小专题2 等积式与比例式的证明-【一课通】2024-2025学年九年级上册数学随堂小练习(青岛版)

>8 小专题2等积式与比例式的证明 一、直接利用三角形相似证明比例式或等积式 L如图，在口ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点P,求证：%-D 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，求 证：BP·PC=AB·CD. 3.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，∠EDF= 45°，E,F分别在AC,BC的延长线上，DF与AC交于点M,DE与BC交于点N,求证： CD2=CE·CF 二、通过中间线段证明比例式或等积式 4.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，BD是△ABC的角平分线.求证：AD=CD·AC. 17 5.已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E,过点E作AC的 垂线交边BC于点F,与AB的延长线交于点M,且AB·AM=AE·AC. 求证：DE=EF·EM. 6.如图，AD为△ABC的中线，点E为AD上一点，若∠DAC=∠B,CD=CE,求证： CD2=AD·AE. 三、通过中间比证明比例式或等积式 .如图，DE∥BC分别交AB,AC于点D,E,连接CD,BE交于点O,求证：A地-% 8.如图，AD,BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB,垂足为点F,FD交BE于点M, FD,AC的延长线交于点N. (1)求证：△BFM∽△NFA: (2)求证：DF2=FM·FN. 186.证明：：AB=AC,∠BAC=120°， 5.解：如图，过点D作DM⊥AB于点M,交EH于点N .∴.∠ABD=∠ACB=30° AE∥BG,AB⊥BG ∠ADE=30°， ∴.AE⊥AB. .∠ABD=∠ADE=30 .DM⊥AB ∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB, ∴.AE∥MD∥BG .∠EDC=∠DAB. AM等于△ADE的边AE上 ∴.△ABD∽△DCE. 的高 7.(1)证明：AB⊥BC,DC⊥BC, AB⊥BG.EH⊥BG,CD⊥BG .∠B=∠C=90°，∠EAB+∠AEB=90 .AB∥EH∥CD .AE⊥DE,.∴.∠AED=90° .AE=BH=3米，BM=CD=1.8米. .∠AEB+∠DEC=90 :AE∥BG .∴.∠EAB=∠DEC .△ADE△GDF .△ABE∽△ECD. (2)解：在Rt△ABE中，AB=4,AE=5, 普"哈兴 ∴.BE=3 .AM=3.6米. BC-5, .AB=AM+BM=5.4米 .EC=5-3=2. 答：路灯主杆AB的高度为5.4米 由(I)得△ABE△ECD, 小专题2等积式与比例式的证明 搬“号品 1.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AE∥DC,∠A=∠G D=2 .∠CDF=∠E. .△DAE∽△FCD 1.3 相似三角形的性质 【边学边练】 %思 1.C2.A3.B 2.证明：AB∥CD,∠B=90°. 【随堂小测】 .∠C=90°.∠B=∠C. 1.A 又：∠APD=90°， 2.2:1【解析】如图，分别过点A、点E作AM⊥BD,EN⊥ .∠APB+∠DPC=90. BD,垂足分别为点M,V,则∠AMB=∠END=90 :∠BAP+∠APB=90°， .BM =2,DN =1.AM =4,EN .∠BAP=∠CPD. =2, .△ABP∽△PCD. BM AM DN-EN 提器 .△ABM∽△EDN .∴.BP·PC=AB·CD ∴.∠ABM=∠EDN. 3.证明：，：在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD 品祭子2 是∠ACB的平分线， .∠ACD=∠BCD=45°，∠ACF=∠BCE=90 .AB∥ED..∠BAC=∠EDC .∠DCF=∠DCE=135. 又∠ACB=∠DCE,.∴.△ABC∽△DEC .∠F+∠CDF=45o. .△ABC与△CDE的周长之比为2：1. :∠FDE=45°， 3.8 .∠CDE+∠CDF=-45 4.解：∠ADE=∠ABC,∠DAE=∠BAC, ∴.∠F=∠CDE .△ADE∽△ABC. '∠DCF=∠ECD,∠F=∠CDE, M,N分别是DE,BC的中点， .△FCD∽△DCE. .AM,AN分别为△ADE,△ABC的中线 CF CD DE AM 1 CD=CE BC=AN=2 .CD=CE·CF DE 4.证明：，∠A=36°，∠C=72°， SAA微 BC 1=41 .∠ABC=72°..AB=AC 110 又：BD是△ABC的角平分线 .DF2=FM·FN .∠ABD=∠CBD=36.∴.BD=AD. 1.4图形的位似 .∠BDC=∠C=72..BC=BD, 第1课时位似图形 .BC BD =AD. 【边学边练】 &△D△4CR船- 1.D .BD·BC=AB·CD,即AD=CD·AC 2.解：如图，△A'BC和△A'B'C'即为所求作 5证明：M:AW=AEAC提品 :∠CAB=∠MAE,·,△ACB∽△ABME ∴.∠ABC=∠AE3M=90 .口ABCD是矩形.，DE=EB=AE. .∠EAB=∠EBA. :∠EBF+∠EBA=∠EMB+∠EAB=9O°， ∴.∠EMB=LEBF 3. 3 5 又：·∠BEF=∠MEB,∴.△EBF∽△EMB. 【随堂小测】 儡器 1.D2.B .EB=EF·EM.即DE=EF·EM. 3.1:2【解析】根据五边形ABCDE的面积扩大为原来 6.证明：'CD=CE. 的4倍，利用相似图形面积的比等于相似比的平方， .∠CED=∠CDE.∠ADB=∠AEC. 即可得0D:0D,=1:2. 又，∠DAC=∠B 4.4:7 .△BDA∽△AEC. 5.解：(1)如图所示，△A'B'C即为所求作 能先思 又：AD为△ABC的中线， m=m六盖品 .CD2=AD·AE. (2)AM'=CC'=2.在R△OA'C中， 7.证明：，DE∥BC. 0A'=0C'=2,得A'C=22. 鼎既品 同理可得AC=42. 四边形AM'CC的周长=4+62 鼎兴 第2课时平面直角坐标系中的位似 8.证明：(1)DF⊥AB,BE是△ABC的高， 【边学边练】 .∠BFD=∠AFD=∠AEB=90° 1.D2.C ∴∠FBM=90°-∠BAC,∠N=90°-∠BAC 【随堂小测】 ∴.∠FBM=∠N. 1.B 又：∠BFM=∠NFA, 2.C【解析】，：正方形OABC与正方形ODEF是位似图 .△BFM∽△NFA. 形，0为位似中心，相似比为1：2， (2)由(1)知，△BFM∽△NFA. 0A:0D=1:2. 职骨 :点A的坐标为(1,0)，即04=1，∴.O0=2 .FM·FN=FB·FA. :四边形ODEF是正方形.DE=OD=√2 :∠FBD+∠FDB=90°，∠FBD+∠FAD=90°， .E点的坐标为(2，迈).故选C ∴.∠FDB=∠FAD. 3.B 又：∠BFD=∠DFA, 4.9【解析小：△ABC和△A'BC是以坐标原点O为住 ∴.△BFD∽△DFA. 似中心的位似图形，且点A(3,6),A'(1,2), 六器g即D=B,A .△ABC与△AB'C的相似比等于3：1， .△ABC与△A'BC的面之比为9：1. 111