精品解析：2024年甘肃省平凉市初中毕业与高中阶段招生考试模拟数学试题(一)

平凉市2024年初中毕业与高中阶段招生考试模拟（一） 数 学 注意事项： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 2024的相反数是（ ） A. B. C. D. 2024 2. 下面是四个手机应用图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（　　） A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠3=180° D. ∠3+∠4=180° 5. 分式方程＝1的解为（　　） A. x=﹣2 B. x=﹣3 C. x=2 D. x=3 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在菱形中，E是的中点，，交于点F，如果，那么菱形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 8. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确是（　　） A. 中位数是2 B. 众数是17 C. 平均数是2 D. 方差是2 9. 把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：__________． 12. 太阳半径约是69.7万千米，用科学记数法表示约是______千米． 13. 某商品原价元，连续两次涨价后，售价为元．若平均增长率为，则_____． 14. 如图，中，弦与半径相交于点D，连接．若，，则______． 15. 如图，在中，将沿折叠，点D恰好落在延长线上的点E处，若，，则边的长为______． 16. 已知：正方形的边长为8，点分别在上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为________． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 计算． 20. 如图，已知中，． （1）尺规作图：作的内切圆（保留作图痕迹，请标明字母） （2）若中，求内切圆的面积． 21. 有A、B两个口袋，A口袋中装有两个分别标有数字2，3小球；B口袋中装有三个分别标有数字，4，的小球．小明先从A口袋中随机取出一个小球，用m表示所取球上的数字，再从B口袋中随机取出两个小球，用n表示所取球上的数字之和． （1）用画树状图法或列表法表示小明所取出三个小球的所有可能结果； （2）求的值是整数的概率． 22. 太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯．如图，某种型号太阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得路灯D的仰角为48°，已知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度．（结果精确到0.1 米，参考数据：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11） 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 英才学校为了了解“双减”工作实行情况和学生周一至周五课外作业时间的情况，对本校部分学生进行了抽样调查（问卷调查的内容如下）： 调查问卷 1．周一到周五你每晚完成作业的时间是______小时． 如果你平均每天作业时间不少于1.5小时，请回答第2个问题． 2．作业时间不少于1.5小时的主要原因是______（单选）． A．课后延时服务时间短 B．老师布置的作业负担仍然重 C．父母期望值过高，增加课外作业 D．学习效率低 现根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 类型 频数（人数） 频率 作业时间 A 16 0.16 B m 0.4 C 20 n D 24 0.24 请根据以上图表信息解答下列问题： （1）统计表中的______，______； （2）在扇形统计图中，C所对应的扇形圆心角的度数为______； （3）若该校共有3000名学生，估计有多少名学生作业时间不少于1.5小时． 24. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求n的值及一次函数的解析式． 25. 如图，在中，，以为弦作，交的延长线于点，且，． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为，，求劣弧的长． 26. 问题情境】已知等腰三角形中，点D在底边上．将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于180°），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，易知； 如图2，当时，则与的数量关系为______． （2）如图3，探究与的数量关系（用含的三角函数表示），并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，当，且B，E，F三点共线时，若，，则的长为______． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点． 备用图 （1）求该抛物线的函数解析式． （2）在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值． （3）在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平凉市2024年初中毕业与高中阶段招生考试模拟（一） 数 学 注意事项： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 2024的相反数是（ ） A. B. C. D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：2024的相反数是． 故选：A 2. 下面是四个手机应用图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A、B、C均不是轴对称图形，故不符合要求； D中是轴对称图形，故符合要求； 故选：D． 3. 计算的结果是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：=a6+2=a8， 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4. 如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（　　） A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠3=180° D. ∠3+∠4=180° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质判断． 【详解】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠3+∠5=180°， 又∵∠5=∠4， ∴∠3+∠4=180°， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补． 5. 分式方程＝1的解为（　　） A. x=﹣2 B. x=﹣3 C. x=2 D. x=3 【答案】B 【解析】 【分析】先去分母转化为整式方程，然后求解，注意结果要检验． 【详解】解：去分母得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故选：B． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握解题步骤正确计算是解题关键． 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，尤其是图象的位置与、的关系．由的形式即可确定、的符号，然后根据一次函数的图象和性质即可确定其位置． 【详解】解：，， 一次函数的图象经过一、二、四象限， 一次函数的图象不经过第三象限， 故选：C． 7. 如图，在菱形中，E是的中点，，交于点F，如果，那么菱形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据中位线可得长为长的倍，那么菱形的周长，问题得解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长是， 故选：D． 8. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A. 中位数是2 B. 众数是17 C. 平均数是2 D. 方差是2 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据中位数、众数的定义以及平均数、方差的计算公式，求出中位数、众数、平均数和方差，即可得出结论． 【详解】解：A. 这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，则这组数据的中位数为2；故此选项正确； B.这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，则这组数据的众数是3；故此选项错误； C.这组样本数据的平均数为：（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=1.98（册）；故此选项错误； D.方差是： ；故此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，熟练掌握各知识点的计算方法是解题的关键． 9. 把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解． 【详解】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y 解得y=6 ∴8+x+6=2+5+8 解得x=1 故选A． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解． 10. 如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据点Q的位置分类讨论，分别表示出的面积，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】由题意得，点Q移动的路程为，点P移动的路程为x， ∵为等边三角形， ∴， ①当点Q在线段上时，过点Q作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选项A、B排除； ②当点Q在线段上时，过点Q作于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故选项C排除； 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可； 【详解】解：， 故答案为：； 【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键． 12. 太阳半径约是69.7万千米，用科学记数法表示约是______千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为  的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成  时，小数点移动了多少位）． 【详解】解：69.7万， 故答案为：． 13. 某商品原价元，连续两次涨价后，售价为元．若平均增长率为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均增长率为，列出方程，求解方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：． 14. 如图，中，弦与半径相交于点D，连接．若，，则______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及三角形外角的性质.根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，解出是解题的关键． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，将沿折叠，点D恰好落在延长线上的点E处，若，，则边的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，折叠的性质，相似三角形性质和判定，利用平行四边形性质和折叠的性质，证明为等边三角形，得到，再证明，利用相似的性质求解，即可解题． 【详解】解：记交于点， 四边形为平行四边形，，， ，，， ， 由折叠的性质可知，，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 已知：正方形的边长为8，点分别在上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，掌握全等三角形的判断和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据正方形的性质可证，可得，是直角三角形，运用勾股定理可得的值，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， 在中，， ∵点是的中点， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，先根据算术平方根、负整数指数幂、零指数幂的性质化简，再将化简的结果加减即可． 【详解】解：， ， ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：， 由，解得， 由，解得， ∴. 19 计算． 【答案】 【解析】 【分析】先将括号内的部分进行通分，再根据同分母的分式减法法则计算，然后把除法转化为乘法，约分化简即可得到答案． 【详解】， ＝（－）· ＝· ＝ 【点睛】此题考查了分式混合运算，能正确进行通分和约分是解此题的关键． 20. 如图，已知中，． （1）尺规作图：作的内切圆（保留作图痕迹，请标明字母） （2）若中，求内切圆的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点，过点作于点，以为圆心，的长为半径作圆，则即为所求； （2）勾股定理求得，设的半径为，根据等面积法求得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 ∵中， ∴, 设的半径为， 则， 解得：， ∴内切圆的面积为． 【点睛】本题考查了作三角形的内切圆，三角形内心的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键． 21. 有A、B两个口袋，A口袋中装有两个分别标有数字2，3的小球；B口袋中装有三个分别标有数字，4，的小球．小明先从A口袋中随机取出一个小球，用m表示所取球上的数字，再从B口袋中随机取出两个小球，用n表示所取球上的数字之和． （1）用画树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果； （2）求的值是整数的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）采用树状图法列出所有结果．要注意不重不漏的表示出所有可能情况．列举出符合题意的各种情况的个数， （2）根据概率公式解答即可． 【小问1详解】 解：用树状图表示取出的三个小球上的数字所有可能结果如下： ∴共有12种等可能的情况． 【小问2详解】 解：由树状图可知，所有可能的值分别为，，，，，，1，，1，，，，共有12种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中的值是整数的情况有6种， ∴的值是整数的概率． 22. 太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯．如图，某种型号太阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得路灯D的仰角为48°，已知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度．（结果精确到0.1 米，参考数据：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11） 【答案】路灯D距地面AE的高度为9.4米 【解析】 【分析】如图所示，过点D作DG⊥AE于G，过点F作FH⊥DG于H，过点C作CM⊥DG于M，则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形，先解直角三角形CDM求出CM的长洁儿求出HF的长，解直角三角形DHF求出DH的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作DG⊥AE于G，过点F作FH⊥DG于H，过点C作CM⊥DG于M，则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形， ∴CM=AG，HF=EG，HG=EF， ∵∠BCD=60°， ∴∠DCM=30°， 又∵∠CMD=90°， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴路灯D距地面AE的高度为9.4米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 英才学校为了了解“双减”工作实行情况和学生周一至周五课外作业时间的情况，对本校部分学生进行了抽样调查（问卷调查的内容如下）： 调查问卷 1．周一到周五你每晚完成作业的时间是______小时． 如果你平均每天作业时间不少于1.5小时，请回答第2个问题． 2．作业时间不少于1.5小时的主要原因是______（单选）． A．课后延时服务时间短 B．老师布置的作业负担仍然重 C．父母期望值过高，增加课外作业 D．学习效率低 现根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 类型 频数（人数） 频率 作业时间 A 16 0.16 B m 0.4 C 20 n D 24 024 请根据以上图表信息解答下列问题： （1）统计表中的______，______； （2）在扇形统计图中，C所对应的扇形圆心角的度数为______； （3）若该校共有3000名学生，估计有多少名学生作业时间不少于1.5小时． 【答案】（1）40；0.2 （2）： （3）名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图综合问题，利用样本占比估算整体情况，求样本容量，补全统计图，解题的关键是根据条形统计图与扇形统计图共同量求出样本容量． （1）根据A的数量及占比即可得到样本数量，然后利用样本数量计算得到m，n的值； （2）根据乘以C的占比即可得到答案； （3）用总人数乘以不少于1.5小时的学生的占比即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意，， 总人数（名）， ∴（名）， 故答案为40；0.2. 【小问2详解】 C所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 若该校共有3000名学生，估计作业时间不少于1.5小时的学生人数为（名）． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求n的值及一次函数的解析式． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，以及函数图象上点的坐标特征，熟练利用数形结合来解决一次函数和反比例函数问题的方法是本题解题的关键． （1）根据题意将点代入反比例函数中求解，即可解题； （2）利用已知点在函数图像上，那么点一定满足这个函数解析式，将代入反比例函数的解析式求解，即可算出n的值，再将，代入一次函数的解析式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象过点， ， 解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：反比例函数的图象过点， ， 解得， ， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，， ，解得， 一次函数的解析式为． 25. 如图，在中，，以为弦作，交的延长线于点，且，． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为，，求劣弧的长． 【答案】（1）见解析 （2）劣弧的长为 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，可知为的直径，可证，再根据角的关系证明，由此即可求证； （2）连接，根据题意可得是的中线，根据的性质，圆周角的性质可求出的度数，根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的直径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长为． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的证明方法，弧长的计算方法是解题的关键． 26. 问题情境】已知等腰三角形中，点D在底边上．将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于180°），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，易知； 如图2，当时，则与的数量关系为______． （2）如图3，探究与的数量关系（用含的三角函数表示），并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，当，且B，E，F三点共线时，若，，则的长为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)可证明, 从而，进而得出结果； (2)过点作于点, 可推出 ，进而证得，从而； (3)作于点, 过点作, 交BF延长线于点H, 设. 则由得从而进而表示出在 中，由勾股定理列出方程从而 进一步得出结果. 【详解】解：当 时, 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图,，理由如下： 过点作于点, ， ，， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ； （3）如图,作于点, 过点作，交延长线于点， ， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ∴, ∵°, ∴, ∴, 设, 则, ∵, ， ∴, ∴, ∵, ∴. ， 在中, 由勾股定理得, ， ， ∴, ∴,由（2）得: ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点． 备用图 （1）求该抛物线的函数解析式． （2）在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值． （3）在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，点P的坐标为，的面积最大值为； （3）存在，N点坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）将点，代入抛物线的函数解析式求解，即可解题； （2）过点P作轴，交于点Q，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，表示出，利用二次函数的最值，得到的最大值，推出点P的坐标，进而得到的面积最大值； （3）根据以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况讨论，①当，为对角线时，②当，为对角线时，③以，为对角线时，利用平行四边形对角线互相平分的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 解：将点，代入中， 有，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线解析式为，把，代入， 可得，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， 点P在直线的下方， ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 此时点P的坐标为， 的面积最大值为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 点N是对称轴上的一点，点P是抛物线上一点， 设N点坐标为，P点坐标为， 以点B，C，P，N为顶点的平行四边形： ①当，为对角线时， ，且，解得，， 此时N点坐标为； ②当，为对角线时， ，且，解得，， 此时N点坐标为； ③以，为对角线时， ，且，解得，， 此时N点坐标为． 综上，N点坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 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