专项练习二 分式化简求值的六种题型-2024-2025学年八年级数学上册核心要点同步题型精练（北京专用，京改版）

好题精选·同步精练 专项练习二 分式化简求值的六种题型 题型1 整体代入求值 1．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 2．（2024·北京西城·二模）已知，求代数式的值． 3．（2024·北京昌平·二模）已知，求代数式的值． 4．（2024·北京石景山·一模）已知，求代数式的值． 5．（2024·北京东城·一模）已知，求代数式的值． 题型2 代入消元求值 6．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）已知，求代数式的值． 7．（22-23八年级上·北京石景山·期末）已知，求代数式的值． 8．（2020·北京东城·二模）已知，求代数式的值． 9．（2017·北京西城·一模）已知，求代数式的值． 10．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）已知，求的值． 题型3 选择适当的值代入求值 11．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）化简：，并选择一个适当的的值代入求值． 12．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）先化简，然后从，，0，1，2中，选择一个合适的数代入求值． 13．（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）先化简再求值：，在，，中选择合适的的值代入并求值． 14．（19-20八年级上·北京大兴·期末）先化简，再从﹣2、﹣1、0、1、2中选择一个合适的数代入求值． 15．（21-22八年级上·北京·期末）先化简，再从－2，－1，0，1，2五个数字中选取一个合适的数作为代入求值． 题型4 十字分式方程求值 16．（22-23八年级上·北京昌平·期中）现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程： 的解为； 的解为； 的解为； (1)猜想关于x的方程的解是 ； (2)猜想关于x的方程的解是 ； (3)用上述方法求关于的方程的解． 17．（20-21八年级上·北京·期中）阅读： 对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为、（＜），若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为、（＜），求的值． 18．（22-23八年级上·北京海淀·阶段练习）观察下列方程及其解的特征： ①的解为． ②的解为，． ③的解为，； ．．． 解答下列问题： (1)请猜想：方程的解为______； (2)请猜想：关于的方程______的解为， (3)利用（2）的结论解方程： ①； ②． 19．（22-23八年级上·江苏南通·期末）我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为． ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 20．（21-22八年级上·北京平谷·期末）我们已经学过如果关于x的分式方程满足 （a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为． 我们称这样的方程为“十字方程”． 例如：        可化为         ∴ 再如：     可化为     ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）“十字方程”，则 ， ； （2）“十字方程”的两个解分别为，求的值； （3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值． 题型5 取倒数求值 21．（22-23八年级下·山西临汾·阶段练习）【阅读材料】在解决分式问题时，例数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其例数形式，进行相应的化简计算，最后再将求得的值求倒数以达到解决问题目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ， ， ． 【尝试解决】已知． (1)求的值； (2)求的值． 22．（18-19八年级上·北京大兴·期末）阅读下面的解题过程 已知，求代数式的值. 解：由，取倒数得，，即， 所以 则可得. 该题的解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： 已知，求的值. 23．（21-22八年级上·北京·期末）在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算求值的目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴． (1)请继续完成上面问题的求值过程； (2)请仿照上述方法解决问题：已知，求的值． 24．（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）阅读下面解题过程： “倒数法”就是通过对数或式取倒数来解题的方法，它主要应用于分式型的问题．对于某些分式问题，用常规方法求解比较困难，如果能根据分式的结构特征和内在规律，采用取倒数的方法进行求解，往往具有简洁明快的特点，使问题迎刃而解． 例如：已知，求的值． 解：由，可得，∴，∴， ∴， ∴ 请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． 25．（23-24八年级上·湖南娄底·阶段练习）已知，求的值． 解：由已知可得，则，即． ∵． ∴． 上面材料中的解法叫做“倒数法”． 请你利用“倒数法”解下面的题目： (1)求，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 题型6 设参数求值 26．（22-23八年级上·全国·单元测试）阅读理解 【提出问题】已知，求分式的值； 【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数，得出，，与的关系，然后再代入待求的分式化简即可； (1)【解决问题】设，则，，，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为________； (2)【拓展应用】已知，求分式的值． 27．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“K”，将连等式变成几个值为K的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，，∴； 材料二：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即 ∴∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知，求的值． 28．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． [材料一]在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵，∵，即， ∴，∴． [材料二]在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，， ∴． 根据上述材料，解答下列问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 专项练习二 分式化简求值的六种题型 题型1 整体代入求值 1．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 2．（2024·北京西城·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简、代数式求值，先将化简为，根据，得出，代入化简后的式子中计算求值即可，熟练掌握分式的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵ ， ∴， ∴代数式的值． 3．（2024·北京昌平·二模）已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题考查的是分数的混合运算． 将化简为，再整体代入，求值． 【详解】解：原式 ， ， 原式. 4．（2024·北京石景山·一模）已知，求代数式的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再由可得，代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ∵， ∴． ∴原式． 5．（2024·北京东城·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据题意得到，再把原分式的分子和分母都分解因式，然后约分化简，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型2 代入消元求值 6．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用分式的减法计算括号内的减法运算，再计算分式的乘法即可得到化简结果，再求出，整体代入化简结果即可得到答案，此题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式 7．（22-23八年级上·北京石景山·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】直接把代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了求代数式的值，准确将代入原式并正确约分计算是解题的关键． 8．（2020·北京东城·二模）已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】将代数式化简得到，再根据题意，可得，用表示代入，即可得出答案． 【详解】解： ． 当，即时， 原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值的知识点， 熟练掌握分式化简，以及用表示代入化简的代数式是解题的关键． 9．（2017·北京西城·一模）已知，求代数式的值． 【答案】,2 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x＝2y代入计算即可求出值． 【详解】原式， 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，将变形，转化为：，整体代入分式，化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式． 题型3 选择适当的值代入求值 11．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）化简：，并选择一个适当的的值代入求值． 【答案】，2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式化简求值、分式有意义的条件、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握分式运算法则是解题关键． 首先根据分式的运算法则进行运算求解，然后根据分式有意义的条件可知且且，最后将代入求值即可． 【详解】解： ， ∵且且， ∴且且， ∴可取， 此时，原式． 12．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）先化简，然后从，，0，1，2中，选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入即可求出答案． 【详解】原式 ， 由分式有意义的条件可知：a不能取，0，1，， 故， ∴原式． 13．（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）先化简再求值：，在，，中选择合适的的值代入并求值． 【答案】，时，原式= 【分析】根据分式的加法计算括号内的，再计算乘方，根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入化简结果即可求解． 【详解】解：原式 ， ，所以， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值分，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算是解题的关键． 14．（19-20八年级上·北京大兴·期末）先化简，再从﹣2、﹣1、0、1、2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】2x-3,1. 【分析】先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法进行计算，最后代入求出即可． 【详解】解：原式 . ∵由题意，x不能取1，-2,0 ∴当x=2时，原式=2×2－3=1. （或当x=－1时，原式=2×（－1）－3=－5.） 【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 15．（21-22八年级上·北京·期末）先化简，再从－2，－1，0，1，2五个数字中选取一个合适的数作为代入求值． 【答案】 ， 【分析】先将分子分母因式分解，再进行计算，然后选择合适的数代入，即可求解． 【详解】解： 根据题意得： 不能取 ， ∴当 时，原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 题型4 十字分式方程求值 16．（22-23八年级上·北京昌平·期中）现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程： 的解为； 的解为； 的解为； (1)猜想关于x的方程的解是 ； (2)猜想关于x的方程的解是 ； (3)用上述方法求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （3）解：方程变形得：， ， 可得或， 解得：． 【点睛】本题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键． 17．（20-21八年级上·北京·期中）阅读： 对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为、（＜），若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为、（＜），求的值． 【答案】(1)2，4 (2)，2 (3) 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可；（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵2×4=8，2+4=6， ∴方程有两个解，分别为2，4 故答案为：2，4； （2）解：， 方程变形得： 由题中的结论得：有两个解，分别为，2， ∵与互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）解：， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． 18．（22-23八年级上·北京海淀·阶段练习）观察下列方程及其解的特征： ①的解为． ②的解为，． ③的解为，； ．．． 解答下列问题： (1)请猜想：方程的解为______； (2)请猜想：关于的方程______的解为， (3)利用（2）的结论解方程： ①； ②． 【答案】(1)， (2) (3)①，；②， 【分析】（1）观察阅读材料中方程解的特征，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可． 【详解】（1）解：猜想方程，即的解为，， 故答案为：，； （2）猜想：关于的方程的解为，， 故答案为：； （3）①方程变形为， 可得或， 解得：，， ②变形为， 可得或， 解得：，． 【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；弄清题中的规律是解本题的关键． 19．（22-23八年级上·江苏南通·期末）我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为． ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2 【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义即可得； （2）先根据十字分式方程的定义求出的值，再化简代入计算即可得； （3）先根据十字分式方程的定义求出，，从而可得，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， 当时，， 关于的十字分式方程的两个解分别为， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． 20．（21-22八年级上·北京平谷·期末）我们已经学过如果关于x的分式方程满足 （a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为． 我们称这样的方程为“十字方程”． 例如：        可化为         ∴ 再如：     可化为     ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）“十字方程”，则 ， ； （2）“十字方程”的两个解分别为，求的值； （3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值． 【答案】（1）－2，－4；（2）；（3） 【分析】（1）按照“十字方程”的解法解方程即可； （2）根据“十字方程”的解法求出，，代入求值即可； （3）把方程转化为，求出方程的解，代入计算即可． 【详解】（1）可化为， ∴－2，－4；   故答案为：－2，－4； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ （3）解：∵为关于x的“十字方程” ∴ ∴ ∴或 ∵ ∴或 ∴ 【点睛】本题考查了分式方程的特殊解法，解题关键是理解题意，按照题目中的方法进行求解． 题型5 取倒数求值 21．（22-23八年级下·山西临汾·阶段练习）【阅读材料】在解决分式问题时，例数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其例数形式，进行相应的化简计算，最后再将求得的值求倒数以达到解决问题目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ， ， ． 【尝试解决】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查倒数法求解分式，掌握分式的性质是解题的关键． （1）根据材料提示的倒数法进行计算即可求解； （2）运用倒数法，完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ． 22．（18-19八年级上·北京大兴·期末）阅读下面的解题过程 已知，求代数式的值. 解：由，取倒数得，，即， 所以 则可得. 该题的解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： 已知，求的值. 【答案】 【分析】先把括号内通分,再把除法运算化为乘法运算,接着把分子分母因式分解后约分得到原式=,利用倒数法由已知条件得到，然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算. 【详解】原式=， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴原式=. 【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于理解题意掌握运算法则. 23．（21-22八年级上·北京·期末）在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算求值的目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴． (1)请继续完成上面问题的求值过程； (2)请仿照上述方法解决问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）按照材料的方法计算即可； 【详解】（1） （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是根据材料使用倒数法进行计算． 24．（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）阅读下面解题过程： “倒数法”就是通过对数或式取倒数来解题的方法，它主要应用于分式型的问题．对于某些分式问题，用常规方法求解比较困难，如果能根据分式的结构特征和内在规律，采用取倒数的方法进行求解，往往具有简洁明快的特点，使问题迎刃而解． 例如：已知，求的值． 解：由，可得，∴，∴， ∴， ∴ 请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值，先根据题意求出的值，再求出代数式倒数的值，即可得出答案． 【详解】解：由可得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（23-24八年级上·湖南娄底·阶段练习）已知，求的值． 解：由已知可得，则，即． ∵． ∴． 上面材料中的解法叫做“倒数法”． 请你利用“倒数法”解下面的题目： (1)求，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照材料中的解法，即可求解； （2）先计算倒数，化简为，再用整体思想，将整理成，结合完全平方公式解题； （3）分别计算三个式子的倒数，解得，，，接着计算，先求的倒数，据此解题． 【详解】（1）解：由已知可得，则，即． ∵． ∴； （2）解：由，知， 则， 即， 得：． ， ； （3）解：由，， 得， 即：； 同理可知：；． ， 解得：． ， ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握完全平方公式，分式的基本性质是解题关键． 题型6 设参数求值 26．（22-23八年级上·全国·单元测试）阅读理解 【提出问题】已知，求分式的值； 【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数，得出，，与的关系，然后再代入待求的分式化简即可； (1)【解决问题】设，则，，，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为________； (2)【拓展应用】已知，求分式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）用k表示出，，，再代入分式进行化简即可； （2）设，用含m的式子表示出，，，再代入分式进行化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：； （2）设， 则，，， ∴ 【点睛】本题主要分式的化简求值以及乘法公式在代数式求值中的综合运用，熟练掌握相关公式是解题关键． 27．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“K”，将连等式变成几个值为K的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，，∴； 材料二：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即 ∴∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查分式化简求值和解分式方程，解题的关键是读懂题意，仿照阅读材料解决问题． （1）设，可得，，，故； （2）将方程组变形可得①，②，再消元可解得，的值； （3）由可得，故，即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则，，， ； （2）解：由得：，即①， 由得：，即②， ②①得：， ， ①②得：， ， 经检验，是原方程组的解； 方程组的解为； （3）解：， ， ， ， ， ． 28．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． [材料一]在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵，∵，即， ∴，∴． [材料二]在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，， ∴． 根据上述材料，解答下列问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的通分和约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． （2）解：令， ∴，，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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