11.3多边形及其内角和-【数学一起课件】初中数学八年级上册同步PPT课件（人教版）

八年级上 数学 人教版 多边形及其内角和 第 11 章 授课人：xxx 学习目标 会用多边形的内角和与外角和解决相关的题目； 02 了解多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和与外角和定理； 01 会计算多边形对角线的条数，或根据多边形的对角线的条数计算多边形的内角和或多边形的边。 03 新课导入 问题一：我们学习了三角形，那么下面是什么图形呢？ 新课导入 我们学会三角形；类似地， 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形......三角形是最简单的多边形，如果一个多边形有n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。 三角形 四边形 五边形 六边形 新知探究 问题二：下面两个图形都是四边形吗？ 多边形也可以分为凸多边形和凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形 注意：一个多边形任意一条边向两方无限延长成为一条直线，如果多边形的其他各边均在此直线的同旁（不在直线的同旁），那么这个多边形就叫做凸多边形（凹多边形） 凸四边形 凹四边形 新知探究 问题三：观察下面的多边形有什么特点呢？ 新知探究 n边形的性质：n边形的顶点的个数、边数、内角个数都是n； 多边形还可以分为正多边形和非正多边形，正多边形各边相等且各内角相等; 正多边形是特殊的凸多边形; 常见的正多边形：常见的正多边形有正三角形、正方形、正五边形、正六边形，其中它们的内角分别是60°，90°，108°，120°。 三角形 正五边形 正六边形 正方形 新知探究 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角（如右图）。 内角： 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角（如右图）。 外角： 新课导入 n边形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，则从n个顶点出发则有n（n-3）条，但是对角线重复计算了两次，所以n边形有 条对角线。 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 点拨： 例题精讲 例1、五边形E共有几条对角线？请画出它的其他对角线。 跟踪训练 1、画出下列多边形的全部对角线： 跟踪训练 2、四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 它们将五边形分成几个三角形？ 解：一条对角线将四边形分成2个三角形，从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形。 新知探究 问题四：我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形的内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？ 分析：要用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°，只要将四边形分成几个三角形即可. 新知探究 如图，在四边形中，连接对角线，则四边形被分为和两个三角形. 由此可得 ==（）+（）. ， 即四边形的内角和等于360°. 新知探究 观察下图，填空： 从五边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将五边形分为______个三角形，五边形的内角和等于180°× ____ 。 从六边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将六边形分为______个三角形，六边形的内角和等于180°× _____。 3 2 3 4 3 4 新知探究 观察下图，填空： 问题五：通过以上过程，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？ 一般地，从n变形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于180°×（n-2）. 这样就得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于（n-2）×180°. 例题精讲 例2、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 解：如图，在四边形中， =（4-2）×180°=360°, ） =360°-180° =180°. 如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。 （1）任何一个外角同与它不相邻的内角有什么关系？ （2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？ （3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？ 联系这些问题考虑外角和的求法。 例题精讲 例3、如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？ 分析：考虑以下问题： 例题精讲 例3、如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？ 解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于因此，六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于. 这个总和就是六边形的外角和加上内角和. 所以外角和等于总和减去内角和， 即外角和 新知探究 问题六：如果将上述例题中的六边形换为n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？ 由此得出：多边形的外角和等于 如图，从多边形的一个顶点出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点，然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°. 例题精讲 例4、小华从点A出发向前走50米，接着向右转15°，后继续向前走50米，接着再向右转15°，向前走50米；他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到A点时共走多少米？若不能，请说明理由。 解：根据题意，360°÷15°=24， 所以他需要转24次才会回到起点， 它需要经过50×24=1200米才能回到原地. 所以小华能回到点A，当他走回到点A时，共走1200米。 跟踪训练 1、求出下列图形中x的值： 解：（1）由题意，得90°+140°+2x=360°， 解得x=65°. （3）由题意，得80°+120°+75°+180°-x=360°，解得x=95°. （2）由题意，得150°+120°+90°+x+2x=540°， 解得x=60°. 跟踪训练 2、一个多边形的内角都等于120°，它是几边形？ 解：因为一个多边形的内角都等于120°， 所以这个多边形的外角都等于60°， 所以360°÷60°=6， 即这个多边形是六边形. 跟踪训练 3、一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？ 解：因为一个多边形的内角和与外角和相等， 所以这个多边形的内角和为360°， 所以（n-2）×180°=360°，解得n=4， 即这个多边形是四边形. 跟踪训练 4、如图，小明从点A出发，沿直线前进8m后向左转36°，再沿直线前进8m后左转36°……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了_______ m。 答案：80 【解析】∵小明每次都是沿直线前进8m后向左转36°， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数n=360°÷36°=10， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×8=80（m）. 多边形及其内角和 多边形的相关概念 多边形的内角和：n边形的内角和为（n-2）×180° 多边形的外角和：任意n边形的外角和为360° 多边形的分类 n边形一共有条对角线 课堂小结 多边形的分类 从n边形的一个顶点出发，可以画（n-3）条对角线 随堂演练 1、十边形从一个顶点出发，能引出___条对角线，一共有____条对角线 答案：7,35 【解析】十边形从一个顶点出发，能引出10-3=7条对角线，10×（10-3）÷2=35条对角线. 随堂演练 A.60° B. 90° C. 108° D. 120° 2、若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（ ） D 随堂演练 一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是____ 。 答案：10 【解析】设这个多边形的边数为n. (n-2)×180°=4×360°， 解得n=10. 随堂演练 如图，在五边形中，点分别在的边上，则 答案：480° 【解析】∵∠1+∠2=120°，∠1+∠2+∠A=180°， ∴∠A=180°-（∠1+∠2）=60°。 ∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E=540°-∠A=540°-60°=480°. 480° 随堂演练 如图，五边形中，，分别是的外角，则_____ 答案：180° 【解析】∵， . 根据多边形的外角和定理，， ∴. 180° 随堂演练 如图，六边形ABCDEF的各角都相等，若m∥n，则∠1+∠2=_____ 180° 随堂演练 【解析】连接，延长，交直线于点。 ∵六边形是正六边形， ∴每个内角为 ∴ ∵， ∴， ∴，∴. 又∵， ∴. ∵，∴. 随堂演练 如图，在六边形中，，且求的度数。 随堂演练 解：连接. ∵， ∴， 又∵， ∴ ∵∴ 又∵ ∴ 随堂演练 如图，以正五边形的一边为边向外作正方形，则=______。 【解析】∵五边形为正五边形， ∴ ∴. ∵四边形为正方形， ∴，∴， ∴. 81° 答案：81° $$八 年 级 上 人 教 版 学习目标 会用多边形的内角和与外 角和解决相关的题目； 02 了解多边形的内角和外角， 掌握多边形的内角和与外角 和定理； 01 会计算多边形对角线的条数， 或根据多边形的对角线的条 数计算多边形的内角和或多 边形的边。 03 新课导入 问题一：我们学习了三角形，那么下面是什么图形呢？ 新课导入 我们学会三角形；类似地， 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多 边形。 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边 形......三角形是最简单的多边形，如果一个多边形有n条线段组 成，那么这个多边形就叫做n边形。 三角形 四边形 五边形 六边形 新知探究 问题二：下面两个图形都是四边形吗？ 多边形也可以分为凸多边形和凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形 注意：一个多边形任意一条边向两方无限延长成为一条直线，如果多边形的其 他各边均在此直线的同旁（不在直线的同旁），那么这个多边形就叫做凸多边 形（凹多边形） 凸四边形 凹四边形 新知探究 问题三：观察下面的多边形有什么特点呢？ 新知探究 ⚫ n边形的性质：n边形的顶点的个数、边数、内角个数都是n； ⚫ 多边形还可以分为正多边形和非正多边形，正多边形各边相等且各内角相等; ⚫ 正多边形是特殊的凸多边形; ⚫ 常见的正多边形：常见的正多边形有正三角形、正方形、正五边形、正六边 形，其中它们的内角分别是60°，90°，108°，120°。 三角形 正五边形 正六边形正方形 新知探究 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角（如 右图∠1）。 内角： 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角， 叫做多边形的外角（如右图∠2）。 外角： 新课导入 n边形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，则从n个顶点出发则有n（n-3） 条，但是对角线重复计算了两次，所以n边形有 条对角线。𝑛(𝑛 − 3) 2 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线 段，叫做多边形的对角线 点拨： 例题精讲 例1、五边形𝑨𝑩𝑪𝑫E共有几条对角线？请画出它的其他 对角线。 跟踪训练 1、画出下列多边形的全部对角线： 跟踪训练 2、四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？ 从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 它们将五边形分成几个三角形？ 解：一条对角线将四边形分成2个三角形，从五边形的一个 顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形。 新知探究 问题四：我们知道，三角形的内角和等于180°，正方 形、长方形的内角和都等于360°.那么，任意一个四边 形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形的内 角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？ 分析：要用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°，只要 将四边形分成几个三角形即可. 新知探究 如图，在四边形ΑΒCD中，连接对角线Α∁，则四边形 ΑΒCD被分为∆ABC和∆ACD两个三角形. 由此可得∠𝐷𝐴𝐵 + ∠𝐵 + ∠𝐵𝐶𝐷 + ∠𝐷 = ∠1 + ∠2 + ∠𝐵 + ∠3 + ∠4 + ∠𝐷 =（∠1 + ∠𝐵 + ∠3） +（∠2 + ∠4 + ∠𝐷）. ∵ ∠1 + ∠𝐵 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠4 + ∠𝐷 = 180°， ∴ ∠𝐷𝐴𝐵 + ∠𝐵 + ∠𝐵𝐶𝐷 + ∠𝐷 = 180° + 180° = 360°. 即四边形的内角和等于360°. 新知探究 观察下图，填空： 从五边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将五边形分为______个三 角形，五边形的内角和等于180°× ____ 。 从六边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将六边形分为______个三 角形，六边形的内角和等于180°× _____。 32 3 4 3 4 新知探究 观察下图，填空： 问题五：通过以上过程，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？ 一般地，从n变形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分 为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于180°×（n-2）. 这样就得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于（n-2）×180°. 例题精讲 例2、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什 么关系？ 解：如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴 + ∠𝐶 = 180°. ∵ ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 + ∠𝐷=（4-2）×180°=360°, ∴ ∠𝐵 + ∠𝐷 = 360° − （∠𝐴 + ∠𝐶） =360°-180° =180°. 如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。 （1）任何一个外角同与它不相邻的内角有什么关系？ （2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总 和是多少？ （3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？ 联系这些问题考虑外角和的求法。 例题精讲 例3、如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角和叫做六 边形的外角和.六边形的外角和等于多少？ 分析：考虑以下问题： 例题精讲 例3、如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角和叫做六 边形的外角和.六边形的外角和等于多少？ 解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都 等于180°.因此，六边形的6个外角加上与它们相邻的 内角，所得总和等于6 × 180°. 这个总和就是六边形的外角和加上内角和. 所以外角和等于总和减去内角和， 即 外 角 和 等于 6 × 180° − （6 − 2） × 180° = 2 × 180° = 360°。 新知探究 问题六：如果将上述例题中的六边形换为n边形（n是 不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？ 由此得出：多边形的外角和等于360°. 如图，从多边形的一个顶点𝐴出发，沿多边形的各边 走过各顶点，再回到点𝐴，然后转向出发时的方向.在 行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由 于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以 多边形的外角和等于360°. 例题精讲 例4、小华从点A出发向前走50米，接着向右转15°， 后继续向前走50米，接着再向右转15°，向前走50米； 他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能， 当他走回到A点时共走多少米？若不能，请说明理由。 解：根据题意，360°÷15°=24， 所以他需要转24次才会回到起点， 它需要经过50×24=1200米才能回到原地. 所以小华能回到点A，当他走回到点A时，共走1200米。 跟踪训练 1、求出下列图形中x的值： 解：（1）由题意，得90°+140°+2x=360°， 解得x=65°. （3）由题意，得 80°+120°+75°+180°- x=360°，解得x=95°. （2）由题意，得150°+120°+90°+x+2x=540°， 解得x=60°. 跟踪训练 2、一个多边形的内角都等于120°，它是几边形？ 解：因为一个多边形的内角都等于120°， 所以这个多边形的外角都等于60°， 所以360°÷60°=6， 即这个多边形是六边形. 跟踪训练 3、一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？ 解：因为一个多边形的内角和与外角和相等， 所以这个多边形的内角和为360°， 所以（n-2）×180°=360°，解得n=4， 即这个多边形是四边形. 跟踪训练 4、如图，小明从点A出发，沿直线前进8m后向左转 36°，再沿直线前进8m后左转36°……照这样走下去， 小明第一次回到出发点A，一共走了_______ m。 答案：80 【解析】∵小明每次都是沿直线前进8m后向左转36°， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数n=360°÷36°=10， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×8=80（m）. 多边形及 其内角和 多边形的相关 概念 多边形的内角和：n边形的内角和为（n-2）×180° 多边形的外角和：任意n边形的外角和为360° 多边形的分类 n边形一共有 𝑛(𝑛−3) 2 条对角线 课堂小结 多边形的分类 从n边形的一个顶点出发， 可以画（n-3）条对角线 随堂演练 1、十边形从一个顶点出发，能引出___条对角线，一 共有____条对角线 答案：7,35 【解析】十边形从一个顶点出发，能引出10-3=7条对角线， 10×（10-3）÷2=35条对角线. 随堂演练 A.60° B. 90° C. 108° D. 120° 2、若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边 形的每一个内角是（ ）D 随堂演练 一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个 多边形的边数是____ 。 答案：10 【解析】设这个多边形的边数为n. (n-2)×180°=4×360°， 解得n=10. 随堂演练 如图，在五边形𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬中，点𝑴，𝑵分别在𝑨𝑩、𝑨𝑬的边 上，∠𝟏 + ∠𝟐 = 𝟏𝟐𝟎°，则∠𝑩 + ∠𝑪 + ∠𝑫 + ∠𝑬 = _____ . 答案：480° 【解析】∵∠1+∠2=120°，∠1+∠2+∠A=180°， ∴∠A=180°-（∠1+∠2）=60°。 ∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E=540°-∠A=540°-60°=480°. 480°