精品解析：四川省新津中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

四川省新津中学高2022级（高二）下期3月月考试题 数 学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 3. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 16 B. 14 C. 8 D. 4 4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 已知数列的前项和，则数列的前项和等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 9 B. 135 C. 270 D. 7. 已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 8. 数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=66，a2+a4+a6=57，则（ ） A. {an}的公差为-2 B. {an}的通项公式为an=31-3n C. {an}的前n项和为 D. {|an|}的前50项和为2575 10. 已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. D. 数列的前10项和为34822 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等差数列 C. 若数列为等差数列，，，则 D. 若数列为等差数列，，，则时，最大 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，则=______. 13. 数列中，，则__________. 14. 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________． 四、解答题（共77分） 15. 已知是递增的等比数列，，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线l与椭圆相交于A，B两点． （1）求的中点的坐标； （2）求的周长与面积． 17. 已知数列的前顶和为.且. （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，，求数列的前项和. 18. 在四棱锥中，，，，，，平面，． （1）若是的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 19. 已知数列满足，且，数列满足，设的前项和为． （1）求数列的通项公式；求数列的前项和； （2）设，记数列的前项和为对恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省新津中学高2022级（高二）下期3月月考试题 数 学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等比数列的通项公式及，，建立方程组可求公比. 【详解】因为，，所以，解得； 故选：C. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，熟记公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和的性质，分析即得解. 【详解】由等差数列的性质得： ，，成等差数列， 所以， 解得. 故选：A 3. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 16 B. 14 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质和等比数列的性质即可求出． 【详解】等比数列{an}的各项均为正数，且log2a1+log2a2+…+log2a7＝7， ∴log2（a1a2…a7）＝7， ∴a1a2…a7＝27， ∴a47＝27， ∴a4＝2， ∴a2a6+a3a5＝2a42＝8， 故选：C． 4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得． 解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2， 所以Sn=-11n+ ×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，Sn取最小值． 故选A 点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力． 5. 已知数列的前项和，则数列的前项和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求出，确定是等比数列，然后由等比数列前项和公式计算． 【详解】当时，，∴； 当时，，满足上式，∴， ∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列是首项为1，公比为4的等比数列， ∴， 故选：A. 6. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 9 B. 135 C. 270 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等差数列的性质计算． 【详解】∵是等差数列， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的性质，利用性质求解比较简捷．等差数列的性质： （1）若正整数满足，则，特别地若，则， （2）． 7. 已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由递推关系求出，再由裂项相消法求的前10项和即可. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得，即， 所以， 所以. 故选：D 8. 数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是大于，即可得答案. 【详解】由已知可得，数列：，可得规律为，，……此时将原数列分为三个等差数列：，；，； ，， 当时，，即. 而时，，即， 所以满足对任意的恒成立的最大值为． 故选：C. 【点睛】关于数列的项的判断，一般有两种题目类型，一种是具有周期的数列，可以通过列出前几项找出数列的周期，利用周期判断；另一种是数列的项与项之间存在规律，需要通过推理判断项与项之间的规律从而得数列的通项. 二、多选题（每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=66，a2+a4+a6=57，则（ ） A. {an}的公差为-2 B. {an}的通项公式为an=31-3n C. {an}的前n项和为 D. {|an|}的前50项和为2575 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差中项的性质得到，，然后求公差，即可判断A选项；根据，得到，然后求通项即可判断B选项；利用等差数列求和公式得到即可判断C选项；根据得到当时，，即可得到的前50项和为，然后代入求和即可判断D选项. 【详解】设的公差为，前项和为，因为，， 所以，，所以，故A错． 因为，所以，故B正确， ，故C正确， 当时，，所以的前50项和为，故D错. 故选：BC. 10. 已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. D. 数列的前10项和为34822 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据可求出数列的通项公式，即可判断ABC的真假，再根据错位相减法求出数列的前10项和，即可判断D的真假． 【详解】当时，，当时，，时也符合，所以，因此是等差数列，，是等比数列，AB正确； ，C错误； ，所以其前10项和为，，作差可得，，解得，D正确． 故选：ABD． 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等差数列 C. 若数列为等差数列，，，则 D. 若数列为等差数列，，，则时，最大 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，逐项分析即可得到结果. 【详解】由于，当时，， 若，则当时，，又，故A错误； 因为， 当时，； 当且时，， 当时，上式亦满足，所以； 所以，所以是首项为，公差为的等差数列；故B正确； 若数列为等差数列，，，则，即，所以，故C错误； 若数列为等差数列，，， 所以，， 所以，，即，， 设等差数列的公差为，所以，所以等差数列是递减数列， 所以在等差数列中，当且时，当且时， 所以时，最大，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，则=______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式：即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由， 且， 解得，， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及基本量的运算，属于基础题. 13. 数列中，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合累加法及裂项相消法可得，根据已知条件即可求出通项公式. 【详解】因为，所以， 则当时， ，将个式子相加可得 ，因为，则， 当时，符合题意，所以. 所以 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 两式作差得，所以， 两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列. 若对恒成立，当且仅当. 又，， 所以，解得：. 即首项的取值范围是. 四、解答题（共77分） 15. 已知是递增的等比数列，，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）利用等比数列的基本量，列方程求解通项公式即可； （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）∵， ∴或（舍） 又，∴， ∴或（舍）， ∴， ∴. （2）∵ ∴， 两式相减得， ∴. 【点睛】本题考查由基本量求数列的通项公式，以及用错位相减法求前项和，属综合基础题. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线l与椭圆相交于A，B两点． （1）求的中点的坐标； （2）求的周长与面积． 【答案】（1）；（2）周长为，面积为． 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的焦点，进而求出的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理以及中点坐标公式即可求解. （2）利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，利用弦长公式求出，根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由，知，． ， 的方程为 由消去y，整理得． 设的中点为， 则，，，， 的中点的坐标为． （2）由题意，知到直线的距离，， 的周长为，面积为． 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系、中点坐标坐标公式、弦长公式，属于基础题. 17. 已知数列的前顶和为.且. （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用求通项公式； （2）转化为等差数列、等比数列，分组求和. 【小问1详解】 当时，可得：； 当时，，，两式相减，得：，即， 所以：. 【小问2详解】 当时，； 当时，，所以， 所以：， 时，，上式也成立. 所以：， 18. 在四棱锥中，，，，，，平面，． （1）若是的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明:取的中点，连接． 因为是中点，所以, 因为，，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）证明:因为平面，平面,平面, 所以，，又，所以两两垂直． 如图，以点坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系． 则， 所以，， 因为，所以， 因为平面，所以， 因为，平面,平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先证明两两垂直，以点坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （3）利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（2）知是平面的一个法向量，，， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 19. 已知数列满足，且，数列满足，设的前项和为． （1）求数列的通项公式；求数列的前项和； （2）设，记数列的前项和为对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）对变形得到，得到是等差数列，求出通项公式，利用裂项相消法求和； （2）得到，利用错位相减法求出，判断出在上单调递增，求出，得到不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以，所以（常数）， 故数列是以为公差的等差数列，且首项为， 所以，故． 因为， 所以． 【小问2详解】 ． 所以， 所以， 两式相减得，， 所以． 由， 知在上单调递增， 所以，所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $