专题02 平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题02 平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 平方根与算术平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 题型六 求一个数的平方根 题型七 已知一个数的平方根，求这个数 题型八 利用平方根解方程 题型九 平方根的应用 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 平方根与算术平方根概念理解】 【例1】（23-24八年级上·江苏·期末）下列各数没有平方根的是（　　） A．﹣3 B．0 C．2 D．5 1．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知实数a的一个平方根是，则此实数的算术平方根是（    ） A． B． C．2 D．4 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）一个数的算术平方根为2m＋5，平方根为±（m－2），则这个数为 ． 3．（22-23八年级上·广东深圳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图、每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形、则它的边长是（    ） A．2 B．3 C． D．4 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．25的算术平方根是5 C．的平方根是±9 D．－36的算术平方根是6 2．（22-23八年级下·湖北黄冈·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 3．（23-24七年级上·浙江·期中）计算 (1) (2) 【经典例题三 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】（23-24七年级下·安徽淮南·期末）若式子，则等于（    ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）关于代数式的说法正确的是（    ） A．时最大 B．时最小 C．时最大 D．时最小 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）已知实数满足，则 ． 3．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）已知实数a，b，c满足：，求的值． 【经典例题四 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例4】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 3．（22-23七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 【经典例题五 与算术平方根有关的规律探索题】 【例5】（23-24七年级下·全国·期末）在，，，…中，有理数的个数是（　　） A．42 B．43 C．44 D．45 1．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·湖北咸宁·期中）在草稿纸上计算： ①；③；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： ． 3．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【经典例题六 求一个数的平方根】 【例6】（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）下列说法中，正确的是 （    ） A．64的平方根是8 B．4的平方根是2或－2 C．（－3）2没有平方根 D．的平方根是4和－4 1．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）已知|a-2|+(b-1)2+=0，求a+b-c的平方根是（    ）． A．2 B．-2 C．±2 D．4 2．（22-23七年级下·辽宁营口·期末）81的平方根是 ，的绝对值是 ． 3．（22-23七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)49； (2)； (3)； (4)0.0064． 【经典例题七 已知一个数的平方根，求这个数】 【例7】（2023下·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知和是某正数a的平方根，则a的值是（    ） A．3 B．64 C．3或 D．64或 1．（2023下·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·广东肇庆·七年级统考期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ． 3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数m； (2)求关于x的方程的解． 【经典例题八 利用平方根解方程】 【例8】（2022下·福建福州·七年级统考期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）问题：在一块面积为的正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为，且长宽之比为：的长方形纸片不拼接，能裁出吗？ 对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话： 嘉嘉：真急人，我怎么也裁不出① 琪琪：别着急，一定能在一块大纸片上裁出一块面积小的纸片② 嘉嘉：你是如何计算裁出的长宽分别是多少呢？说说思路． 琪琪：设长是，宽是， 则：， ， ， ，舍去 长是，宽是③ 嘉嘉：可是不符合实际情况啊正方形纸片的面积为，则边长为，即边长为． ，，，又不能拼接，所以裁不出④ 对于嘉嘉和琪琪的对话，你认为下面哪个选项是正确的( ) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 2．（2023春·重庆永川·八年级统考期末）若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 3．（2023·河北秦皇岛·统考一模）设示是一个两位数，其中是十位上的数字（），例如，当时，表示的两位数是45．观察以下等式： ①当时，； ②当时，； ③当时，； …… 根据以上规律，解决下列问题 (1)写出第六个等式：______ (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明： (3)运用：若与的差为2525．求的值． 【经典例题九 平方根的应用】 【例9】（2023下·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 1．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（    ） A．2.4A B． C．4.8A D． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝（其中），当刹车距离增加一倍时，车速增加（      ）． A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍 3．（2023春·浙江·七年级期末）如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为，，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为，则乙的面积为 ． 1．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（23-24七年级下·四川南充·期中）下列说法正确的是（      ） A．算术平方根等于本身的数只有 B．是的的一个平方根 C．若有平方根，则 D． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）若a，b为实数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 5．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·北京朝阳·一模）写出一个比大且比小的整数 ． 7．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正数的平方根是与，则的值是 . 8．（22-23七年级上·浙江·期中）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是 ． 9．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“※”：※，按照这个规则，的结果刚好为0，则x的值为 ． 10．（22-23七年级下·广西崇左·期末）请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为 ． 11．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）已知：，求：的平方根． 12．（22-23七年级下·江西·期末）已知的立方根是，b是25的算术平方根． (1)求的值． (2)求的平方根． 13．（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数的两个平方根分别是和． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 14．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． 王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 15．（22-23七年级下·吉林长春·期末）观察表格回答下列问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中　 　，　 　． (2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题： ①已知，则　 　． ②已知，若，则a＝　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 平方根与算术平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 题型六 求一个数的平方根 题型七 已知一个数的平方根，求这个数 题型八 利用平方根解方程 题型九 平方根的应用 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 平方根与算术平方根概念理解】 【例1】（23-24八年级上·江苏·期末）下列各数没有平方根的是（　　） A．﹣3 B．0 C．2 D．5 【答案】A 【分析】非负数才有平方根，只需确定数是非负数即可． 【详解】∵-3是负数，不是非负数， ∴-3没有平方根， ∵0是非负数， ∴0有平方根， ∵2是正数，是非负数， ∴2有平方根， ∵5是正数，是非负数， ∴5有平方根， 故选A． 【点睛】本题考查了平方根的条件，熟记非负数具有平方根是解题的关键． 1．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知实数a的一个平方根是，则此实数的算术平方根是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据平方根的概念从而得出a的值，再利用算术平方根的定义求解即可． 【详解】∵-2是实数的一个平方根， ∴， ∴的算术平方根是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方根以及算术平方根，在解题时要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．一个正数的算术平方根是它的正的平方根． 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）一个数的算术平方根为2m＋5，平方根为±（m－2），则这个数为 ． 【答案】9 【解析】略 3．（22-23八年级上·广东深圳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值． 【答案】7 【分析】根据平方根，算术平方根的定义，列式确定a，b的值，代入计算即可． 【详解】∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平方根即，称x是a的平方根，算术平方根即正的平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图、每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形、则它的边长是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根的定义，准确求出阴影部分的面积是解题的关键．根据割补法求出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：阴影部分， 它的边长是． 故选C． 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．25的算术平方根是5 C．的平方根是±9 D．－36的算术平方根是6 【答案】B 【解析】略 2．（22-23八年级下·湖北黄冈·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据当是最小的完全平方数时，n最小，从而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式，掌握算术平方根与平方的关系是解题的关键． 3．（23-24七年级上·浙江·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查混合运算，涉及乘方运算、绝对值运算、有理数加减乘除混合运算、算术平方根运算等，熟练掌握混合运算法则及运算顺序，掌握绝对值、算术平方根运算是解决问题的关键． （1）根据绝对值运算、平方运算先计算，再由有理数加减乘除四则混合运算法则按顺序计算即可得到答案； （2）根据平方运算、算术平方根、绝对值运算先计算，再由有理数加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题三 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】（23-24七年级下·安徽淮南·期末）若式子，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根及平方的非负数性质，几个非负数的和为，那么这几个非负数都为，先根据非负数的性质求出的值，再代入所求式子计算即可，熟练掌握非负数的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，，解得：，， ∴， 故选：． 1．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）关于代数式的说法正确的是（    ） A．时最大 B．时最小 C．时最大 D．时最小 【答案】C 【分析】根据算术平方根的非负性解答即可． 【详解】解：， 当时，的值最大为3． 故选：C． 【点睛】本题考查非负数的性质，掌握算术平方根的非负性是解题关键． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）已知实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握非负数的和为0时，各个非负数都等于0是解决本题的关键． 【详解】解：， 又，， ，． ，． ． 故答案为：． 3．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）已知实数a，b，c满足：，求的值． 【答案】2 【分析】根据非负数的性质，可求出a、b、c的值，然后将代数式化简，再代值计算． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．熟练掌握非负数的性质是解答本题的关键． 【经典例题四 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例4】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 1．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 3．（22-23七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 【答案】(1)5，7 (2)4次之后结果为1． 【分析】（1）先计算和估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义对290进行连续求根整数，可得4次之后结果为1． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：5，7； （2）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， 答：对290连续求根整数，4次之后结果为1． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的算术平方根的计算能力． 【经典例题五 与算术平方根有关的规律探索题】 【例5】（23-24七年级下·全国·期末）在，，，…中，有理数的个数是（　　） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】C 【分析】将算术平方根转化为平方进行判断即可． 【详解】∵12＝1，22＝4，32＝9，…，442＝1936，452＝2025， ∴，，，…中，有理数为1，2，…，44， 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根及有理数的平方的知识，熟知算术平方根的定义是解决问题的关键． 1．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．（22-23七年级下·湖北咸宁·期中）在草稿纸上计算： ①；③；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： ． 【答案】5050 【分析】先分别求出①②③④的结果，根据发现的规律并用规律进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ……… ∴． 故答案为：5050． 【点睛】本题属于与算术平方根有关的规律探索题，主要考查了学生的计算、分析、总结归纳的能力，解题关键是从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题． 3．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的 【分析】本题考查算术平方根中的规律探究： （1）根据算术平方根的定义，填表即可； （2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可； （3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 【经典例题六 求一个数的平方根】 【例6】（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）下列说法中，正确的是 （    ） A．64的平方根是8 B．4的平方根是2或－2 C．（－3）2没有平方根 D．的平方根是4和－4 【答案】B 【分析】根据平方根的相关定义对每个选项做出判断即可得到答案； 【详解】A：64的平方根是8或-8，故该选项错误； B：4的平方根是2或-2，故该选项正确； C：=9，9的平方根是3或-3，故该选项错误； D：，4的平方根是2或-2，故该选项错误； 故选B； 【点睛】本题考查了平方根，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 1．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）已知|a-2|+(b-1)2+=0，求a+b-c的平方根是（    ）． A．2 B．-2 C．±2 D．4 【答案】C 【分析】根据非负数性质，求出a、b、c的值，再代入所求代数式求得代数式的值，然后根据平方根求解即可． 【详解】解：∵|a-2|+(b-1)2+=0， ∴a-2=0,b-1=0，c+1=0， ∴a=2，b=1，c=-1， ∴a+b-c=2+1-（-1）=4, ∴a+b-c的平方根是±2， 故选：C． 【点睛】本题考查非负数的性质，平方根，熟练掌握绝对数值有非负性、偶次方的非负性、算术平方根的非负性、求一个数的平方根是解题的关键． 2．（22-23七年级下·辽宁营口·期末）81的平方根是 ，的绝对值是 ． 【答案】 ； ． 【分析】根据平方根的性质和绝对值的性质解答即可． 【详解】 ∴81的平方根是． 故空1答案为： ， ， ． 故空2答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质和绝对值的性质．正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．掌握以上知识是解题的关键． 3．（22-23七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)49； (2)； (3)； (4)0.0064． 【答案】(1)±7 (2) (3)±16 (4)±0.08 【详解】因为，所以49的平方根是±7． （2）因为，所以的平方根是． （3）因为，所以的平方根是±16． （4）因为，所以0.0064的平方根是±0.08 【经典例题七 已知一个数的平方根，求这个数】 【例7】（2023下·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知和是某正数a的平方根，则a的值是（    ） A．3 B．64 C．3或 D．64或 【答案】D 【分析】与相等或者互为相反数，分别求出的值，再求出的值，最后求出的值． 【详解】解：I．当和相等时， ， 解得：， ， ； II．当和互为相反数时，，解得：， ， ； 综上所述：a的值是64或． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． 1．（2023下·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 2．（2023春·广东肇庆·七年级统考期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】1 【分析】先根据平方根的性质得出两个平方根互为相反数，再列方程计算，根据平方根的平方是被开方数得出这个正数 【详解】由题意可知： ∴这个正数的两个平方根分别是 ∴这个正数是1 故答案为：1 【点睛】本题考查平方根的性质，利用性质列方程是解题关键 3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数m； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1)49 (2) 【分析】（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求值，即可求解； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ； （2）当时，， ， ． 【点睛】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数． 【经典例题八 利用平方根解方程】 【例8】（2022下·福建福州·七年级统考期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知都小于1且大于0，根据平方根求得的值即可求解． 【详解】解：∵ ∴都小于1且大于0 （负值舍去） 故选D 【点睛】本题考查了求一个数的平方根，判断的范围是解题的关键． 1．（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）问题：在一块面积为的正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为，且长宽之比为：的长方形纸片不拼接，能裁出吗？ 对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话： 嘉嘉：真急人，我怎么也裁不出① 琪琪：别着急，一定能在一块大纸片上裁出一块面积小的纸片② 嘉嘉：你是如何计算裁出的长宽分别是多少呢？说说思路． 琪琪：设长是，宽是， 则：， ， ， ，舍去 长是，宽是③ 嘉嘉：可是不符合实际情况啊正方形纸片的面积为，则边长为，即边长为． ，，，又不能拼接，所以裁不出④ 对于嘉嘉和琪琪的对话，你认为下面哪个选项是正确的( ) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】由题意求出要裁出的长方形纸片的长与宽，比较长方形的长与正方形的边长的大小，即可得到答案． 【详解】解：由于嘉嘉和琪琪的对话知正方形纸片的面积为，则边长为，即边长为，而要裁出的长方形纸片的长与宽分别是，． ，， ， 所以裁不出符合要求的长方形． 正确的是． 故选：A． 【点睛】本题考查算术平方根，关键是列出方程由算术平方根的定义求出长方形的长与宽． 2．（2023春·重庆永川·八年级统考期末）若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义解答即可. 【详解】      故选：D 【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，记作．正确理解算术平方根的定义是解题的关键. 3．（2023·河北秦皇岛·统考一模）设示是一个两位数，其中是十位上的数字（），例如，当时，表示的两位数是45．观察以下等式： ①当时，； ②当时，； ③当时，； …… 根据以上规律，解决下列问题 (1)写出第六个等式：______ (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明： (3)运用：若与的差为2525．求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）观察题干中式子的变化，根据变化规律，即可得到答案； （2）根据题干中式子的变化规律，用代数式表达即可； （3）由与的差为2525，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：， 证明如下： ， ； （3）解： 与的差为2525， 整理得：， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了找规律-数字类，完全平方式的应用，利用平方根的含义解方程，理解题意，找到规律是解题的关键． 【经典例题九 平方根的应用】 【例9】（2023下·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， （舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 1．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（    ） A．2.4A B． C．4.8A D． 【答案】B 【分析】将所给数据代入求解即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴， ∴（负值不符合实际情况，舍去） ∴电流的值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了求代数式的值，平方根的应用，掌握实数的运算法则是解题的关键 2．（2023春·全国·七年级专题练习）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝（其中），当刹车距离增加一倍时，车速增加（      ）． A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍 【答案】B 【分析】知道刹车距离s与车速v的关系式后，再将等式进行变形，使得s变为2s，即可得出答案． 【详解】解：由题意知， 刹车距离s与车速v的关系式是：（其中）， 所以， 当刹车距离增加一倍时，即： 即车速增加倍， 故选：B． 【点睛】本题考查算术平方根的应用，借助算术平方根解决实际问题． 3．（2023春·浙江·七年级期末）如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为，，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为，则乙的面积为 ． 【答案】4 【分析】设乙的边长为2a，根据，，可以推出从而推出两个大正方形的边长，再由覆盖面积列出方程求解即可 【详解】解：设乙的边长为2a， ∵正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成， ∵，， ∴，， ∴， ∴正方形EFGH的边长为，正方形ABCD的边长为， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，正确理解题意表示出两个大正方形的边长是解题的关键． 1．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】根据利用夹逼法得到取值范围，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查根数的估算，解题的关键是将原来的根数变形． 2．（23-24七年级下·四川南充·期中）下列说法正确的是（      ） A．算术平方根等于本身的数只有 B．是的的一个平方根 C．若有平方根，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、平方根，根据算术平方根和平方根的定义逐项判断即可求解，掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：、算术平方根等于本身的数有和，该选项说法错误，不合题意； 、是的的一个平方根，该选项说法正确，符合题意； 、若有平方根，则，该选项说法错误，不合题意； 、，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平方根，解题关键是掌握平方根的性质． 一个正数有两个平方根且互为相反数，的平方根是，所以同一个数的平方根可能相等，也可能互为相反数．则或，求解即可得到答案． 【详解】解：和是同一个数的平方根， 有或， 解得或． 故选：． 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）若a，b为实数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 【答案】B 【解析】略 5．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知都小于1且大于0，根据平方根求得的值即可求解． 【详解】解：∵ ∴都小于1且大于0 （负值舍去） 故选D 【点睛】本题考查了求一个数的平方根，判断的范围是解题的关键． 6．（2023·北京朝阳·一模）写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】答案不唯一，如：1 【分析】先对进行估值，在找出范围中的整数即可． 【详解】解：∵1<<2 ∴-2<x<2,(x为整数) 故答案为：-1,0,1（答案不唯一） 【点睛】本题考查算术平方根的估值．理解算术平方根的定义是关键． 7．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正数的平方根是与，则的值是 . 【答案】 【分析】本题考查了平方根，关键是熟知正数有两个平方根，且互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得：， ∴这个数为， ∴， 故答案为：． 8．（22-23七年级上·浙江·期中）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是 ． 【答案】 【分析】 根据题意分别得出a、b、c的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵x是最大的负整数， ∴， ∵y是最小的正整数， ∴， ∵z是平方根等于本身的数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的相关定义，平方根的定义，解题的关键是掌握平方根等于本身的数是0． 9．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“※”：※，按照这个规则，的结果刚好为0，则x的值为 ． 【答案】2或/或2 【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，结合已知条件列得方程是解题的关键．由题意可得，利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：由题意可得， 即， 则， 解得：或， 故答案为：2或． 10．（22-23七年级下·广西崇左·期末）请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为 ． 【答案】55 【分析】根据；；；，…，可得：，据此求出的值为多少即可． 【详解】解：； ； ； ，…， ∴， ∴ ． 故答案为：55． 【点睛】此题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键． 11．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）已知：，求：的平方根． 【答案】 【分析】由，可得，解得，，则，，根据的平方根为，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，平方根．解题的关键在于熟练掌握的平方根为． 12．（22-23七年级下·江西·期末）已知的立方根是，b是25的算术平方根． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据题意求出a，b的值即可； （2）把a，b的值代入即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，即， ，         ∴； （2）解：当时， ； ∴的平方根为． 【点睛】本题考查立方根, 平方根，算术平方根，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 13．（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数的两个平方根分别是和． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （1）先根据平方根的定义，得，再化简即可； （2）根据平方根的定义，得，代入，再利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：正实数的两个平方根分别是和， ， ， 若，则； （2）解：正实数的两个平方根分别是和， ， ， ，即， ， 是正实数，即， ． 14．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． 王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程、算术平方根的实际应用和估算无理数的大小． 先求出正方形的边长为，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可． 【详解】解：方案一可行． ∵正方形木板的面积为， 正方形木板的边长为． 如图所示，沿着裁剪， ∵， 只要使就满足条件； 方案二不可行．理由如下： 设所裁长方形装饰材料的长为、宽为， 则，即， 解得（负值已舍去）， 所裁长方形的长为， ∵， 所裁长方形的长大于正方形的边长， 方案二不可行． 15．（22-23七年级下·吉林长春·期末）观察表格回答下列问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中　 　，　 　． (2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题： ①已知，则　 　． ②已知，若，则a＝　 　． 【答案】(1)；10 (2)①；②25600 【分析】（1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：；10． （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 已知，则， 故答案为：； ②由①可得被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 已知，则， ∵， ∴． 故答案为：25600． 【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$