专题02 有理数的运算（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

专题02有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、有理数的加法运算律 【解惑】计算应用了（    ） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．加法交换律 D．加法交换律和结合律 【融会贯通】 1．计算，可以运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上都不对 2．用简便方法计算： ． 3．用适当的方法计算： (1)； (2)． 类型二、有理数的乘法运算律 【解惑】用简便方法计算：，其结果是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【融会贯通】 1．算式利用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律 2．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．下面给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 3．简便计算： (1) (2) 类型三、程序流程图 【解惑】按下列所示的程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是（　　） A．15 B．25 C．235 D．255 【融会贯通】 1．按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（     ） A．6 B．21 C．115 D．231 2．按如图所示程序运算，当输出值最小时，输入值在至之间的所有可取整数为 ． 3．小明设计了一个如图所示的数值转换程序． (1)当输入吋，求输出的值为多少？ (2)若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 类型四、算”24“点 【解惑】已知：是最小的正整数，是最大的负整数，、满足． (1)求、、、的值； (2)在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将、、、的值组成算式（四个数都使用且每个数只能使用一次），使运算结果为，写出这个算式（写一个即可）． 【融会贯通】 1．有以下个数：，，4，，，． (1)画出数轴，在数轴上画出表示各数的点； (2)用“”号把它们接起来； (3)取其中个整数，用运算符号(含括号)连接起来，使得运算的结果是． 2．一种算“二十四”的游戏规则如下：给出绝对值是1～13之间的数，从中任取四个，将这四个数进行加减乘除运算，可添加括号，每个数都用且只能用一次，使其结果等于24．例如：1，2，3，4可作运算．现有四个数3，4，，10，请你参考上述规则，写出三种不同的算式，使其结果都是24． 3．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是________，积为________； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 类型五、有理数的加减混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．计算：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型六、有理数的乘除混合运算 【解惑】计算： 【融会贯通】 1．计算： （1）；      （2）． 2．下面是小明同学的运算过程． 计算：﹣5÷2×． 解：﹣5÷2×=﹣5÷（2×）…第1步 =﹣5÷1…第2步 =﹣5…第3步 请问：（1）小明从第　 　步开始出现错误； （2）请写出正确的解答过程． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型七、有理数的四则混合运算 【解惑】计算：； 【融会贯通】 1．用合理的方法计算，并写出过程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算 (1) (2) (3) (4) 3．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)计算：． (3)根据以上信息可知：________． 类型八、有理数的含乘方的混合运算 【解惑】计算：． 【融会贯通】 1．计算题 (1) (2) (3) (4) 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．我们平常用的数都是十进制的，如：．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数，等于十进制数5；二进制数，等于十进制数22，那么二进制数11010等于十进制数多少呢？ 【一览众山小】 1．化简，，，这四个数中，负数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．计算的正确结果是（    ） A．16 B． C． D．8 3．已知，且，则的值等于（　　） A．29或1 B．或1 C．或 D．29或 4．若，，且，则 0．（填“<”或“>”“=”） 5．用“△”表示一种运算符号，表示对于任何数a和b，有，那么 ． 6．在数学中，为了简便计算记，，，，．则 ． 7．用简便方法计算： (1) (2)． 8．脱式计算，能简便的要简便计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、有理数的加法运算律 【解惑】计算应用了（    ） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．加法交换律 D．加法交换律和结合律 【答案】D 【分析】根据加法的运算律求解可得． 【详解】解：计算是应用了加法的交换律和结合律， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握加法运算的运算律． 【融会贯通】 1．计算，可以运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上都不对 【答案】C 【分析】在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 【详解】解：将式子先变成再计算结果，运用了加法交换律和加法结合律， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了有理数的加法，关键是掌握有理数加法运算律：交换律：；结合律． 2．用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．用适当的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则． （1）利用结合律简便计算法计算； （2）利用结合律简便计算法计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 类型二、有理数的乘法运算律 【解惑】用简便方法计算：，其结果是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法运算律．熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【融会贯通】 1．算式利用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：，据此可得答案，熟知有理数乘法分配律的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，算式运用了乘法分配律， 故选：． 2．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．下面给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】①将，代入计算可得②根据法则，先计算，再计算⊕可得；根据新定义分别验证交换律与结合律，即可判断③④． 【详解】解：①解：∵， ∴；故①正确； ②∵， ∴ ；故②正确； ③ 例如：由①知 又∵ ∴， ④ 例如② ∴ ∴ 故答案为：．①② 【点睛】本题主要考查新运算，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及新定义的运用． 3．简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数计算中的简便运算： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 类型三、程序流程图 【解惑】按下列所示的程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是（　　） A．15 B．25 C．235 D．255 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据计算程序计算即可． 【详解】解：输入，则， 再把代入计算，得， 再把代入计算，得， 即输出结果， 故选：D． 【融会贯通】 1．按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（     ） A．6 B．21 C．115 D．231 【答案】D 【分析】观察图示我们可以得出关系式为：，因此将的值代入就可以计算出结果．如果计算的结果等于100则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值为止，即可得出的值．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．一要注意结果才可以输出，二是当等于100是就是重新计算，且输入的就是这个数． 【详解】解：依据题中的计算程序列出算式：由于， 应该按照计算程序继续计算， 应该按照计算程序继续计算， 输出结果为231． 故选：D． 2．按如图所示程序运算，当输出值最小时，输入值在至之间的所有可取整数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，代数式的求值与程序框图的含义，理解题意是解本题的关键．大于的自然数从开始，从输出数值为，等依次分析可得答案． 【详解】解：若最小为，①输入为，不在至之间，舍去 ②输入为，不合题意，舍去； 若最小为，①输入为，不在至之间，舍去 ②输入为，可行 ③9可以由除以得到，故可行 综上，最后结果为，； 故答案为：或． 3．小明设计了一个如图所示的数值转换程序． (1)当输入吋，求输出的值为多少？ (2)若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一，符合要求即可） 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算．理解程序流程图是解题的关键． （1）由题意知，，由，可知，计算求解即可； （2）由题意知，，当时，，可知，进而可知，符合要求． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴输出的值为； （2）解：由题意知，， 当时，，且， ∴， ∴符合条件． 类型四、算”24“点 【解惑】已知：是最小的正整数，是最大的负整数，、满足． (1)求、、、的值； (2)在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将、、、的值组成算式（四个数都使用且每个数只能使用一次），使运算结果为，写出这个算式（写一个即可）． 【答案】(1)，，， (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的有关概念及混合运算，绝对值的非负性， （1）根据、的特征和绝对值的非负性即可求出、、、的值； （2）根据运算法则及运算结果添加运算符号和括号即可； 熟练掌握有理数的有关概念与运算法则、绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，是最大的负整数， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，，，； （2）（答案不唯一）． 【融会贯通】 1．有以下个数：，，4，，，． (1)画出数轴，在数轴上画出表示各数的点； (2)用“”号把它们接起来； (3)取其中个整数，用运算符号(含括号)连接起来，使得运算的结果是． 【答案】(1)数轴见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数大小比较，数轴； （1）在数轴上准确找到各数对应的点，即可解答； （2）利用（1）的结论，即可解答； （3）根据有理数的混合运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：如图： （2）根据数轴可得：； （3） ． 2．一种算“二十四”的游戏规则如下：给出绝对值是1～13之间的数，从中任取四个，将这四个数进行加减乘除运算，可添加括号，每个数都用且只能用一次，使其结果等于24．例如：1，2，3，4可作运算．现有四个数3，4，，10，请你参考上述规则，写出三种不同的算式，使其结果都是24． 【答案】①；②；③ 【分析】根据有理数的加减乘除运算法则进行计算，即可解答． 【详解】解：① ； ② ； ③ ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是________，积为________； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 【答案】(1)和；15 (2) 【分析】（1）找出两个数字，使其积最大即可； （2）利用24点游戏规则判断即可． 【详解】（1）解：两张卡片上的数字分别是和时，乘积最大，且最大值为：． 故答案为：和；15． （2）解：根据题意得： ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、除法、混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类型五、有理数的加减混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法法则及加法运算律，熟练掌握有理数的加减法法则及加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减法法则及加法运算律计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【融会贯通】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键．根据有理数加法交换律和有理数加减法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)25 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）（2）利用有理数加减运算法则：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用加大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；从而求解． （3）（4）可以先通分然后再进行有理数加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算． （1）可以正、负数分别结合相加； （2）可以正、负数分别结合相加； （3）可以同分母分数结合相加； （4）可以同分母分数结合相加． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 类型六、有理数的乘除混合运算 【解惑】计算： 【答案】 【分析】先化除法为乘法，然后根据乘法交换律，即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数乘除混合运算． 【融会贯通】 1．计算： （1）；      （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据有理数乘除混合运算从左到右依次计算可以解答本题； （2）现将带分数化为假分数后再根据有理数乘除混合运算从左到右依次计算可以解答本题． 【详解】（1）． （2）． 【点睛】本题考查的是有理数的运算能力,属于基本题型,熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题关键． 2．下面是小明同学的运算过程． 计算：﹣5÷2×． 解：﹣5÷2×=﹣5÷（2×）…第1步 =﹣5÷1…第2步 =﹣5…第3步 请问：（1）小明从第　 　步开始出现错误； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】(1) 1 (2) 见解析 【分析】(1)根据有理数除法的运算方法，以及有理数乘法的运算方法，可得：小明从第1步开始出现错误； (2)首先计算除法，然后计算乘法，求出算式的值是多少即可. 【详解】（1）小明从第1步开始出现错误； （2）﹣5÷2×， =﹣×， =﹣. 【点睛】掌握有理数乘除的运算方法是解决本题的关键. 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1);(2);(3)1;(4) 【详解】试题分析：(1)(2)(3)(4)题，初中阶段经常需要把小数化成分数进行运算，分数运算的好处是可以方便的约分，通分. (1). (2). (3). (4). 点睛：熟练掌握常用分数和小数的互化：，，，，, ,,. 类型七、有理数的四则混合运算 【解惑】计算：； 【答案】37 【分析】此题考查了有理数的乘法与除法，熟练掌握乘法分配律是解本题的关键． 先将除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律即可得到结果． 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．用合理的方法计算，并写出过程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先计算除法与乘法运算，再计算加减运算即可； （2）利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可； （3）利用乘法的交换律与结合律进行简便运算即可； （4）先通分，再计算加减运算即可； （5）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可； （6）把原式化为，再结合分配律进行简便运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除运算，混合运算，乘法分配率的灵活应用，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键. 2．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)6 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，按照有理数混合运算法则一一计算即可． （1）按照有理数的减法运算法则计算即可． （2）按照有理数加减运算法则计算即可． （3）有理数四则混合运算，先算乘除法，最后计算加减法． （4）运用乘法运算律对有理数乘法运算即可． 【详解】（1） （2） （3） ． （4） 3．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)计算：． (3)根据以上信息可知：________． 【答案】(1) (2)11 (3) 【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，如图两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （3）再由倒数的定义直接得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵ ∴ 故答案为：． 类型八、有理数的含乘方的混合运算 【解惑】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算除法和绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)6 (3) (4)41 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则。 （1）先去括号，然后计算加减法即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可即可； （3）先算乘方，再算乘除法即可； （4）先算乘除法，再算加法即可． 【详解】（1）解：解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解∶ ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)71 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）按照有理数加减的运算法则计算即可． （2）按照先乘方，再乘除，最后算加减的顺序计算即可． （3） 根据分配律计算即可． （4）按照先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的顺序计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 3．我们平常用的数都是十进制的，如：．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数，等于十进制数5；二进制数，等于十进制数22，那么二进制数11010等于十进制数多少呢？ 【答案】26 【分析】本题考查了二进制数转化为十进制数的方法，掌握二进制数转化十进制数之间的规则是关键．根据题目信息，参照题中两个二进制数转化为十进制数的方法，可得，利用有理数的乘方法则及加法法则得出结果． 【详解】解：根据二进制数转化为十进制数的方法，可得， 二进制数 ． 故二进制数11010等于十进制数26． 【一览众山小】 1．化简，，，这四个数中，负数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数运算、负数的判定等知识，正确化简个数是解题关键．首先化简各数，然后确定负数的个数，即可获得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴负数的个数为2个． 故选：B． 2．计算的正确结果是（    ） A．16 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是先计算有理数的乘方． 先计算有理数的乘方，再计算乘法，即可解答． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 3．已知，且，则的值等于（　　） A．29或1 B．或1 C．或 D．29或 【答案】A 【详解】本题考查了绝对值的意义，以及有理数的加法，根据题意，利用绝对值的代数意义确定出a与b的值，即可求出的值． 【解答】解：∵，且， ∴或， 则或1． 故选：A． 4．若，，且，则 0．（填“<”或“>”“=”） 【答案】< 【分析】本题考查有理数的加法法则，根据有理数的加法的法则以及题中的条件对式子进行分析即可． 【详解】解：∵，， 且， ∴， 故答案为：<． 5．用“△”表示一种运算符号，表示对于任何数a和b，有，那么 ． 【答案】14 【分析】根据“”所代表的运算法则，将数据代入进行运算即可．此题考查了有理数的运算，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题． 【详解】由题意得： 故答案为：14． 6．在数学中，为了简便计算记，，，，．则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，依照题目给出的范例，正确理解“”是计算关键，“”是阶乘的符号，“”表示从1到n的n个连续自然数的乘积．此题先用自定义变成常规式子，再按照运算顺序计算． 【详解】解：， ． 故答案为：1． 7．用简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）直接逆用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．脱式计算，能简便的要简便计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)32 (3)6 (4)100 (5) (6) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）除法变乘法，利用乘法交换和结合律进行计算即可； （5）先进行除法运算，再进行加减运算即可； （6）按照运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$