第十章 分式 单元综合测试-2024-2025学年八年级数学上册核心要点同步题型精练（北京专用，京改版）

好题精选·同步精练 第十章 分式 综合测试 一、单选题（每题3分，共30分） 1．（23-24八年级上·北京延庆·期中）在，，，，中，分式的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京·期中）若使分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·北京海淀·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）下列各式是最简分式的是（） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·北京通州·期中）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·北京门头沟·一模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·北京石景山·期末）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·北京大兴·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2020·北京平谷·一模）如果m﹣n﹣3＝0，那么代数式的值为（　　） A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2 10．（2024·北京西城·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共30分） 11．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为0，则 ． 12．（22-23八年级上·北京朝阳·阶段练习）分式约分的结果是 ． 13．（22-23八年级下·全国·假期作业）当时， ． 14．（22-23九年级上·山东济南·期中）化简的结果是 ． 15．（21-22八年级上·北京西城·期末）方程无解，那么的值为 ． 16．（23-24八年级上·北京通州·期中）已知，则代数式的值为 ． 17．（21-22八年级上·北京顺义·期末）已知：公式其中，，，均不为零．则 ．（用含有，，的式子表示） 18．（21-22八年级下·北京海淀·期中）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格. 设每套《水浒传》连环画的价格为元，则所列方程是 ． 19．（22-23八年级上·北京·阶段练习）如果a，b，c是正数，且满足，，则的值为 ． 20．（22-23八年级上·北京房山·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 ． 三、解答题（21题8分，22题6分，23题10分，24题8分，25题8分） 21．（22-23八年级上·北京海淀·期末）计算： (1)； (2)． 22．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 23．（22-23八年级上·北京·期末）解分式方程： ① ② 24．（23-24八年级上·北京·期末）某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ (2)已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？ 25．（22-23八年级上·北京平谷·期末）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 第十章 分式 综合测试 一、单选题（每题3分，共30分） 1．（23-24八年级上·北京延庆·期中）在，，，，中，分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的概念进行判断即可． 【详解】解：由，，，，可知， 分式有：，共个， 故选：． 【点睛】此题考查了分式的定义，解题的关键是正确理解：一般地，如果，表示两个整式，且中含有字母（），那么式子就叫分式． 2．（23-24八年级下·北京·期中）若使分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键． 由分母不为零可得，从而可得答案． 【详解】解：分式有意义， ， 解得． 故选D． 3．（23-24八年级上·北京海淀·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形正确，符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选C． 4．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）下列各式是最简分式的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．也考查了整式． 根据最简分式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是最简分式，所以A选项不符合题意； B．不是最简分式，所以B选项不符合题意； C．，是最简分式，所以C选项符合题意； D．不是最简分式，所以D选项不符合题意． 故选：C． 5．（23-24八年级上·北京通州·期中）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘法，把分子分解因式约分即可． 【详解】解：． 故选A． 6．（2023·北京门头沟·一模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】去分母，化为整式方程，解出方程，并进行检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， 检验：当时，， 原方程的根为． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键． 7．（22-23八年级上·北京石景山·期末）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：、，故不符合题意； 、 ，故不符合题意； 、，故符合题意； 、 ，故不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了分式的运算法则，解题的关键是熟悉分式的加减乘除运算法则． 8．（22-23八年级上·北京大兴·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方，分式的乘方以及合并同类项的法则，分别进行判断即可． 【详解】解：A. ，故此选项错误，不合题意； B. ，故此选项错误，不合题意； C. ，故此选项正确，符合题意； D. ，不是同类项不能进行合并 ，故此选项错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项的法则，以及同底数幂的乘法以及幂的乘方，分式的乘方，解题的关键是要熟练相关的运算法则． 9．（2020·北京平谷·一模）如果m﹣n﹣3＝0，那么代数式的值为（　　） A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2 【答案】A 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m﹣n＝3代入计算可得． 【详解】解： ＝ ＝m﹣n， ∵m﹣n﹣3＝0， ∴m﹣n＝3， ∴原式＝m﹣n＝3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 10．（2024·北京西城·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程． 【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元， 依题意得，， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共30分） 11．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为0，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式的值为0，即根据分子为零分母不为零建立式子求解，即可解题． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得且， 综上可知，， 故答案为：． 12．（22-23八年级上·北京朝阳·阶段练习）分式约分的结果是 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质：分子，分母同除一个不为0的整式，分式的值不变，进行化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的约分．熟练掌握分式的基本性质，找到分子和分母的公因式是解题的关键． 13．（22-23八年级下·全国·假期作业）当时， ． 【答案】 【解析】略 14．（22-23九年级上·山东济南·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘方计算，分式的除法计算，先计算分式乘方，再计算分式除法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．（21-22八年级上·北京西城·期末）方程无解，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，可得，进而求得的值． 【详解】解：， ， ， ， 方程无解， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的计算是解题的关键． 16．（23-24八年级上·北京通州·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】用xy代换x+y化简即可． 【详解】解： =（由，得用xy代换x+y得） = 故答案为：0． 【点睛】此题是分式求值，考查整体代入的数学方法． 17．（21-22八年级上·北京顺义·期末）已知：公式其中，，，均不为零．则 ．（用含有，，的式子表示） 【答案】 【分析】在公式的两边都乘以即可得到答案. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查的是公式的变形，利用解分式方程的思想进行变形是解本题的关键. 18．（21-22八年级下·北京海淀·期中）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格. 设每套《水浒传》连环画的价格为元，则所列方程是 ． 【答案】 【分析】根据两种连环画单价间的关系，可得出每套《三国演义》连环画的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 19．（22-23八年级上·北京·阶段练习）如果a，b，c是正数，且满足，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】先根据题意得出，，，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：、、是正数，且满足， ，，， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 20．（22-23八年级上·北京房山·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 ． 【答案】 2或8/8或2 【分析】（1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式； （2）首先根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式，然后根据整数概念求解即可． 【详解】（1）； （2）， ∵为正整数，且a也为正整数， ∴为正整数， ∴或， ∴解得或8． 故答案为：（1）；（2）2或8． 【点睛】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． 三、解答题（21题8分，22题6分，23题10分，24题8分，25题8分） 21．（22-23八年级上·北京海淀·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先计算分式的乘方，再计算分式的乘除法，最后计算分式的减法即可； （2）先计算括号里的分式加减法，再计算除法即可． 【详解】（1） （2）解： 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 22．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 23．（22-23八年级上·北京·期末）解分式方程： ① ② 【答案】①，②是原方程的增根，原方程无解 【分析】①观察可得最简公分母是，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解． ②观察可得最简公分母是，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解． 【详解】解：①方程两边同乘，得 ， 解得 检验时， 是原方程的解． ②整理得 方程两边同乘，得 ， ， 解得 检验：时， 是原方程的增根，原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根，（3）分式中有常数项的注意不要漏乘常数项． 24．（23-24八年级上·北京·期末）某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ (2)已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】(1)甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室 (2)13天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，利用工作时间工作总量工作效率，可列出关于的分式方程即可， （2）设安排甲公司工作天，则乙公司工作天，根据安装总费用不超过22600元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室； （2）解：设安排甲公司工作天，则乙公司工作天， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为13． 答：最多安排甲公司工作13天． 25．（22-23八年级上·北京平谷·期末）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 试卷第2页，共14页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$