第一单元专练篇·08：内圆外方与内方外圆面积问题-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 4 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元专练篇·08：内圆外方与内方外圆面积问题 一、填空题。 1．在一个周长为 16厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是( ) 平方厘米；然后在这个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是( )平 方厘米。 2．在一个长 8厘米、宽 6厘米的长方形中，画一个最大的圆，圆的直径是 ( )厘米，面积是( )平方厘米。 3．已知一个正方形的面积为 10平方厘米，在这个正方形内画一个最大的圆，则 圆的面积为( )平方厘米。 4．一张正方形的彩纸边长是 8分米，把它剪成一个最大的圆，这个圆的面积是 ( )平方分米，剪去部分的面积是( )平方分米。 5．下图是一面我国唐代铜镜的背面。铜镜的直径是 24cm，外面圆与内部的正方 形之间部分的面积是( )cm2。 6．在一个正方形内画一个最大的圆，再在圆内画一个最大的正方形，如果圆的 面积为 12.56平方厘米，则圆外正方形的面积是( )平方厘米，圆内正方 形面积是( )平方厘米。 7．如图所示：圆的面积是 50.24cm2，那么圆内最大的正方形面积是( )cm2。 8．在一个长 12厘米、宽 8厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是 ( )平方厘米；如果在这个长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的周 2 / 4 长是( )厘米。 9．一张正方形纸片的对角线长是 8厘米，利用这张正方形纸剪一个最大的圆， 这个圆的面积是( )。（π取 3.14） 10．外圆内方体现中国和谐共生的传统文化。如图，圆的半径为 3cm，正方形的 面积为( )cm2。 二、选择题。 11．如图，把一个折叠方桌的桌面四边撑开，就成了圆桌，圆桌的半径是 1米。 折叠方桌和圆桌的面积比是( )。 A．4∶π B．π∶4 C．2∶π D．π∶2 12．在一个直径是 4cm的圆中画一个最大的正方形，圆的面积与正方形的面积 比是( )。 A．4∶π B．2∶π C．π∶4 D．π∶2 13．在一张长为 16厘米、宽为 8厘米的长方形纸片上剪下一个最大的圆，则这 个圆的面积是( )厘米。 A．200.96 B．50.24 C．25.12 D．12.56 14．如图，甲图和乙图中的两个圆的半径都是 4厘米，两图中涂色部分的面积相 比，( )。 A．甲大 B．乙大 C．相等 15．如图，在长方形里面画两个同样大小的圆，那么 2个圆的面积之和与长方形 的面积之比是( )。 3 / 4 A． : 2 B． : 4 C． :1 D． : 8 16．如图，小圆面积是正方形的( )，大圆面积是正方形的( )。 A． 2  ；2倍 B． 4  ； 2  C．2倍；2倍 D．不能确定 三、解答题。 17．如图，大正方形的面积是 400平方厘米，则圆环的面积是多少平方厘米？ 18．有一个可以折叠的圆形餐桌，它的直径是 2米，折叠后正好是一个正方形（如 图），折叠后的面积减少了多少？ 4 / 4 19．李叔叔计划在边长 8米的正方形天台上用油漆涂出一个最大的圆用于布置， 若每平方米需要用油漆 0.5千克，需要多少千克油漆？ 20．在一张直径是 10厘米的圆中剪下一个最大的正方形（如图所示），剩下阴 影部分的面积是多少平方厘米？ 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元专练篇·08：内圆外方与内方外圆面积问题 一、填空题。 1．在一个周长为16厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米；然后在这个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是( )平方厘米。 2．在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中，画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 3．已知一个正方形的面积为10平方厘米，在这个正方形内画一个最大的圆，则圆的面积为( )平方厘米。 4．一张正方形的彩纸边长是8分米，把它剪成一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方分米，剪去部分的面积是( )平方分米。 5．下图是一面我国唐代铜镜的背面。铜镜的直径是24cm，外面圆与内部的正方形之间部分的面积是( )cm2。 6．在一个正方形内画一个最大的圆，再在圆内画一个最大的正方形，如果圆的面积为12.56平方厘米，则圆外正方形的面积是( )平方厘米，圆内正方形面积是( )平方厘米。 7．如图所示：圆的面积是50.24cm2，那么圆内最大的正方形面积是( )cm2。 8．在一个长12厘米、宽8厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米；如果在这个长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )厘米。 9．一张正方形纸片的对角线长是8厘米，利用这张正方形纸剪一个最大的圆，这个圆的面积是( )。（π取3.14） 10．外圆内方体现中国和谐共生的传统文化。如图，圆的半径为3cm，正方形的面积为( )cm2。 二、选择题。 11．如图，把一个折叠方桌的桌面四边撑开，就成了圆桌，圆桌的半径是1米。折叠方桌和圆桌的面积比是( )。 A．4∶π B．π∶4 C．2∶π D．π∶2 12．在一个直径是4cm的圆中画一个最大的正方形，圆的面积与正方形的面积比是( )。 A．4∶π B．2∶π C．π∶4 D．π∶2 13．在一张长为16厘米、宽为8厘米的长方形纸片上剪下一个最大的圆，则这个圆的面积是( )厘米。 A．200.96 B．50.24 C．25.12 D．12.56 14．如图，甲图和乙图中的两个圆的半径都是4厘米，两图中涂色部分的面积相比，( )。 A．甲大 B．乙大 C．相等 15．如图，在长方形里面画两个同样大小的圆，那么2个圆的面积之和与长方形的面积之比是( )。 A． B． C． D． 16．如图，小圆面积是正方形的( )，大圆面积是正方形的( )。 A．；2倍 B．； C．2倍；2倍 D．不能确定 三、解答题。 17．如图，大正方形的面积是400平方厘米，则圆环的面积是多少平方厘米？ 18．有一个可以折叠的圆形餐桌，它的直径是2米，折叠后正好是一个正方形（如图），折叠后的面积减少了多少？ 19．李叔叔计划在边长8米的正方形天台上用油漆涂出一个最大的圆用于布置，若每平方米需要用油漆0.5千克，需要多少千克油漆？ 20．在一张直径是10厘米的圆中剪下一个最大的正方形（如图所示），剩下阴影部分的面积是多少平方厘米？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元专练篇·08：内圆外方与内方外圆面积问题 一、填空题。 1．在一个周长为16厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米；然后在这个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 12.56 8 【分析】根据正方形的周长＝边长×4可知，用周长除以4，求出这个正方形的边长是4厘米，所以正方形内最大的圆的直径就是4厘米，由此利用圆的面积＝πr2即可解答；在直径4厘米的圆内画一个最大的正方形，正方形的对角线等于4厘米，据此可知：正方形的面积等于两个直角三角形的面积之和。直角三角形的底是4厘米，高是4÷2＝2（厘米），根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求出一个三角形的面积，再乘2即可求出正方形的面积。 【详解】16÷4＝4（厘米） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 4÷2＝2（厘米） 4×2÷2×2 ＝8÷2×2 ＝8（平方厘米） 即在一个周长为16厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是12.56平方厘米；然后在这个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是8平方厘米。 2．在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中，画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 6 28.26 【分析】以长方形的宽（较短边）为直径的圆是长方形内面积最大的圆，再根据圆的面积＝半径的平方，求出这个圆的面积，据此解答。 【详解】在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中，画一个最大的圆，圆的直径是6厘米； 6÷2＝3（厘米） 3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 所以圆的直径是6厘米。面积是28.26平方厘米。 3．已知一个正方形的面积为10平方厘米，在这个正方形内画一个最大的圆，则圆的面积为( )平方厘米。 【答案】7.85 【分析】正方形内最大的圆的直径等于这个正方形的边长，设这个圆的半径为r厘米，则正方形的边长就是2r，根据正方形的面积是10平方厘米可得： 2r×2r＝4r2＝10， 整理可得： r2＝2.5，把它代入到圆的面积公式中即可求出这个最大圆的面积。 【详解】设圆的半径为r，则正方形的边长为2r。 2r×2r＝4r2＝10 r2＝10÷4＝2.5 则圆的面积： πr2 ＝3.14×2.5 ＝7.85（平方厘米） 正方形的面积为10平方厘米，在这个正方形内画一个最大的圆，则圆的面积为7.85平方厘米。 4．一张正方形的彩纸边长是8分米，把它剪成一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方分米，剪去部分的面积是( )平方分米。 【答案】 50.24 13.76 【分析】根据题意，把一张正方形的彩纸剪成一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积；根据正方形的面积公式S＝a2，求出正方形的面积；再用正方形的面积减去圆的面积，即是剪去部分的面积。 【详解】圆的面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 正方形的面积： 8×8＝64（平方分米） 剪去部分的面积： 64－50.24＝13.76（平方分米） 这个圆的面积是50.24平方分米，剪去部分的面积是13.76平方分米。 5．下图是一面我国唐代铜镜的背面。铜镜的直径是24cm，外面圆与内部的正方形之间部分的面积是( )cm2。 【答案】164.16 【分析】已知铜镜的直径，先根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 用一条对角线把内部的正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是这个正方形的面积； 最后用圆的面积减去正方形的面积即可求解。 【详解】圆的半径：24÷2＝12（cm） 圆的面积： 3.14×122 ＝3.14×144 ＝452.16（cm2） 正方形的面积： 24×12÷2×2 ＝288÷2×2 ＝288（cm2） 外面圆与内部的正方形之间部分的面积： 452.16－288＝164.16（cm2） 所以，外面圆与内部的正方形之间部分的面积是164.16cm2。 6．在一个正方形内画一个最大的圆，再在圆内画一个最大的正方形，如果圆的面积为12.56平方厘米，则圆外正方形的面积是( )平方厘米，圆内正方形面积是( )平方厘米。 【答案】 16 8 【分析】圆的面积＝πr2，据此用12.56除以π，即可求出r2的值。如下图所示，圆外正方形的面积＝边长×边长＝2r·2r＝4r2；圆内正方形的面积＝三角形的面积×4＝r×r÷2×4＝2r2。据此代入数据计算即可。 【详解】通过分析可得：12.56÷3.14＝4（平方厘米） 4×4＝16（平方厘米） 2×4＝8（平方厘米） 则圆外正方形的面积是16平方厘米，圆内正方形面积是8平方厘米。 7．如图所示：圆的面积是50.24cm2，那么圆内最大的正方形面积是( )cm2。 【答案】32 【分析】根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，确定圆的半径，将正方形分成两个相等的等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，据此求出三角形面积，再乘2，就是正方形面积。 【详解】50.24÷3.14＝16＝42 圆的半径是4cm。 4×2＝8（cm） 8×4÷2×2＝32（cm2） 圆内最大的正方形面积是32cm2。 8．在一个长12厘米、宽8厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米；如果在这个长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )厘米。 【答案】 50.24 30.84 【分析】由题意可知在长方形内画一个最大的圆，圆的直径是长方形的宽，S＝π（d÷2）2；如果在长方形里画一个最大的半圆，半圆所在圆的直径就是长方形的长，那么此半圆的半径＝d÷2，半圆的周长＝πd÷2＋d，半圆的面积＝πr2÷2，据此解答即可。 【详解】由分析可知在一个长为长12厘米、宽8厘米的长方形里画一个最大的圆，这个圆的直径是8厘米，则面积是： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 如果在这个长方形里画一个最大的半圆，半圆的半径是： 12÷2＝6（厘米） 则周长是：3.14×6＋12 ＝18.84＋12 ＝30.84（厘米） 9．一张正方形纸片的对角线长是8厘米，利用这张正方形纸剪一个最大的圆，这个圆的面积是( )。（π取3.14） 【答案】25.12平方厘米/25.12cm2 【分析】如下图，正方形的对角线把正方形平均分成2个三角形，三角形的底是8厘米，高是（8÷2）厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是这个正方形的面积。 根据题意，利用这张正方形纸剪一个最大的圆，那么圆的直径等于正方形的边长。设圆的半径是r厘米，则正方形的边长是2r厘米；根据正方形的面积＝边长×边长，求出r2的值； 最后根据圆的面积公式S＝πr2，代入r2的值，求出这个圆的面积。 【详解】正方形的面积： 8×（8÷2）÷2×2 ＝8×4÷2×2 ＝32（平方厘米） 设正方形内最大圆的半径是r厘米，则正方形的边长是2r厘米。 2r×2r＝32 4r2＝32 r2＝32÷4 r2＝8 圆的面积：3.14×8＝25.12（平方厘米） 这个圆的面积是25.12平方厘米。 【点睛】解题的关键是先根据正方形的对角线求出正方形的面积，再根据正方形内最大圆的直径与正方形边长的关系，得出r2的值，代入圆的面积公式求解。 10．外圆内方体现中国和谐共生的传统文化。如图，圆的半径为3cm，正方形的面积为( )cm2。 【答案】18 【分析】如图所示，把正方形看作两个相同的等腰直角三角形，直角三角形的斜边等于圆的直径，斜边上的高等于圆的半径，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出一个三角形的面积，最后乘2求出正方形的面积，据此解答。 【详解】 3×2＝6（cm） 6×3÷2×2 ＝18÷2×2 ＝9×2 ＝18（cm2） 所以，正方形的面积为18cm2。 【点睛】把正方形的面积转化为三角形的面积，并掌握三角形的面积计算公式是解答题目的关键。 二、选择题。 11．如图，把一个折叠方桌的桌面四边撑开，就成了圆桌，圆桌的半径是1米。折叠方桌和圆桌的面积比是（    ）。 A．4∶π B．π∶4 C．2∶π D．π∶2 【答案】C 【分析】如下图，用一条对角线把方桌平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是方桌的面积； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆桌的面积； 再根据比的意义，写出折叠方桌和圆桌的面积比即可。 【详解】方桌的面积： （1×2）×1÷2×2 ＝2×1÷2×2 ＝2（平方米） 圆桌的面积：π×12＝π（平方米） 折叠方桌和圆桌的面积比是2∶π。 故答案为：C 12．在一个直径是4cm的圆中画一个最大的正方形，圆的面积与正方形的面积比是（    ）。 A．4∶π B．2∶π C．π∶4 D．π∶2 【答案】D 【分析】已知圆的直径是4cm，则圆的半径是（4÷2）cm，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 因为正方形是圆内最大的正方形，用一条对角线把正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径4cm，高等于圆的半径（4÷2）cm； 根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是最大正方形的面积； 最后根据比的意义写出圆的面积与正方形的面积比，并化简比。 【详解】如图： 圆的半径：4÷2＝2（cm） 圆的面积： π×22 ＝π×4 ＝4π（cm2） 正方形的面积： 4×2÷2×2 ＝8÷2×2 ＝8（cm2） 圆的面积与正方形的面积比： 4π∶8 ＝（4π÷4）∶（8÷4） ＝π∶2 圆的面积与正方形的面积比是π∶2。 故答案为：D 13．在一张长为16厘米、宽为8厘米的长方形纸片上剪下一个最大的圆，则这个圆的面积是（    ）厘米。 A．200.96 B．50.24 C．25.12 D．12.56 【答案】B 【分析】在长方形内剪最大的圆，长方形的宽为圆的直径，直径为8厘米，根据直径求出半径，半径为4厘米，再根据圆的公式C＝πr2求出圆的面积即可完成此题。 【详解】分析题目可知直径为8厘米； 半径：8÷2＝4（厘米）； 面积：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 故答案为：B 【点睛】本题考查圆的面积公式的应用，熟记公式即可完成此题。 14．如图，甲图和乙图中的两个圆的半径都是4厘米，两图中涂色部分的面积相比，（    ）。 A．甲大 B．乙大 C．相等 【答案】B 【分析】甲图是外方内圆，圆的直径等于正方形边长；乙图是外圆内方，圆的直径等于正方形对角线，据此分别计算甲、乙的涂色部分面积，再比较大小解答。 【详解】甲图：正方形边长4×2＝8（厘米） 涂色部分的面积是：82－3.14×42 ＝64－50.24 ＝13.76（平方厘米） 乙图：正方形对角线长是4×2＝8（厘米） 涂色部分的面积是：3.14×42－8×4÷2×2 ＝50.24－32 ＝18.24（平方厘米） 因为18.24＞13.76，所以乙图中涂色部分的面积大。 故答案为：B 【点睛】本题考查外方内圆和外圆内方图形的相关计算，解题关键是找到正方形与圆的半径的关联。 15．如图，在长方形里面画两个同样大小的圆，那么2个圆的面积之和与长方形的面积之比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察可知，圆的直径＝长方形的宽，圆的直径×2＝长方形的长，假设圆的半径是1，半径×2＝直径，根据圆的面积＝πr2，长方形面积＝长×宽，分别表示出2个圆的面积之和以及长方形的面积，写出它们的比，化简即可。 【详解】假设圆的半径是1。 1×2＝2 2×2＝4 （π×12×2）∶（4×2） ＝（2π）∶8 ＝π∶4 2个圆的面积之和与长方形的面积之比是π∶4。 故答案为：B 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆和长方形的面积公式，理解比的意义。 16．如图，小圆面积是正方形的（    ），大圆面积是正方形的（    ）。 A．；2倍 B．； C．2倍；2倍 D．不能确定 【答案】B 【分析】如图： 设大圆半径为R，小圆半径为r，那么正方形ABCD的边长为2r，根据正方形面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，即可求出正方形的面积为：2r×2r＝4r2，小圆的面积为：πr2，再用小圆面积除以正方形面积，即可求出小圆面积是正方形面积的几分之几；接着把正方形分成如图所示的两个三角形，三角形ABD以大圆直径为底，即底为：2R，大圆半径为高，即高为：R；根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形ABD的面积为∶2R×R÷2＝R2，再用三角形ABD的面积乘2，即能求出正方形的面积是：2R2；根据圆的面积公式：S＝πr2，求出大圆的面积是：π×R2＝πR2；最后再用求出的圆面积除以正方形面积，即能求出大圆面积是正方形面积的几分之几。 【详解】设大圆半径为R，小圆半径为r，那么正方形ABCD的边长为2r。 2r×2r＝4r2 πr2÷4r2＝ 2R×R÷2 ＝2R2÷2 ＝R2 R2×2＝2R2 πR2÷2R2＝ 小圆面积是正方形面积的，大圆面积是正方形面积的。 故答案为：B 【点睛】解决本题的关键在于根据用小圆半径和大圆半径分别求出正方形面积。 三、解答题。 17．如图，大正方形的面积是400平方厘米，则圆环的面积是多少平方厘米？ 【答案】157平方厘米 【分析】将小正方形转45°，如图可以看出大正方形的面积是小正方形面积的两倍，圆环面积等于大圆面积减去小圆的面积，大圆半径等于大正方形边长的一半，小圆半径等于小正方形边长的一半，设大、小正方形的边长分别为2R、2r，则大、小圆的半径分别为R、r。 因为大正方形的面积是400平方厘米，则小正方形的面积是400÷2＝200（平方厘米）； 根据正方形的面积＝边长×边长，可知大正方形的面积是2R×2R＝400（平方厘米），小正方形的面积是2r×2r＝200平方厘米，由此分别求出大圆、小圆半径的平方，再结合圆环的面积＝3.14×（R2－r2），代入数据计算求解。 【详解】解：设大、小正方形的边长分别为2R、2r，则大、小圆的半径分别为R、r。 （2R）2＝400 4R2＝400 R2＝400÷4 R2＝100 400÷2＝200（平方厘米） （2r）2＝200 4r2＝200 r2＝200÷4 r2＝50 圆环的面积： 3.14×（100－50） ＝3.14×50 ＝157（平方厘米） 答：圆环的面积是157平方厘米。 18．有一个可以折叠的圆形餐桌，它的直径是2米，折叠后正好是一个正方形（如图），折叠后的面积减少了多少？ 【答案】1.14平方米 【分析】圆面积＝πr2，由此求出圆形餐桌的面积。将正方形分成两个一模一样的直角三角形，每个直角三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，再根据“三角形面积＝底×高÷2”求出一个三角形的面积，再乘2，求出两个三角形的面积，即正方形的面积。将圆的面积减去正方形的面积，即可求出折叠后的面积减少了多少。 【详解】2÷2＝1（米） 3.14×12－2×1÷2×2 ＝3.14×1－1×2 ＝3.14－2 ＝1.14（平方米） 答：折叠后的面积减少了1.14平方米。 19．李叔叔计划在边长8米的正方形天台上用油漆涂出一个最大的圆用于布置，若每平方米需要用油漆0.5千克，需要多少千克油漆？ 【答案】25.12千克 【分析】根据题意可知，圆的直径等于正方形的边长；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积，再乘0.5，即求出需要油漆的重量。 【详解】3.14×（8÷2）2×0.5 ＝3.14×42×0.5 ＝3.14×16×0.5 ＝50.24×0.5 ＝25.12（千克） 答：需要25.12千克油漆。 20．在一张直径是10厘米的圆中剪下一个最大的正方形（如图所示），剩下阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】28.5平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，将正方形分成2个等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，据此列式解答。 【详解】3.14×（10÷2）2－10×（10÷2）÷2×2 ＝3.14×52－10×5÷2×2 ＝3.14×25－50 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 答：剩下阴影部分的面积是28.5平方厘米。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$