第十二章 全等三角形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十二章 全等三角形（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列图形中与如图所示的图形全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等图形）即可得． 【详解】解：观察四个选项可知，只有选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，熟记全等图形的概念是解题关键． 2．（本题3分）下列选项中,不是依据三角形全等知识解决问题的是（） A．利用尺规作图，作一个角等于已知角 B．工人师傅用角尺平分任意角 C．利用卡钳测量内槽的宽 D．用放大镜观察蚂蚁的触角 【答案】D 【分析】分别利用作一个角等于已知角以及工人师傅用角尺平分任意角和卡钳测量内槽的宽都是利用全等三角形的知识解决问题,进而分析得出答案. 【详解】A、利用尺规作图,作一个角等于已知角,是利用SSS得出,依据三角形全等知识解决问题,故此选项不合题意; B、工人师傅用角尺平分任意角,是利用SSS得出,依据三角形全等知识解决问题,故此选项不合题意; C、利用卡钳测量内槽的宽,是利用SAS得出,依据三角形全等知识解决问题,故此选项不合题意; D、用放大镜观察蚂蚁的触角,是利用相似,不是依据三角形全等知识解决问题,故此选项正确. 所以D选项是正确的.故选D. 【点睛】本题考查了全等三角形的应用,正确掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 3．（本题3分）已知点P到两边的距离相等，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查角平分线判定定理，由题意可知平分，即可得到解题． 【详解】解：∵点P到两边的距离相等， ∴平分， ∴， 故选D． 4．（本题3分）下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形 C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等形的周长一定相等 【答案】D 【分析】根据全等图形的判定和性质，对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、两个面积相等的图形，形状不一定相同，所以不一定是全等形，故A错误； B、两个等边三角形，边长不一定相等，所以不一定是全等形，故B错误； C、若两个图形的周长相等，形状不一定相同，所以它们不一定是全等形，故C错误； D、两个全等三角形的对应边相等，所以周长一定相等，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等图形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义和性质． 5．（本题3分）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（    ）去最省事． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带③去． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，正确理解“角边角”的内容是解题的关键． 6．（本题3分）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案． 【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键． 7．（本题3分）如图，在中，，于点，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的判定可知，BD平分∠ABC，根据已知条件可求出∠A的度数． 【详解】解：∵，，且 ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案选D． 【点睛】本题主要考查角平分线的判定及三角形角度计算问题，理解角平分线的判定条件是解题的关键． 8．（本题3分）已知，如图，，，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题中条件可得Rt△ABC≌Rt△CDE，再通过角之间的转化，进而可得出结论． 【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠D=∠B=90°， 在Rt△ABC和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL）， ∴∠DCE=∠A， ∵∠B=90°， ∴∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠ECD+∠ACB=90°， ∴∠ACE=180°-90°=90°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定及性质，解决本题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△CDE． 9．（本题3分）如图，点E，F在上，，，．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，则，利用可证明，根据三角形内角和定理和，，可得，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形判定，三角形内角和定理，线段之间的关系，解题的关键是掌握这些知识点． 10．（本题3分）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，连接 AO并延长，交BC于点D，OH⊥BC于点H；若∠BAC=60°，OH=3cm，则OA=（    ） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】A 【分析】作OE⊥AB交AB于E，由OB平分∠ABC，OH⊥BC，根据角平分线的性质定理可得OE=OH=3cm，再由角平分线的定义得到∠BAO=30°，根据30°角直角三角形的性质即可求得OA的长． 【详解】作OE⊥AB交AB于E， ∵OB平分∠ABC，OH⊥BC， ∴OE=OH=3cm， ∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O， ∴AO平分∠BAC， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAO=30°， ∴AO=2OE=6cm， 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及30°角直角三角形的性质，正确的作出辅助线，熟练运用角平分线的性质定理及30°角直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B= 度． 【答案】120 【分析】根基三角形全等的性质得到∠C=∠C′=24°，再根据三角形的内角和定理求出答案. 【详解】∵， ∴∠C=∠C′=24°， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°， ∴∠B=120°， 故答案为：120. 【点睛】此题考查三角形全等的性质定理：全等三角形的对应角相等，三角形的内角和定理. 12．（本题3分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件 ，使△ABF≌△DCE 【答案】∠B＝∠C(答案不唯一) 【分析】求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 添加∠B=∠C， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， 故答案为：∠B=∠C（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 13．（本题3分）如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段 ． 【答案】AC=BD（答案不唯一） 【分析】利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可． 【详解】解：∵在△ABC和△BAD中，， ∴△ABC≌△BAD（AAS）， ∴AC=BD，AD=BC． 故答案为：AC=BD（答案不唯一）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 14．（本题3分）如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是 ．    【答案】28 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等．根据角平分线的性质可得，根据周长为8，得出，证明，得出，即可求出结果． 【详解】解：是的平分线，，， ∴， ∵周长为8， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴的周长为： ． 故答案为：． 15．（本题3分）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是 ． 【答案】全等三角形的对应角相等 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据作图结合，得到，根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）； 故答案为：全等三角形的对应角相等． 16．（本题3分）在中，，点是外一点，连接，且交于点，在上取一点，使得，若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：； 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）已知如图，D、E分别在AB和AC上，CD、BE交于O，AD=AE，BD=CE．求证：OB=OC． 【答案】证明见解析 【分析】由SAS证明△ABE≌△ACD，得出∠B=∠C，由AAS证明△BOD≌△COE，得出对应边相等即可． 【详解】∵AD=AE BD=CE，  ∴AB=AC， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠B=∠C， 在△BOD和△COE中， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OB=OC 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BOD≌△COE是解题的关键． 18．（本题4分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】先根据得出，再根据证明即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 19．（本题6分）如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【答案】1 【分析】根据等角的余角相等可得∠DCA =∠EBC，然后利用AAS证出△DCA≌△EBC，从而得出DC=EB，AD=CE=3，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴∠ADC=∠CEB= ∴∠DCA＋∠ECB=90°，∠EBC＋∠ECB=90° ∴∠DCA =∠EBC 在△DCA和△EBC中 ∴△DCA≌△EBC ∴DC=EB，AD=CE=3 ∵ ∴DC=CE－DE=1 ∴=1 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用AAS判定两个三角形全等和全等三角形的对应边相等是解决此题的关键． 20．（本题6分）如图，中，平分，且，于E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）过点D作交延长线于F， 首先根据角平分线的性质得到，，然后证明出，进而求解即可； （2）首先根据角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点D作交延长线于F， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴ （2）解：∵平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 21．（本题8分）如图，是的角平分线，在上取点，使． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）35° 【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出，即可完成求证； （2）先求出∠ADE，再利用平行线的性质求出∠ ABC，最后利用角平分线的定义即可完成求解． 【详解】解：（1）平分， ． ， ， ， ． （2），， ． ． ． 平分， ， 即． 【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握． 22．（本题10分）如图，在中，点是上一点，，过点作，且，连接，．    (1)求证：； (2)若是的中点，的面积是20，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形面积相等，即三角形中线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， ． 是的中点， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的中线将三角形面积平分为两等份，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 23．（本题10分）如图，点E在的中线的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，求证：是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）结合（1）根据三角形三边关系即可得的取值范围； （3）根据已知线段关系得到，利用等边对等角推出，，再利用三角形内角和求出即可． 【详解】（1）解：证明：是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2），， ， 即． ， 的取值范围是． （3）∵，，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即是直角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、三角形三边关系． 24．（本题12分）如图①，在中，，，过点C在外作直线，于点M，于点N.    (1)求证：； (2)如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N（），（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)（1）中的结论不成立，，理由见解析． 【分析】（1）先根据垂直的定义得到，则，又，则，于是根据等量代换得到，根据“”可证明，根据全等的性质得，，则； （2）与（1）证明方法一样可得到，根据全等的性质得，，而． 【详解】（1）证明：于，过作于， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：（1）中的结论不成立，与、之间的数量关系为．理由如下： 于，过作于， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应边相等． 25．（本题12分）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)BD＝AC，BD⊥AC，理由见解析 (2)不发生变化．理由见解析 (3)①BD＝AC；②能，BD与AC所成的角的度数为60°或120° 【分析】（1）可以证明△BDE≅△ACE，推出BD=AC ，BD⊥AC； （2）如图2中，不发生变化，只要证明△BED ≅△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE ，由∠DEC＝90°，推出∠ACE+∠EOC＝90°，因为∠EOC＝∠DOF，则∠BDE+∠DOF＝90°，可知∠DFO＝180°-90°＝90°，即可証明 ； （3）①如图3中，结论：BD＝AC，只要证明 △BED≅△AEC即可； ②能；由△BED≅△AEC可知，∠BDE＝∠ACE，推出 ∠DFC＝180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°-（60°+60°）＝60°， 即可解决问题． 【详解】（1）解：BD＝AC，BD⊥AC，理由如下， 延长BD交AC于F，如图所示， ∵AE⊥BC， ∴∠BED ＝∠AEC＝90°， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE， ∵∠BED＝90°， ∴∠EBD+∠BDE＝90°， ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF+∠CAE＝90°， ∴∠AFD＝180°-90°＝90°， ∴BD⊥AC； （2）不发生变化，理由如下：如图所示，DE与AC交于点O，BD与AC交于点F， ， ∵∠BEA＝∠DEC＝90°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE， ∵∠DEC＝90°， ∴∠ACE+∠EOC＝90°， ∵∠EOC＝∠DOF， ∴∠BDE+∠DOF＝90°， ∴∠DFO＝180°-90°＝90°， ∴BD⊥AC； （3）①如图3中，结论：BD＝AC， 理由如下： ∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC． ②能，∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴∠BDE＝∠ACE， ∴∠DFC＝180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF） ＝180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF） ＝180°-（60°+60°） ＝60°， 即BD与AC所成的角的度数为60°或120°． 【点睛】本题考查几何变换综合题，等腰直角三角形的性 质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和 性质，学会利用“8字型”证明角相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 全等三角形（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列图形中与如图所示的图形全等的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列选项中,不是依据三角形全等知识解决问题的是（） A．利用尺规作图，作一个角等于已知角 B．工人师傅用角尺平分任意角 C．利用卡钳测量内槽的宽 D．用放大镜观察蚂蚁的触角 3．（本题3分）已知点P到两边的距离相等，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形 C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等形的周长一定相等 5．（本题3分）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（    ）去最省事． A．① B．② C．③ D．①③ 6．（本题3分）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在中，，于点，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．（本题3分）已知，如图，，，，则等于（  ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，点E，F在上，，，．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，连接 AO并延长，交BC于点D，OH⊥BC于点H；若∠BAC=60°，OH=3cm，则OA=（    ） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B= 度． 12．（本题3分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件 ，使△ABF≌△DCE 13．（本题3分）如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段 ． 14．（本题3分）如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是 ．    15．（本题3分）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是 ． 16．（本题3分）在中，，点是外一点，连接，且交于点，在上取一点，使得，若，则的度数为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）已知如图，D、E分别在AB和AC上，CD、BE交于O，AD=AE，BD=CE．求证：OB=OC． 18．（本题4分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，．求证：．    19．（本题6分）如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 20．（本题6分）如图，中，平分，且，于E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 21．（本题8分）如图，是的角平分线，在上取点，使． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 22．（本题10分）如图，在中，点是上一点，，过点作，且，连接，． (1)求证：； (2)若是的中点，的面积是20，求的面积． 23．（本题10分）如图，点E在的中线的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，求证：是直角三角形． 24．（本题12分）如图①，在中，，，过点C在外作直线，于点M，于点N. (1)求证：； (2)如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N（），（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 25．（本题12分）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$