10.(推理能力、运算能力、应用意识) 如图①,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面并分别标有数字1,2,3,4. 如图②,正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则:游戏者每掷一次骰子,骰子着地一面上的数字是几,就沿正方形的边顺时针连续跳几个边长. 如:若从圈A起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2,就从圈D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B…… 设游戏者从圈A起跳. (1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率P1; (2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性是否一样. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　列举所有机会均等的结果(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点　用列表法求复杂事件的概率 1.有2件不同款式的衬衣和3条不同款式的裤子,取一件衬衣和一条裤子搭配,则不同的搭配共有(D) A.2种 B.4种 C.5种 D.6种 2.甲袋中装有1个白球、1个黄球,乙袋中装有2个白球、1个黄球,这些球除颜色外无其他差别,在看不到球的情况下,从两个袋子中各随机摸出一个球,摸出的两个球的颜色都是白色的概率是 　.  3.(2024·重庆期末)万州烤鱼,如今已是重庆市非物质文化遗产项目.它结合现代人的饮食习惯和现代烹饪技术,采用先腌后烤再炖煮的独特技法,调制出“麻辣”“泡椒”“香辣”“蒜泥”“豆豉”等几十种不同口味,以麻、辣、鲜、香的味道传遍大江南北.某游客慕名而来,决定从“麻辣”“泡椒”“香辣”“蒜泥”“豆豉”这5个口味的烤鱼中随机选取2种进行品尝,则他同时抽到“泡椒”和“蒜泥”的概率为 　.  4.同时掷两个质地均匀的骰子,用列表法求下列事件的概率: ①两个骰子的点数相同; ②两个骰子点数的和是9; ③至少有一个骰子的点数为2. 【解析】列表得: 点数 1 2 3 4 5 6 1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 6 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 ∴同时掷两个骰子所有等可能的结果为36个. ①两个骰子点数相同的结果有6个,点数为(1,1),(2,2),(3,3)(4,4),(5,5),(6,6), ∴概率为=. ②两个骰子点数的和是9的结果有4个,点数为(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),∴概率为=. ③至少有一个骰子的点数为2的结果有11个,点数为(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),∴概率为. 5.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,在小球上标有数字1,2,3,4,5,随机取出一个小球不放回,再取出一个小球,请用列表法求下列事件的概率. (1)两个小球中至少有一个是数字3; (2)两个小球上的数字之和为7; (3)两个小球上的数字之和在3到6之间(包括3和6). 【解析】(1)列表如下: 数字 1 2 3 4 5 1 — (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) 2 (1,2) — (3,2) (4,2) (5,2) 3 (1,3) (2,3) — (4,3) (5,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) — (5,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) — 共有20种等可能的结果,其中两个小球中至少有一个是数字3的结果有8种, ∴两个小球中至少有一个是数字3的概率为=; (2)由(1)可知,共有20种等可能的结果,其中两个小球上的数字之和为7的结果有4种, ∴两个小球上的数字之和为7的概率为=; (3)由(1)可知,共有20种等可能的结果,其中两个小球上的数字之和在3到6之间(包括3和6)的结果有12种,∴两个小球上的数字之和在3到6之间(包括3和6)的概率为=. 【B层 能力进阶】 6.班长邀请A,B,C,D四位同学参加圆桌会议.如图,班长坐在⑤号座位,四位同学随机坐在①②③④四个座位,则A,B两位同学座位相邻的概率是 (C) A. B. C. D. 7.看了《田忌赛马》的故事后,小杨用数学模型来分析:齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表,每匹马只赛一场,两数相比,大数为胜,三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为10,8,6.若田忌的三匹马随机出场,则田忌能赢得比赛的概率为 　.  项目 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 8.(2024·青岛期末)在庆祝龙年的元旦联欢会上,九年级1班进行抽奖活动,活动规则如下:将4张正面标有“龙”“蛇”“马”羊”的纸牌(纸牌反面完全相同)洗匀后,反面朝上放在桌子上,参与者每次随机从中抽取两张纸牌,若抽到“龙”和“马”,即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语,则参与者可获得奖品. (1)王小虎随机抽出一张纸牌,抽到“龙”牌的概率是______;  (2)丽丽决定参加游戏,请用画树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率. 【解析】(1)由题意得,王小虎随机抽出一张纸牌,抽到“龙”牌的概率是. 答案: (2)列表如下: 纸牌 龙 蛇 马 羊 龙 — (龙,蛇) (龙,马) (龙,羊) 蛇 (蛇,龙) — (蛇,马) (蛇,羊) 马 (马,龙) (马,蛇) — (马,羊) 羊 (羊,龙) (羊,蛇) (羊,马) — 共有12种等可能的结果,其中丽丽抽到“龙”和“马”的结果有2种, ∴丽丽获得奖品的概率为=. 9.(2024·深圳期中)某商场为了吸引顾客,设计了一种促销活动.在一个不透明的箱子里放有4个完全相同的小球,球上分别标有“0元”“10元”“20元”和“40元”的字样.规定:顾客在本商场同一日内,消费每满300元,就可以从箱子里先后摸出两个球(每次只摸出一个球,第一次摸出后不放回).商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券,可以重新在本商场消费.某顾客消费刚好满300元,则在本次消费中: (1)该顾客最少可得______元购物券,最多可得______元购物券;  (2)求出该顾客所获购物券的金额不低于40元的概率. 【解析】(1)根据题意得:该顾客最少可得购物券:0+10=10(元),最多可得购物券:20+40=60(元). 答案:10　60 (2)列表得: 球 0 10 20 40 0 - (0,10) (0,20) (0,40) 10 (10,0) - (10,20) (10,40) 20 (20,0) (20,10) - (20,40) 40 (40,0) (40,10) (40,20) - ∵两次摸球可能出现的结果共有12种,每种结果出现的可能性相同,而所获购物券的金额不低于40元的结果共有6种.∴该顾客所获购物券的金额不低于40元的概率是. 【C层 创新挑战（选做）】 10.(推理能力、运算能力、应用意识) 如图①,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面并分别标有数字1,2,3,4. 如图②,正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则:游戏者每掷一次骰子,骰子着地一面上的数字是几,就沿正方形的边顺时针连续跳几个边长. 如:若从圈A起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2,就从圈D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B…… 设游戏者从圈A起跳. (1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率P1; (2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性是否一样. 【解析】(1)∵掷一次骰子有4种等可能的结果,只有掷得4时,才会落回圈A, ∴P1=. (2)列表如下: 数字 1 2 3 4 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 所有等可能的情况共有16种,当两次掷得的数字和为4的倍数,即(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)时,才可落回圈A,共4种, ∴P2==,P1=, ∴淇淇与嘉嘉落回到圈A的可能性一样. 学科网（北京）股份有限公司 $$