第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试B卷-2024-2025学年高一数学（人教A版2019必修第一册）（全国通用）

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试B卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 3．已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 4．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 7．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ） A． B． C． D． 8．关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 11．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，且，则的最小值为 ． 13．已知，，求的取值范围为 . 14．若对，使得成立，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知关于x的不等式的解集为M． (1)若，求不等式的解集； (2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围． 16．设函数．已知关于的不等式的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围． 17．已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 18．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元. (1)与出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元? 19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试B卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举特例可判断选项A，C，D，构造函数可判断选项B． 【详解】对于A，取，则，选项A错误； 对于B，由于函数在上单调递增， 又，则，选项B正确； 对于C，取，则，选项C错误； 对于D，，则，选项D错误． 故选：B． 2．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【答案】C 【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小. 【详解】甲购买猪肉的平均单价为：， 乙购买猪肉的平均单价为：， 显然， 且， 当且仅当时取“=”， 因为两次购买的单价不同，即， 所以， 即乙的购买方式平均单价较大. 故选：C. 3．已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 【答案】A 【分析】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，所以， 所以， 当且仅当时取等，此时，故A正确. 故选：A 4．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 5．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】应用常值代换结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为,且, 所以, 当且仅当,即时取等号，因此的最小值为6． 故选：B. 6．不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 7．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论 【详解】当，即时，，恒成立； 当时，，解之得， 综上可得 故选： 8．关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围， 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由不等式的解集为得，且方程的两根为，计算可得，再根据即可判断. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，解得. 所以. 即. 故选：BCD. 10．已知，，，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式、结合“1”的妙用计算判断ACD；利用二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A，，即，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得， ，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，， 则 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 11．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为且，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以最小值为. 故答案为：． 13．已知，，求的取值范围为 . 【答案】 【分析】先利用待定系数法得到，再利用不等式的性质即可得解. 【详解】设， 则，解得， 所以， 因为，， 所以，， 所以． 则的取值范围为． 故答案为：. 14．若对，使得成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造函数，，由已知可知，代入即可求解. 【详解】令函数，开口向上，对称轴为，在时函数单调递减； 令函数，函数在R上单调递增； 由对，使得成立，即 则需，即 即，解得： 所以实数a的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知关于x的不等式的解集为M． (1)若，求不等式的解集； (2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据是不等式的解集，得到，再根据两个不等式的关系求解； （2）将不等式转化为 ，再根据M中的一个元素是0，将x=0代入求解. 【详解】（1）解：因为是不等式的解集， 所以， 不等式，即为， 所以或， 所以不等式的解集是； （2）不等式转化为： ， 因为M中的一个元素是0， 所以， 解得 或 ， 所以实数a的取值范围是 . 16．设函数．已知关于的不等式的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意可得的解集为，则－4和1是方程的两个根，然后利用根与系数的关系列方程可求出，从而可求出函数的解析式； （2）问题转化为在区间内有解，则，然后利用基本不等式可求得答案. 【详解】（1）不等式的解集为， 即的解集为， 所以－4和1是方程的两个根， 所以由根与系数的关系可得，解得， 所以． （2）因为关于的方程在区间内有解， 所以在区间内有解， 所以（）， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以． 17．已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)2 (2)4 (3) 【分析】（1）由基本不等式得，从而得到，求出； （2）由基本不等式得，从而得到，求出； （3）表达出，并求出，故，由基本不等式求出最小值. 【详解】（1）， ，，由基本不等式得， 故，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为2； （2）， ，，由基本不等式得，故， 所以，解得，负值舍去， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. （3），，，故， 由得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 18．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元. (1)与出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1) (2)万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为万元. 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）分段函数最值分段求解，分别利用基本不等式求解最值和一次函数的单调性求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， 又因为，所以， 所以该公司本季度增加的利润y与x（单位：万元）之间的函数关系为 ； （2）当时，化简， 因为，所以， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时等号成立，所以， 此时当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元； 当时，为减函数，所以当时，有最大值为； 因为，所以当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元. 19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由 【答案】(1)“上位点”，“下位点”（答案不唯一） (2)“下位点”，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标. （2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”. （3）依题意可得，从而得到，即可得解. 【详解】（1）因为， 根据题设中的定义可得点的一个 “上位点坐标”和一个“下位点”坐标分别为和， 即“上位点”，“下位点”（答案不唯一）； （2）点是点的“下位点”. 证明：点是点的“上位点”，     ， 又均大于，      ，       ， ，即， 所以点是点的“下位点”. （3）若点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”； 即； 所以对任意的都有， ， 所以当时，对任意的存在， 使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”. 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$