精品解析：湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期综合能力检测（入学分班考试）数学试卷

长郡中学2024级高一综合能力检测试卷 数学 时量：90分钟 满分100分 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的. 1. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万1万，1兆万万亿．若1兆，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 2. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 若关于不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在，，，，点P在内，分别以A，B，P为圆心画圆，圆A的半径为1，圆B的半径为2，圆P的半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离 6. 对于正整数k定义一种运算：，例：，表示不超过x的最大整数，例：，．则下列结论错误的是（ ） A. B. 或1 C. D. 7. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值（ ） A. B. C. D. 8. 若二次函数的解析式为，且函数图象过点和点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 9. 分解因式：______． 10. 直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转15°，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 11. 若关于的分式方程的解为整数，则整数______． 12. 如图，已知两条平行线，，点A是上的定点，于点B，点，分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为______． 三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息. a教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98 b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）； 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 908 n 93 c.评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题： ①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______91（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______. 14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？ 素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中为椅背，为坐垫，C，D为焊接点，且与平行，支架，所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O．设计方案中，要求A，B两点离地面高度均为5厘米，A，B两点之间距离为70厘米； 素材二：经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度； （2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时（如图3），F点比E点在竖直方向上至少高出12厘米． （，，） 任务： （1）根据素材求底座半径； （2）计算图3中点B距离地面的高度； （3）①求椅背的长度范围；（结果精确到0.1m） ②设计一种符合要求的方案． 15. 定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点，作该函数图象中点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为 （1）函数关于直线的“迭代函数”的解析式为______． （2）若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则______． （3）已知正方形的顶点分别为：，，，，其中． ①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，求a的值； ②若，函数关于直线“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，求的取值范围． 16. 已知抛物线与轴交于点，． （1）如图1，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； （2）如图2，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长郡中学2024级高一综合能力检测试卷 数学 时量：90分钟 满分100分 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的. 1. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万1万，1兆万万亿．若1兆，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=，所以1亿=， 所以1兆=， 所以. 故选：D 2. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的计算公式即可求解. 【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D 3. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案. 【详解】由于， 所以点M所表示的数为. 故选：B 4. 若关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简不等式组，由条件列不等式求的取值范围. 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 由已知可得， 所以. 故选：C. 5. 在，，，，点P在内，分别以A，B，P为圆心画圆，圆A的半径为1，圆B的半径为2，圆P的半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得. 【详解】由圆A与圆P内切，则，， 又点P在内，则，且， 所以，且， 则， 由圆B的半径为2，圆P的半径为3， 所以圆P与圆B相交. 故选：B. 6. 对于正整数k定义一种运算：，例：，表示不超过x的最大整数，例：，．则下列结论错误的是（ ） A. B. 或1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，取，为自然数， 当时，， 当时，， 当时，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，即，D错误. 故选：D 7. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由两点分别做轴的垂线，垂足分别为，由，得，由，可得答案. 【详解】设， 由两点分别做轴的垂线，垂足分别为， 且， 因为，所以， 所以， 所以，可得，即，所以， 所以. 故选：A. 8. 若二次函数的解析式为，且函数图象过点和点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为，进而可得，由函数图象过点，可得，可求的取值范围. 【详解】因为二次函数的解析式为， 所以二次函数的对称轴为， 函数图象过点和点，故点和点关于直线对称， 所以，所以， 又， 当，，当，，所以. 故选：A. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解. 【详解】. 故答案为： 10. 直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转15°，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得的倾斜角，进而求得直线对应的函数表达式. 【详解】直线与x轴交于点， 直线的斜率为，倾斜角为， 所以的倾斜角为，斜率为， 所以直线对应的函数表达式是. 故答案为： 11. 若关于的分式方程的解为整数，则整数______． 【答案】 【解析】 【分析】由分式方程有意义可知且，再化简方程求解，由均为整数可求. 【详解】则方程可知，且. 方程可化为，即， 解得，由且，所以且. 由为整数，且为整数， 则当，，或当，时满足题意. 所以. 故答案：. 12. 如图，已知两条平行线，，点A是上的定点，于点B，点，分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为于点H，所以点 在以BE为直径的圆上运动, 当 与圆 相切时, 最大，据此在求解即可. 【详解】 四边形 是平行四边形 为定点, 且 为定值 , 如图，取的中点,则点 在以为直径的圆上运动, 此时 , 当 与圆 相切时, 最大 故答案为：. 三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息. a.教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98 b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）； 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 n 93 c.评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题： ①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______91（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______. 【答案】（1）①91；4；② （2）甲；92 【解析】 【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可； ②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可. 【小问1详解】 ①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数； 45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故的值位于学生评委打分数据分组的第4组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为， 则， . 【小问2详解】 甲选手的平均数为， 乙选手的平均数为， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数， 因为5名专业评委给乙选手的打分为， 乙选手的方差， 5名专业评委给丙选手的打分为， 所以乙选手的方差小于丙选手的方差， 所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数， ， ， 为整数， 的值为92. 14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？ 素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中为椅背，为坐垫，C，D为焊接点，且与平行，支架，所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O．设计方案中，要求A，B两点离地面高度均为5厘米，A，B两点之间距离为70厘米； 素材二：经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度； （2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时（如图3），F点比E点在竖直方向上至少高出12厘米． （，，） 任务： （1）根据素材求底座半径； （2）计算图3中点B距离地面的高度； （3）①求椅背的长度范围；（结果精确到0.1m） ②设计一种符合要求的方案． 【答案】（1）125厘米； （2）19.6厘米 （3）①；②70cm，90cm（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据四边形为矩形，厘米，厘米，设底座半径厘米，则厘米，由勾股定理求出即可得出答案； （2）由四边形为矩形，进而得，，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于的方程，解方程求出即可得出答案； （3）①过作于，过点作于，先求出，设椅背厘米，则坐垫，即可得，由此解得，据此可得椅背的长度范围； ②在①中椅背的长度范围任取一个的值，再计算出的值即可，例如取厘米，则（厘米）；（答案不唯一，只要在的长度范围内即可）． 【小问1详解】 过点作垂直地面于，过点作于，的延长线于地面交于点，如图所示： 平行于地面， 四边形为矩形，厘米， 厘米， 设底座半径厘米，则厘米， 厘米， 在中，厘米，厘米，厘米， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， 底座半径的长度为125厘米； 【小问2详解】 过点作垂直地面于，于，如图所示： 设， 底座与地面相切于点， 垂直地面于点， 四边形为矩形， ， 由任务一可知：， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 点距离地面的高度为19.6厘米； 【小问3详解】 ①过作于，过点作于，如图所示： ， ， 由任务②可知：厘米，厘米， 在中，， ， 椅背和坐垫的材料总长度为160厘米， 设椅背厘米，则坐垫， 椅背长度小于坐垫长度， ， 解得：， 在中，， 厘米， 在中，， （厘米）， 点比点在竖直方向上至少高出12厘米， ， 即：， ， ， 解得：， 又， ， 即：， 椅背的长度范围是：； ②由于，故取，则． 15. 定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点，作该函数图象中点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为 （1）函数关于直线的“迭代函数”的解析式为______． （2）若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则______． （3）已知正方形的顶点分别为：，，，，其中． ①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，求a的值； ②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或， （3）①；②. 【解析】 【分析】（1）取点，，求两点关于的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论； （2）判断点与函数的图象的关系，再求关于直线的对称点，由条件列方程求即可； （3）①求函数关于直线的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定的值； ②分别在，，时求函数关于直线“迭代函数”解析式，讨论，由条件确定的范围. 【小问1详解】 在函数的图象上位于右侧的部分上取点，， 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 设函数，的图象关于对称的图象的解析式为， 则，解得， 所以函数关于直线的“迭代函数”的解析式为； 【小问2详解】 取可得，， 故函数的图象不过点， 又点关于直线的对称点为， 由已知可得，， 所以或， 【小问3详解】 ①当或时，函数关于直线的“迭代函数”的图象的解析式为， 当时，设点在函数关于直线的“迭代函数”的图象上， 则点在函数的图象上， 所以， 所以函数关于直线的“迭代函数”的解析式为， 作函数关于直线的“迭代函数”的图象如下： 观察图象可得时，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点， ②若，当时，函数关于直线“迭代函数”的图象的解析式为， 当或时，设点在函数关于直线的“迭代函数”的图象上， 则点在函数的图象上， 所以， 所以函数关于直线的“迭代函数”的解析式为， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，函数关于直线的“迭代函数”的解析式为， 作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 若，当或时，函数关于直线的“迭代函数”的图象的解析式为， 当时，设点在函数关于直线的“迭代函数”的图象上， 则点在函数的图象上， 所以， 所以函数关于直线的“迭代函数”的解析式为， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 16. 已知抛物线与轴交于点，． （1）如图1，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； （2）如图2，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点，代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设，求出直线解析式为，联立方程， 可得，同理可得，即可得，，化简可得结果； （2）作点关于直线的对称点，连接，过点作于，求出，设直线解析式为，把点坐标代入即可知直线的解析式，设，，求出，可得，结合，可得，从而得到的最小值. 小问1详解】 把点，代入抛物线方程得：， 解得：， 所以抛物线方程为：， 设，直线解析式为， 把点，代入得：， 所以线解析式为， 联立，解得：或， 所以， 设直线解析式为 把点，代入得：， 直线解析式为 联立，解得：或 可得， 所以， ， 所以 【小问2详解】 作点关于直线的对称点，连接，过点作于，如图： 因为， 所以抛物线的对称轴为， 所以， 设直线解析式为， 把点代入得：， 所以， 所以直线的解析式为 设，， 联立，可得 则，， 因为，关于直线：对称， 所以， 则， 又， 所以，， 在中， ， 所以当时，最小为，此时， 所以，即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$