10.5 第一课时 解可化为一元一次方程的分式方程-2024-2025学年八年级数学上册核心要点同步题型精练（北京专用，京改版）

好题精选·同步精练 10.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用 第一课时解可化为一元一次方程的分式方程 知识点1 分式方程的概念和解法 考向一 分式方程的概念及解法 1．（23-24八年级上·北京·期末）下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23八年级上·北京·期末）解分式方程时，去分母变形正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·北京·期中）解分式方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京·模拟预测）当比多1时，（    ） A．4 B．6 C． D． 8．（20-21七年级上·北京东城·课后作业） （填“是”或“不是”）方程的解. 9．（2024·北京海淀·模拟预测）分式方程的解为 ． 10．若对于实数，，定义一种运算：，则当时， ． 11．解方程：． 12．解分式方程：． 13．解方程：． 14．解分式方程：． 15．解方程： 16．解分式方程：． 17．解分式方程： (1)； (2)． 考向二 根据方程的解的情况求字母取值范围 18．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．或 B． C．且 D．且 19．（23-24八年级上·北京石景山·期末）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 20．若关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 21．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 22．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）若分式方程的解是，则 ． 23．若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是 24．（22-23七年级上·北京海淀·期末）已知关于的方程的解大于1，则实数的取值范围是 ． 考向三 分式方程无解问题 25．（21-22八年级上·北京·期末）如果关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．5 B．3 C．1 D．－1 26．（20-21八年级上·北京昌平·阶段练习）若分式方程无解，则的值是（    ） A．0 B．-1 C．-2 D．-1或-2 27．（18-19八年级上·北京·期末）方程＝0的解为（　　） A．﹣2 B．2 C．5 D．无解 28．（2018·山东东营·一模）若分式方程无解，则a的值为（　　） A．0 B．-1 C．0或-1 D．1或-1 29．（22-23八年级上·北京海淀·阶段练习）若关于的分式方程无解．则的值为 ． 30．（22-23八年级下·北京西城·开学考试）分式方程没有解，则m的值为 ． 31．（22-23八年级上·北京·期末）关于的方程无解，则m的值是 ． 32．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 33．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或3 34．（22-23八年级上·北京·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数 ． 35．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 36．（21-22八年级上·北京昌平·期末）若关于x的分式方程的解是正数，当m取最大整数时，求的平方根． 37．我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为． ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 10.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用 第一课时解可化为一元一次方程的分式方程 知识点1 分式方程的概念和解法 考向一 分式方程的概念及解法 1．（23-24八年级上·北京·期末）下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是分式方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、不是分式方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·北京海底·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 3．（22-23八年级上·北京·期末）解分式方程时，去分母变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将原方程中的两个分式写成同分母的分式，再给方程两边同时乘以即可． 本题主要考查了解分式方程的步骤—去分母．注意两个分式的分母互为相反数时，要先将两个分式变成同分母的分式，再去分母，另外要注意常数也要乘以公分母，这是解题的关键． 【详解】解： 将原方程变为， 两边同时乘以得 ， 即． 故选：D． 4．（23-24八年级上·北京·期中）解分式方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程的第一步——去分母，注意：当两个分式的分母互为相反数时，要先将两个分式改写成同分母的分式，再去分母，这是解题的关键．先把方程左右两边的分式改写成同分母的分式，再给两边同乘以即可． 【详解】解：原方程变为， 两边同乘以，得． 故选：C． 5．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理可得： 故选：A． 6．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可． 【详解】解：， ， ， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解， 故选：A． 7．（2024·山东临沂·模拟预测）当比多1时，（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的运算，根据比多1，进行列式计算，得，即可作答． 【详解】解：∵比多1 ∴ 即 ∴ 经检验是的解 故选：B 8．（20-21七年级上·北京东城·课后作业） （填“是”或“不是”）方程的解. 【答案】是 【分析】把代入方程的左边，判断等式是否仍然成立即可． 【详解】解：把代入方程 左边， 右边 左边=右边 所以是方程的解 故答案为：是 【点睛】本题考查方程的解，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，注意：解分式方程要验根． 根据分式方程的解法即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 10．若对于实数，，定义一种运算：，则当时， ． 【答案】 【分析】此题考查解分式方程，根据给出的运算方法把式子转化为分式方程，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 11．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 12．解分式方程：． 【答案】 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．本考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 即原方程的解是． 13．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤和方法是解题的关键；按照解分式方程的步骤解题即可． 【详解】解： 去分母： 移项： 合并同类项： 系数化为： 经检验，当时，， 故是该分式方程的解． 14．解分式方程：． 【答案】无解 【分析】此题考查了解分式方程，去分母解整式方程，再检验即可，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键 【详解】解：去分母得 解得 检验：当时，，故不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解 15．解方程： 【答案】无解 【分析】本题考查了分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先去分母再去括号，然后移项合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得 移项、合并同类项，得 解得， 经检验，是增根， 原分式方程无解． 16．解分式方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解题的关键．方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解方程两边都乘得：， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以是增根， 即分式方程无解． 17．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最后要进行检验． （1）按照解分式方程的步骤和方法计算即可； （2）先将原式化为，再按照解分式方程的步骤逐一计算即可； 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 化系数为得：， 检验：将代入得：， 是原方程的根； （2）解：原式可化为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 检验：将代入得， 是原方程的增根，即原分式方程无解． 考向二 根据方程的解的情况求字母取值范围 18．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．或 B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得． 为正数， ，解得． ， ，即． 的取值范围是且． 故选：A 19．（23-24八年级上·北京石景山·期末）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示出x，再根据解是正数且列不等式，即可求解． 【详解】解：将分式方程，去分母得：， 整理得， 解得， 分式方程的解是正数， ， ； 又， ， ， m的取值范围是且， 故选C． 20．若关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先根据解分式方程的一般步骤求出x的表达式，然后根据分式方程的解为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理，可得：， 解得：， ∵关于x的分式方程的解是正数， ∴，且， 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解得情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 21．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先解关于x的方程得到用m的代数式表达的x的值，再根据原方程的解为正数，列出关于m的不等式组，解此不等式组即可求得m的取值范围． 【详解】解：由题意可知 解关于x的方程得：， ∵关于x的方程的解为正数， ∴ ，解得：且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的根，解不等式组，解题的关键是理解m的取值需同时满足以下两个条件：（1）解关于x的方程所得的不能是增根，即；（2）． 22．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）若分式方程的解是，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，将1代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程的解为， 代入整式方程得：， 解得：， 故答案为：． 23．若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是 【答案】且 【分析】先解分式方程，根据分式有意义的条件，以及方程的解小于，列出不等式，进而即可求解． 【详解】解： 两边同时乘以，得 解得：， ∵分式方程的解小于， ∴，且 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 24．（22-23七年级上·北京海淀·期末）已知关于的方程的解大于1，则实数的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】先解方程，再利用方程的解大于1，且求解即可． 【详解】解：方程两边乘得：， 移项得：， 系数化为1得：， 方程的解大于1， ，且， 解得，且． 故答案为：，且． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键是不要漏掉分式方程有意义的条件． 考向三 分式方程无解问题 25．（21-22八年级上·北京·期末）如果关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．5 B．3 C．1 D．－1 【答案】C 【分析】先将分式方程化成整式方程，再根据分式方程无解可得，然后将代入整式方程求出的值即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以化成整式方程为， 关于的分式方程无解， ，即， 将代入方程得：， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程无解问题，根据分式方程无解得出方程的增根是解题关键． 26．（20-21八年级上·北京昌平·阶段练习）若分式方程无解，则的值是（    ） A．0 B．-1 C．-2 D．-1或-2 【答案】D 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 当x=0时分母为0，方程无解，即m=-1； 当x=-1时分母为0，方程无解，即m=-2． 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根，是需要识记的内容． 27．（18-19八年级上·北京·期末）方程＝0的解为（　　） A．﹣2 B．2 C．5 D．无解 【答案】D 【分析】根据解方程的步骤进行作答. 【详解】由题意，得；两边同时乘以（x－5），得到2－x＋3＝0；所以，x＝5.由原式可知，x，矛盾.所以无解.因此，答案选D. 【点睛】本题考查了解方程的步骤，熟练掌握解方程的步骤是本题解题关键. 28．（2018·山东东营·一模）若分式方程无解，则a的值为（　　） A．0 B．-1 C．0或-1 D．1或-1 【答案】D 【详解】解：在方程两边同乘(x＋1)得：x－a＝a(x＋1)， 整理得：x(1－a)＝2a， 当1－a＝0时，即a＝1，整式方程无解， 当x＋1＝0，即x＝－1时，分式方程无解， 把x＝－1代入x(1－a)＝2a得：－(1－a)＝2a， 解得：a＝－1， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程无解，解决本题的关键是熟记分式方程无解的两种情况． 29．（22-23八年级上·北京海淀·阶段练习）若关于的分式方程无解．则的值为 ． 【答案】1 【分析】解分式方程得，由分式方程无解可得，从而可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 解得：， 关于的分式方程无解， ， ， ， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题、解分式方程，分式方程无解有两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根． 30．（22-23八年级下·北京西城·开学考试）分式方程没有解，则m的值为 ． 【答案】3或0 【分析】方程先化为整式方程为，根据题意，方程没有解，即为，求出x后代入上式即可求出m的值． 【详解】解：方程， 去分母得， 化简，得， ∵方程没有解， ∴， ∴或， ∴或； 故答案为：3或0． 【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键． 31．（22-23八年级上·北京·期末）关于的方程无解，则m的值是 ． 【答案】或1/1或 【分析】由分式方程无解可知，分式分式方程去分母后把x的值代入即可求出m的值． 【详解】解：∵分式方程无解， ∴， ∴， ∵， ∴， 把代入得， ， ∴； 另外当，即时，此方程也无解； 综上分析可知，m的值是或1． 故答案为：或1． 【点睛】本题主要考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 32．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程解为负数，确定出k的范围即可． 【详解】解：原方程 去分母得：， 整理得：， ∵有意义， ∴ ∴且， 解得且 当时，方程的解为正数； 当时，方程无解； ∴当，方程的解为负数， 解得：， 综上所述，此时k的范围为，且， 故选：D． 33．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或3 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程，关键在于理解把新定义方程转化为对应的分式方程，分情况讨论注意要验根，避免增根．分类讨论与的大小情况，利用题中的新定义得出对应方程，求解即可． 【详解】解：（1）当时，方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2）当时，方程整理得：， 去分母到：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选C． 34．（22-23八年级上·北京·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数 ． 【答案】2或/或2 【分析】先去分母解整式方程得，根据分式方程有正整数解，得到的值为1或2或4，且，由此求出答案． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， 解得， ∵分式方程有正整数解， ∴的值为1或2或4，且， 解得或， 故答案为：2或． 【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键． 35．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于的方程的解的情况求出的取值情况，然后求出满足条件的的值，即可得出答案． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有解且最多有3个整数解， ， 解得：， 整数为：1，2，3，4，5，6， 解分式方程，得， 分式方程有整数解， 是整数，且， 整数为：1，5， 所有满足条件的整数的值之和是． 故答案为：6． 36．（21-22八年级上·北京昌平·期末）若关于x的分式方程的解是正数，当m取最大整数时，求的平方根． 【答案】±6 【分析】通过解分式方程解出分式方程的解，再确定符合条件的m可取的最大整数解，再计算出此题最后结果即可． 【详解】解：解分式方程，得 x=6-m， ∵ ∴，即 ∵ ∵分式方程的解是正数， ∴6-m>0， ∴m<6， ∴m的取值范围是m<6，且 可得m取最大整数5， 当m=5时， m2+2m+1的平方根为： =±6． 【点睛】此题考查了对分式方程及不等式的应用能力，关键是能正确求解分式方程与不等式，并根据题意正确确定问题的答案． 37．我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为． ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2 【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义即可得； （2）先根据十字分式方程的定义求出的值，再化简代入计算即可得； （3）先根据十字分式方程的定义求出，，从而可得，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， 当时，， 关于的十字分式方程的两个解分别为， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$