2.2 圆的对称性（第2课时 垂径定理）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第二章 对称图形——圆 第二课时 垂径定理 2.2 圆的对称性 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决 一些简单的计算、证明和作图问题. （重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. （难点） 情景导入 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m. 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 垂径定理 新知探究 O O 在纸上画⊙O，把⊙O剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？ 可以发现无论我们怎么折，这个折痕总是经过⊙O的. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴. 操作与思考 画⊙O和⊙O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P（如右图）.在所画图中有哪些相等的线段、相等的弧？ · A B P C D PC=PD ， AC=AD ， BC=BD ， ︵ ︵ ︵ ︵ P C D A B O P C (D) A B O 我们可以运用图形运动的方法证实小丽、小明的猜想： 将右图中的ADB沿直径AB翻折. 因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴， 所以ADB与ACB重合. 又因为∠APD = ∠APC = 90°， 所以射线PD与射线PC重合（如图所示）， 于是点D与点C重合. 这样，PC=PD，AC=AD，BC=BD. ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 连接OC、OD. 如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD.垂足为P ∴ PC=PD，∠BOC=∠BOD. 在△OCD中，∵OC=OD，OP⊥CD ， ∴ ∠AOC=∠AOD. （同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）. 以上结论还可以用下面的方法加以证实： ∴ BC =BD, AC =AD. ︵ ︵ ︵ ︵ · O C D A B P 概念归纳 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AP=BP, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 概念归纳 1.“垂直于弦的直径”中的“直径”还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线. 其实质是：过圆心且垂直于弦的线段或直线. 2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 课本例题 例1. 如图，☉O中，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什么？ AC=BD 过点O作OP⊥AB于P. ∵ OP⊥AB， ∴ AP=BP ，CP=DP （垂直于弦的直径平分弦）. ∴ AP－CP=BP－DP, 即 AC=BD. P 你还有其他解题方法吗？ 例1. 如图，☉O中，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D. AC与BD相等吗？为什么？ AC=BD 连接OA、OC、OD、OB. ∵ OA=OB，OC=OD, ∴∠A=∠B，∠OCD=∠ODC. ∴∠AOC=∠BOD. ∴△AOC≌△BOD. ∴AC=BD. 课本例题 拓展与延伸 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD. 试问：AC与BD相等吗？为什么？ ⌒ ⌒ ∵ AB∥CD ,OE⊥AB， 解：AC= BD. 过点O作OE⊥AB于E，并延长交弦CD、⊙O 于F、G. ∴ OF⊥CD. ∴ AG=BG, CG=DG. ∴AC=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ E F G 1.下列图形是否具备垂径定理的条件？ 如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 练一练 概念归纳 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 概念归纳 对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个： (1)过圆心； (2)垂直于弦； (3)平分弦(非直径)； (4)平分弦所对的劣弧； (5)平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”. 你知道为什么要强调非直径吗？ · O A B D C P 1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），与CD交于点P，且P是AB的中点. 求证：AB⊥CD， ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵P是AB的中点， ∴AB⊥CD. 即AP=BP， ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. （垂径定理） 练一练 典例剖析 例2.[中考·甘孜州] 如下图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥ AB 于点H. 若AB＝10，CD＝8，则OH 的长度为_________． 3 分析：紧扣垂径定理得到CH＝4，再利用勾股定理计算出OH 的长度. 解：如图，连接OC. ∵ CD⊥AB，∴ CH＝DH＝CD＝×8＝4(垂直于弦的直径平分弦). 又∵ OC＝AB＝×10＝5，∴在Rt△OCH中，利用勾股定理，得 OH＝＝＝3. 概念归纳 利用垂径定理求线段的长的方法： 垂径定理是解决圆中的计算、证明问题常用的知识， 求线段长时，一般利用半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理求解，即用“垂径定理＋勾股定理”求解． 典例剖析 例3.赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 回到导入的问题 分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形. 解： 如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R. ( ( 在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2， 即R2=18.52+（R-7.23）2. 解得R≈27.3. 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m. 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C， ( 连接OA，根据垂径定理，得D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. ( 由题设可知AB=37，CD=7.23， 所以 AD= AB= 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23. 典例剖析 概念归纳 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 O A B C · 在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 概念归纳 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 d+h=r A B C D O h r d C 随堂练 C 5 随堂练 随堂练 分层练习-基础 1.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论错误的是(　　) A.CE＝DE B．AE＝OE C.BC＝BD D．△OCE≌△ODE B ︵ ︵ 2. [2023盐城一模]如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为(　　) C A. 1 B．2 C．3 D．4 分层练习-基础 3.[2023宜昌]如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D. 若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(　　) A. 5 B．4 C．3 D．2 B 4. 分层练习-基础 A 分层练习-基础 5.如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过 圆心O，则折痕AB的长为________. 6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，水深CD为16 dm，水面宽度AB为48 dm，求轨道的直径. 分层练习-基础 分层练习-巩固 7.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E， 连接EB.若AB＝4，CD＝1，则EB的长为(　　) A. 2 B．3 C. 4 D．5 B 分层练习-巩固 8.[2023陕西]陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接 OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm，则⊙O的半径OA为(　　) A.13 cm B．16 cm C．17 cm D．26 cm A ︵ ︵ 分层练习-巩固 9.如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上， AC＝11 m，BC＝21 m，OC＝13 m，则这个花坛的半径为________. 20 m 10.[2024宿迁九年级统考期中]如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，13为半径画圆，直线y＝kx＋3k＋4(k≠0)与⊙O交于B，C两点，则弦BC长的最小值为________. 24 分层练习-巩固 11.如图，⊙P的半径为5，弦AB＝6，以AB为边作正方形ABCD(点D，P在直线AB两侧)．若正方形ABCD绕点P旋转一周，则边CD扫过的面积为________. 9π 分层练习-巩固 12.如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD的延长线于点C. (1)求证：D是AC的中点； 证明：连接BD. ∵AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB， ∴D是AB的中点． ∴AD＝BD.∴AD＝BD.∴∠BAD＝∠ABD. ∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°. ∴∠BAD＋∠C＝90°，∠ABD＋∠DBC＝90°. ︵ ︵ ︵ ∴∠C＝∠DBC.∴BD＝CD. ∴AD＝CD，即D为AC的中点． 分层练习-巩固 13．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，问：此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 　　　 分层练习-拓展 课堂反馈 两条弧 不是直径 垂直 两条弧 A 课堂反馈 课堂小结 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）. 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 1．下列判断中正确的是(　 　) A．平分弦的直线垂直于弦 B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 2．(枣庄中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(　 　) A．8 B．eq \r(15) C．2eq \r(15) D．4 3．如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点(P与A、B不重合)，连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝　 　. 4．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为　 　. 7eq \r(2) 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm.求直径AB的长． 解：连接OD，设OD＝r cm，则OP＝eq \f(1,2)r cm，∵OD2－OP2＝DP2，而DP＝eq \f(1,2)CD＝3，∴r2－(eq \f(1,2)r)2＝32.∴r＝2eq \r(3)，∴AB＝2r＝4eq \r(3) cm. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为(　　) A.(3，2) B．(2，3) C．(3，1) D．(2，2) 2 解：连接OA，设圆形轨道的半径是r dm. 易知OC⊥AB于D，AD＝AB＝×48＝24(dm)， OD＝(r－16)dm. ∴OA2＝OD2＋AD2， 即r2＝242＋(r－16)2，解得r＝26. ∴2r＝52，即圆形轨道的直径是52 dm. (2)若AB＝6，AC＝2，求⊙O的半径． 解：连接OA.∵半径OD⊥AB，垂足为H，AB＝6， ∴AH＝AB＝3.∵AD＝CD，AC＝2，∴AD＝. ∴DH＝＝2.设OD＝OA＝r，则OH＝r－2， 在Rt△OAH中，OH2＋AH2＝OA2， ∴(r－2)2＋32＝r2， 解得r＝，即⊙O的半径为. 解：如图，作出所在圆的圆心O， 连接OA、ON，作OD⊥AB交AB于点D，分别交MN、于点H、C.设OA＝r m，则OD＝OC－DC＝(r－2.4) m，AD＝eq \f(AB,2)＝3.6 m， 在Rt△AOD中，有OA2＝AD2＋OD2， 即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9， 又在Rt△ONH中， 有OH2＝ON2－NH2，OH＝eq \r(ON2－NH2)＝eq \r(3.92－1.52)＝3.6， ∴FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)， ∵2 m＜2.1 m，∴该货船能顺利通过这座拱桥． 知识点：垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的　 　. 2．推论：平分弦(　 　)的直径　 　于弦，并且平分弦所对的　 　. 1.如图，在⊙O中，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足为C，且OC＝3，则⊙O的半径为(　 　) A．5　　　　　　　　B．10　　　　　　　　 C．8　　　　　　　　D．6 易错点：解答片面，本题有两种情况，只考虑了其中一种． 2.⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，求AB和CD的距离． 解：AB＝1 cm或7 cm. $$