专题02 有理数的运算（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

专题02有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、有理数加减法的简便运算 【解惑】计算： 【融会贯通】 1．计算: 2．计算． (1) (2) 3．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；，当时．如下面一组等式： ，；根据以上阅读内容完成： (1)的结果是 　 　，的结果是 　 　． (2)计算：． 类型二、有理数加法的实际应用 【解惑】快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶到达A小区，继续向西行驶到达B小区，然后向东骑行到达C小区最后回到物流公司． (1)以物流公司为原点，向东方向为正方向，用表示，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． (2)C小区离A小区有多远？ (3)求快递员一共骑行的路程． 【融会贯通】 1．巡警乘汽车，沿东西向的公路进行巡逻，约定向东为正，向西为负，某天自巡警队驻地出发，到下班时，行走记录为（单位：）：，，，，，，，，，． 回答下列问题： (1)下班时巡警在驻地的哪边？距巡警队驻地多少千米？ (2)问从巡警队驻地出发到下班时，共行走多少千米？ 2．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负（单位：厘米）：，，，，，问： (1)小虫是否回到原点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 3．下表是该工厂原料仓库一天的原料进出记录情况（运进用正数表示，运出用负数表示）： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 进出数量（单位：吨） (1)周一到周五仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元； 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案较合适？请说明理由． 类型三、有理数减法的实际应用 【解惑】某自行车厂计划每天生产20辆自行车，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化量 (1)前三天共生产了多少辆自行车？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产几辆自行车？ 【融会贯通】 1．2022年国庆节放假八天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织其中，其中闻名于世的北京故宫，在10月1日的游客人数就已经达到了5万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化 (1)10月3日的人数为 万人； (2)这八天，游客人数最多的是10月 日，达到 万人；游客人数最少的是10月 日，为 万人； (3)这8天参观故宫的总人数为 万人． 2．为了提高学生的身体素质，学校鼓励学生开展每日一分钟跳绳打卡活动．小李记录了11月1日至5日每日一分钟跳绳个数如下表（正号表示比上一天多，负号表示比上一天少）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 个数变化（单位：个） 若10月31日小李一分钟跳绳170个，问： (1)小李在11月1日、2日各跳绳多少个？ (2)小李在这5天的跳绳练习中，一分钟最多跳绳多少个？ (3)小李在这5天的跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 3．泰州市中考体育考试项目中，男生需完成9个及以上引体向上为满分．体育老师分别抽查了甲、乙两个班各8名男生（编号为①－⑧号）进行引体向上测试，以9个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，成绩如下表所示∶ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 甲班男生成绩与标准个数的差 0 乙班男生成绩与标准个数的差 0 (1)抽查的16名男生中，做的次数最多的男生比最少的多做几个？ (2)通过数据，可以明显感觉乙班抽查的8名男生的成绩优于甲班，请计算说明乙班抽查的8名男生一共比甲班抽查的8名男生多做了多少个引体向上？ 类型四、有理数乘法的实际应用 【解惑】某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．(单位：) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)在第_______次纪录时距A地最远？ (2)求检修小组收工时在A地的何处？距A地有多远？ (3)若每千米耗油0.15升，每升汽油需8元，问这天检修小组工作一天回到出车地时需汽油费多少元？ 【融会贯通】 1．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 2．某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 3．出租车司机小张某天下午营运全是在东西走向的大道上行驶的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行驶情况如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)当将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车地点的距离为多少千米？ (2)若每千米的营运额为元，则这天下午小张的营运总额为多少元？ (3)若成本为元/千米，则这天下午小张盈利多少元？ 类型五、有理数除法的实际应用 【解惑】国庆小长假，某旅游景区在9月30日接待游客人数是0.9万人，接下来的七天中，每天的接待游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)7天假期里，哪天的游客人数最多？是多少万人？哪天游客人数最少？是多少万人？ (2)7天假期平均每天的游客是多少万人？ 【融会贯通】 1．科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况 （单位：万件） (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期______；最少的一天是星期______；最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？ 2．某水果店以每箱30元的价格从水果批发市场购进8箱香蕉，以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下：，，0，，，，，． (1)这8箱香蕉的总重量是多少千克？ (2)如果把这些香蕉全部以零售的形式卖掉（不计损耗），水果店想要获利，那么这些香蕉零售价应定为每千克多少元？ (3)在（2）的条件下，水果店以零售价售出后，决定将剩下的香蕉按原零售价的八折销售完．请你计算该水果店在销售这批香蕉过程中共盈利多少元？ 3．在年月的北碚山火救灾中，位于山腰的号物资集散地作为重要的物资中转站，月日结束时还剩矿泉水箱，集散地矿泉水的进出情况如下表运进记作“”，运出记作“”，经过五天奋战，月日结束时还剩矿泉水箱． 时间 月日 月日 月日 月日 月日 运进 运出 与前一天相比增加记作“”，减少记作“” (1)直接写出、、的值：         ；           ；                ； (2)请通过计算求出哪一天结束时号物资集散地矿泉水数量最多？ (3)由于地势陡峭，号物资集散地矿泉水的进出运输都只能由“山城骑士”摩托车队完成，为保证安全，每位骑士一次只能运输2箱矿泉水，则需要多少人次才能完成这五天的任务？ 类型六、有理数乘方的实际应用 【解惑】水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【融会贯通】 1．阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： (1) ； (2)归纳、概括： ； (3)如果 ，，运用以上的结论，计算： ． 2．请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2． （1）填空：指数式62＝36对应的对数式是　 　；对数式log327＝3对应的指数式是　 　． （2）计算：log232+log5625． 3．拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再提合，再拉伸， 反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如下面的草图所示: （1）第 4 次捏合后可拉出 根细面条； （2）第 次捏合后可拉出 256 根细面条. 类型七、有理数的新定义运算 【解惑】小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 【融会贯通】 1．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 2．【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 3．在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”：，例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)已知 ，，，，，，，， 这十五个数中．从中任取三个数作为 ，， 的值，进行“”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ． 类型八、有理数的圈次方 【解惑】【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如， 等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个有理数相除记作，读作“的圈次方”． (1)初步探究：直接写出计算结果：______；______； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (2)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______；______； (3)算一算：． 【融会贯通】 1．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：___________，___________． (2)关于除方，下列说法错误的是 ___________． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)算一算：． 2．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方：我们把记作，读作“2的圈3次方”；把记作，读作“－3的圈4次方”；一般地，把记作aⓝ，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：＝______，＝______； （2）关于除方，下列说法正确的是______． ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②对于任何正整数，1ⓝ=1； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式． ＝______；＝______；＝______． （2）想一想：将非零有理数的圈次方（即aⓝ）写成幂的形式等于______； （3）算一算：． （4）观察算式：；；；…；按照这样的规律，算一算：． 3．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答） （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式．________；_________；________； （3）想一想，将一个非零有理数的圈次方写成乘方幂的形式等于________； （4）比较________（填“>”“<”或“=”）； 【灵活应用】 （5）算一算：． 【一览众山小】 1．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 3．A，B是自然数，并且，那么 4．设表示不超过的最大整数，如，．计算 ．计算的结果是 ．绝对值不大于的所有整数和是 ． 5．计算： 6．阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 7．课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 8．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作． (1)直接写出计算结果，_____， _____； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 _____．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示） (4)请利用（3）问的推导公式计算：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、有理数加减法的简便运算 【解惑】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，观察得到每个加数的规律是解题的关键． 从第二个分数开始，每个分数的分母可以拆分成2个数相加，而分子是这2个数的和，据此将分数变为，然后将括号去掉进行简算即可． 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．计算: 【答案】1011 【分析】本题考查了数的规律，整式的加减法的速算与巧算，根据分组的方法计算是解答本题的关键． 根据观察，式子中一共有个加数，每两个加数为一组，和是3，这些数分成组，再算出结果即可． 【详解】解： 2．计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1015 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，找到各加数的规律是解题的关键． （1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；，当时．如下面一组等式： ，；根据以上阅读内容完成： (1)的结果是 　 　，的结果是 　 　． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1），，即可求解； （2）可得，可化为，即可求解． 【详解】（1）解： ， ； 故答案：，． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数加减中的简便运算，理解性质，掌握简便解法是解题的关键． 类型二、有理数加法的实际应用 【解惑】快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶到达A小区，继续向西行驶到达B小区，然后向东骑行到达C小区最后回到物流公司． (1)以物流公司为原点，向东方向为正方向，用表示，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． (2)C小区离A小区有多远？ (3)求快递员一共骑行的路程． 【答案】(1)见解析 (2)7千米 (3)16千米 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键． （1）根据题意画出数轴即可； （2）将点A表示的数的绝对值加上点C表示的数的绝对值，即可求解； （3）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示出A、B、C三个小区的位置如图所示： （2）解：根据题意可知：（千米）， 答：C小区离A小区7千米； （3）解：（千米）， 答：快递员一共骑行了16千米． 【融会贯通】 1．巡警乘汽车，沿东西向的公路进行巡逻，约定向东为正，向西为负，某天自巡警队驻地出发，到下班时，行走记录为（单位：）：，，，，，，，，，． 回答下列问题： (1)下班时巡警在驻地的哪边？距巡警队驻地多少千米？ (2)问从巡警队驻地出发到下班时，共行走多少千米？ 【答案】(1)巡警在驻地处，与驻地相距0千米 (2)68千米 【分析】本题考查正数与负数，有理数加法的应用，属于基础题型． （1）将行走记录相加即可求出巡警在驻地哪个方向和距离驻地多少千米． （2）将行走记录的绝对值相加即可求出共行走多少千米． 【详解】（1）解： ， 此时巡警在驻地处，与驻地相距0千米； （2）解： 答：共走了68千米． 2．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负（单位：厘米）：，，，，，问： (1)小虫是否回到原点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后没回到出发点； (2)小虫离开出发点的最远为 (3)小虫共可得到粒芝麻 【分析】此题主要考查了正负数的意义及有理数的加法，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）把爬行记录相加，然后根据正负数的意义解答； （2）利用绝对值根据正负数的意义分别求出各记录时与出发点的距离，然后判断即可； （3）求出所有爬行记录的绝对值的和即可． 【详解】（1）解： ， 所以，小虫最后在原点左侧处，没回到出发点； （2）解：根据记录，小虫离开出发点的距离分别为，，，， 所以，小虫离开出发点的最远为； （3）解：根据记录，小虫共爬行的距离为：， 所以，小虫共可得到粒芝麻． 3．下表是该工厂原料仓库一天的原料进出记录情况（运进用正数表示，运出用负数表示）： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 进出数量（单位：吨） (1)周一到周五仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元； 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案较合适？请说明理由． 【答案】(1)增加了吨 (2)方案二 【分析】本题考查了有理数加法的应用，绝对值的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）将每日原料进出数量相加，即得答案； （2）方案一，分别计算运进原料的总费用与运出原料的总费用，再求和即为总运费，方案二，先计算每日进出数量的绝对值之和，再乘以6，即得总费用，最后比较两种方案的总费用，费用少的即为所求． 【详解】（1）因为（吨），     答：周一到周五仓库的原料比原来增加了吨； （2）方案一： （元）； 方案二： （元）； 所以从节约运费的角度考虑，选用方案二较合适． 类型三、有理数减法的实际应用 【解惑】某自行车厂计划每天生产20辆自行车，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化量 (1)前三天共生产了多少辆自行车？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产几辆自行车？ 【答案】(1)前三天共生产了67辆自行车 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产14辆自行车 【分析】本题考查的是有理数的运算和正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量并根据题意进行有理数的加减运算． （1）计算出这一周前三天超产或减产量，得到答案； （2）计算产量最多的一天与产量最少的一天的差即可． 【详解】（1）解：（辆） （辆） 答：前三天共生产了67辆自行车． （2）解：（辆） 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产14辆自行车． 【融会贯通】 1．2022年国庆节放假八天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织其中，其中闻名于世的北京故宫，在10月1日的游客人数就已经达到了5万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化 (1)10月3日的人数为 万人； (2)这八天，游客人数最多的是10月 日，达到 万人；游客人数最少的是10月 日，为 万人； (3)这8天参观故宫的总人数为 万人． 【答案】(1) (2)4，；8， (3) 【分析】本题考查的是正数和负数的意义及有理数的运算，关键是正确理解表中数据的含义，正确计算出每天的人数． （1）根据题意10月1日的人数加上得10月2日的人数，10月2日的人数再加上即可得到答案； （2）分别计算出每天的人数，即可作出判断； （3）根据（1）（2）把8天的人数相加即可． 【详解】（1）解：10月2日的人数为：（万人）， 10月3日的人数为：（万人）． 故答案为：； （2）解：10月4日的人数为：（万人）， 10月5日的人数为：（万人）， 10月6日的人数为：（万人）， 10月7日的人数为：（万人）， 10月8日的人数为：（万人）， ∴这八天，游客人数最多的是10月4日，达到万人．游客人数最少的是10月8日，达到万人． 故答案为：4，；8，； （3）解：（万人）， ∴这8天参观故宫的总人数为万人． 故答案为：； 2．为了提高学生的身体素质，学校鼓励学生开展每日一分钟跳绳打卡活动．小李记录了11月1日至5日每日一分钟跳绳个数如下表（正号表示比上一天多，负号表示比上一天少）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 个数变化（单位：个） 若10月31日小李一分钟跳绳170个，问： (1)小李在11月1日、2日各跳绳多少个？ (2)小李在这5天的跳绳练习中，一分钟最多跳绳多少个？ (3)小李在这5天的跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 【答案】(1)小李在11月1日跳绳162个，在11月2日跳绳159个 (2)一分钟最多跳绳173个 (3)累计跳绳827个 【分析】本题考查了正数和负数应用，以及有理数的混合运算的应用，解题关键是正确列出算式． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）分别求出11月1日至5日每日跳绳量即可得解； （3）把5天的跳绳量相加即可得解． 【详解】（1）个， 个， 答：小李在11月1日跳绳162个，在11月2日跳绳159个； （2）个， 个， 个， 答：一分钟最多跳绳173个； （3）个， 答：累计跳绳827个． 3．泰州市中考体育考试项目中，男生需完成9个及以上引体向上为满分．体育老师分别抽查了甲、乙两个班各8名男生（编号为①－⑧号）进行引体向上测试，以9个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，成绩如下表所示∶ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 甲班男生成绩与标准个数的差 0 乙班男生成绩与标准个数的差 0 (1)抽查的16名男生中，做的次数最多的男生比最少的多做几个？ (2)通过数据，可以明显感觉乙班抽查的8名男生的成绩优于甲班，请计算说明乙班抽查的8名男生一共比甲班抽查的8名男生多做了多少个引体向上？ 【答案】(1)10个 (2)乙班比甲班多做了16个 【分析】（1）用表格中的最大数据减去最小数据，即可； （2）表格中乙班的八个数据相加的和减去甲班的八个数据的和，即可． 【详解】（1）解：（个）； 答：做的次数最多的男生比最少的多做10个； （2）（个）； 答：乙班比甲班多做了16个． 【点睛】本题考查有理数加减运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 类型四、有理数乘法的实际应用 【解惑】某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．(单位：) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)在第_______次纪录时距A地最远？ (2)求检修小组收工时在A地的何处？距A地有多远？ (3)若每千米耗油0.15升，每升汽油需8元，问这天检修小组工作一天回到出车地时需汽油费多少元？ 【答案】(1)四 (2)西边， (3)57.6元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用： （1）分别写出各次记录时距离A地的距离，然后判断即可； （2）将行驶记录全部相加即可判断； （3）把所有行驶记录的绝对值相加，再乘以每千米耗油及汽油单价即可得解． 【详解】（1）解：第一次纪录距A地的距离为：， 第二次纪录距A地的距离为：， 第三次纪录距A地的距离为：， 第四次纪录距A地的距离为：， 第五次纪录距A地的距离为：， 第六次纪录距A地的距离为：， 第七次纪录距A地的距离为：， 所以在第四次纪录时距A地最远， 故答案为：四 （2）解：， 答：检修小组收工时在A地西边，距离A地； （3）解： ， （元）． 答：检修小组工作一天需汽油费约为57.6元． 【融会贯通】 1．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)84675 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据表格列式计算即可得出答案； （2）根据最大数减去最小数即可得出答案； （3）根据工资的计算方法列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据记录可知前三天共生产（辆）； （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）； （3）解：， （元）， 该厂工人这一周的工资总额是元． 2．某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)该厂工人这一周的工资是元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键． （1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可； （2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解． 【详解】（1）解：前三天生产的辆数是辆． 答案是：； （2）解：辆， 故答案是， 故答案为：； （3）解：这一周多生产的总辆数是辆． 元． 答：该厂工人这一周的工资是元． 3．出租车司机小张某天下午营运全是在东西走向的大道上行驶的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行驶情况如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)当将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车地点的距离为多少千米？ (2)若每千米的营运额为元，则这天下午小张的营运总额为多少元？ (3)若成本为元/千米，则这天下午小张盈利多少元？ 【答案】(1)小张距下午出车地点的距离东边3千米； (2)小张的营运总额为元； (3)小张盈利元 【分析】（1）本题考查正负数的应用，根据位置用正负数直接加减计算即可得到答案； （2）本题考查正负数的应用，根据路程用绝对值相加即可得到答案； （3）本题考查正负数的应用，用（2）的费用减去成本即可得到答案 【详解】（1）解：由题意可得， ∵， ∴小张距下午出车地点的距离东边3千米； （2）解：由题意可得， 总路程为：（千米）， ∴小张的营运总额为：（元）， ∴小张的营运总额为元； （3）解：由（2）得， 成本为：（元）， ∴小张盈利：（元）， 答：小张盈利元． 类型五、有理数除法的实际应用 【解惑】国庆小长假，某旅游景区在9月30日接待游客人数是0.9万人，接下来的七天中，每天的接待游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)7天假期里，哪天的游客人数最多？是多少万人？哪天游客人数最少？是多少万人？ (2)7天假期平均每天的游客是多少万人？ 【答案】(1)10月2日的人数最多，为5.78万人，10月7日的人数最少，为0.69万人 (2)3.61万人 【分析】本题考查有理数运算的实际应用： （1）求出每一天的游客数量，即可得出结果； （2）用游客总量除以7进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，10月1日的人数为：万人； 10月2日的人数为：万人； 10月3日的人数为：万人； 10月4日的人数为：万人； 10月5日的人数为：万人； 10月6日的人数为：万人； 10月7日的人数为：万人； 故10月2日的人数最多，为5.78万人，10月7日的人数最少，为0.69万人； （2）万人． 【融会贯通】 1．科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况 （单位：万件） (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期______；最少的一天是星期______；最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？ 【答案】(1)四，三，14 (2)22万件 【分析】（1）由超出最多的与不足最多的可得分拣包裹数量最多的一天，最少的一天，再利用超出最多的数量减去不足的数量可得答案； （2）由分拣包裹总量除以时间可得平均数． 【详解】（1）解：该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期四；最少的一天是星期三；最多的一天比最少的一天多分拣万件包裹； （2） （万件） 答：该仓库本周实际平均每天分拣22万件． 【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，减法运算的应用，混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是本题的关键． 2．某水果店以每箱30元的价格从水果批发市场购进8箱香蕉，以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下：，，0，，，，，． (1)这8箱香蕉的总重量是多少千克？ (2)如果把这些香蕉全部以零售的形式卖掉（不计损耗），水果店想要获利，那么这些香蕉零售价应定为每千克多少元？ (3)在（2）的条件下，水果店以零售价售出后，决定将剩下的香蕉按原零售价的八折销售完．请你计算该水果店在销售这批香蕉过程中共盈利多少元？ 【答案】(1)这8箱香蕉的总重量是78千克 (2)香蕉的零售价应定为每千克4元 (3)该水果店在销售这批香蕉过程中盈利53.28元 【分析】（1）把称重的记录相加，再加上8个10千克即可求解； （2）根据题意列出算式进行计算即可得到答案； （3）根据题意列出算式进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：这8箱香蕉的总重量是78千克； （2）解：（元）， 答：香蕉的零售价应定为每千克4元； （3）解：（元）， 答：该水果店在销售这批香蕉过程中盈利53.28元． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，读懂题意，正确列出算式，掌握有理数的混合运算法则，准确进行计算，是解题的关键． 3．在年月的北碚山火救灾中，位于山腰的号物资集散地作为重要的物资中转站，月日结束时还剩矿泉水箱，集散地矿泉水的进出情况如下表运进记作“”，运出记作“”，经过五天奋战，月日结束时还剩矿泉水箱． 时间 月日 月日 月日 月日 月日 运进 运出 与前一天相比增加记作“”，减少记作“” (1)直接写出、、的值：         ；           ；                ； (2)请通过计算求出哪一天结束时号物资集散地矿泉水数量最多？ (3)由于地势陡峭，号物资集散地矿泉水的进出运输都只能由“山城骑士”摩托车队完成，为保证安全，每位骑士一次只能运输2箱矿泉水，则需要多少人次才能完成这五天的任务？ 【答案】(1)，， (2)月日 (3)人次 【分析】（1）分别列出6天还剩余的矿泉水数量，即可求得的值； （2）根据（1）的结论即可求解； （3）根据号物资集散地矿泉水的进出运输数量，乘以2即可求解． 【详解】（1）月日结束时还剩矿泉水箱， 月日结束时还剩矿泉水：箱， 月日结束时还剩矿泉水：箱， 月日结束时还剩矿泉水，即， 月日结束时还剩矿泉水：箱， 月日结束时还剩矿泉水：箱， 月日结束时还剩矿泉水箱， ，即， ，即， 解得， 故答案为：，，； （2）由（1）得月日结束时还剩矿泉水数量最多； （3）号物资集散地矿泉水的进出运输数量是：， 每位骑士一次只能运输箱矿泉水， ， 答：需要人次才能完成这五天的任务． 【点睛】本题考查了有理数加减运算的应用，正负数的意义，有理数除法的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 类型六、有理数乘方的实际应用 【解惑】水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 【融会贯通】 1．阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： (1) ； (2)归纳、概括： ； (3)如果 ，，运用以上的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)100 【分析】此题主要考查了有理数的乘方以及有理数的乘法，正确得出运算规律是解题关键． （1）直接利用已知计算得出答案； （2）利用（1）中所求进而得出答案； （3）利用（2）中所求，将原式变形进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）归纳、概括：； （3）如果 ，， 运用以上的结论，计算： 2．请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2． （1）填空：指数式62＝36对应的对数式是　 　；对数式log327＝3对应的指数式是　 　． （2）计算：log232+log5625． 【答案】（1）；（2）9 【分析】（1）直接利用对数式的定义分析得出答案； （2）直接利用对数式的定义得出各数求出答案． 【详解】解：（1）指数式62=36对应的对数式是： 对数式log327＝3对应的指数式是：33＝27； （2）∵，， ∴log232=5，log5625=4， log232+log5625 ＝5+4 ＝9． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解对数式定义是解题关键． 3．拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再提合，再拉伸， 反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如下面的草图所示: （1）第 4 次捏合后可拉出 根细面条； （2）第 次捏合后可拉出 256 根细面条. 【答案】（1）16；（2）8. 【分析】（1）观察图形，根据有理数的乘方，第4次捏合后为2的4次方；（2）第n次捏合后为2的n次方，然后根据2的指数次幂求解即可． 【详解】（1）由图可知，第1次捏合为2根， 第2次捏合可拉出4根， 第3次捏合可拉出8根， 第4次捏合可拉出24根，即16根； （2）由（1）可得，第n次捏合可拉出2n根， ∴2n=256， 解得n=8． 故答案为16，8． 【点睛】本题考查了有理数乘方的运用，根据图形，正确理解2的指数次幂是解决问题的关键． 类型七、有理数的新定义运算 【解惑】小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)13 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数四则混合运算等知识点，将新定义运算转化成有理数四则混合运算成为解题的关键； （1）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可； （2）先分别根据新运算法则计算两个代数式，然后比较即可； （3）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：． （3）解： ． 【融会贯通】 1．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 2．【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 【答案】(1)， (2)B (3)； (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解与运用； （1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）根据题意确定出所求即可； （3）利用题中的新定义计算即可求出值； （4）原式变形后，计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 故答案为：；； （2）A．任何非零数的次商都等于，说法正确，不符合题意； B．对于任何正整数，当为奇数时，；当为偶数时，，原说法错误，符合题意； C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，说法正确，不符合题意； D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，不符合题意． 故选：B； （3）解： 故答案为：；． （4） 3．在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”：，例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)已知 ，，，，，，，， 这十五个数中．从中任取三个数作为 ，， 的值，进行“”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】（1）直接代入公式计算即可； （2）直接代入公式计算即可； （3）分析为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可． 【详解】（1）原式= =6； （2）原式= = =3； （3）当为非负数时， ， ∴当时，的最小值为； 当为负数时， ， ∴当的值最小时，的值最小； ∵为负数， ∴， 由于最小取， ∴， 综上可得，的最小值为． 【点睛】本题考查了正负数的运算、绝对值运算、代数式的求值等，解题关键是正确代入数值计算，求最小值时应进行分类讨论． 类型八、有理数的圈次方 【解惑】【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如， 等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个有理数相除记作，读作“的圈次方”． (1)初步探究：直接写出计算结果：______；______； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (2)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______；______； (3)算一算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答问题． （1）根据题干中的例子，可以计算出所求式子的值； （2）归纳（1）的运算规律，可以计算出所求式子的值； （3）根据（2）中的计算过程和有理数的运算法则，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：； ； （2）由（1）归纳可得： ； ； （3） ； 【融会贯通】 1．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：___________，___________． (2)关于除方，下列说法错误的是 ___________． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)算一算：． 【答案】(1) (2)C (3) 【分析】（1）分别按公式计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）分别按公式计算即可． 本题考查的是正数与负数、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：A．任何非零数的圈2次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于1，正确，不符合题意； B．对于任何正整数n，1的圈n次方表示的是n个1相除，都等于1，正确，不符合题意； C. ， ， 故，错误，符合题意； D．负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确，不符合题意； 故选C． （3） ． 2．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方：我们把记作，读作“2的圈3次方”；把记作，读作“－3的圈4次方”；一般地，把记作aⓝ，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：＝______，＝______； （2）关于除方，下列说法正确的是______． ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②对于任何正整数，1ⓝ=1； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式． ＝______；＝______；＝______． （2）想一想：将非零有理数的圈次方（即aⓝ）写成幂的形式等于______； （3）算一算：． （4）观察算式：；；；…；按照这样的规律，算一算：． 【答案】初步探究：（1），8（2）①②④；深入思考：（1）；；（2）（3）11（4） 【分析】【初步探究】 （1）新定义的运算法则计算即可． （2）根据新定义的运算法则计算判断即可． 【深入思考】（1）根据定义计算，写成乘方的形式即可． （2）根据（1）中的计算结果，总结规律即可． （3）根据新定义公式，结合乘方，同底数幂的除法计算即可． （4）根据规律，完善计算即可． 【详解】【初步探究】（1）， ， 故答案为：，8． （2）设则，故①正确； 对于任何正整数，1ⓝ=1，故②正确 ∵， ∴，故③错误； 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故④正确． 故答案为：①②④． （1）， ， 故答案为：；；． （2）， 故答案为：． （3） ． （4）根据规律，得 ∵， ∴ ． 3．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答） （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式．________；_________；________； （3）想一想，将一个非零有理数的圈次方写成乘方幂的形式等于________； （4）比较________（填“>”“<”或“=”）； 【灵活应用】 （5）算一算：． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）＞； （5）． 【分析】本题考查了有理数的除法运算，乘方运算，以及有理数混合运算，正确理解相关运算法则是解题的关键． （1）根据题目给出的定义，进行计算即可； （2）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可； （3）从（2）中总结归纳相关规律即可； （4）将两数变形，求出具体值，再比较大小即可； （5）先将除方转化为乘方，再运用有理数混合运算的方法进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）； ； ； 故答案为：； （3）a的圈n次方为：； 故答案为：； （4）， ， ， ， 故答案为：＞； （5）． 【一览众山小】 1．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．根据题意，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由图可知：， ，①错误； ，④错误； ， ， ，③正确； ， ，②正确； 综上所述，正确的选项有②③，共两个， 故选：B． 2．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、倒数的性质，绝对值的概念，有理数的乘法运算，根据题意可知，，，代入计算即可，解题的关键是掌握互为相反数的两数和为、互为倒数的两数积是，注意整体代入思想的运用． 【详解】解：由题意得：，，， ∴原式 ， 则或， 故选：． 3．A，B是自然数，并且，那么 【答案】9 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题关键．先通分计算得出，即得出等量关系，再根据A，B是自然数，即得出，，即得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵A，B是自然数， ∴，， ∴． 故答案为：9 4．设表示不超过的最大整数，如，．计算 ．计算的结果是 ．绝对值不大于的所有整数和是 ． 【答案】 【分析】根据的定义绝对值及有理数的加减解答即可．本题考查有理数的加减混合运算，掌握的意义是解题的关键，综合性较强． 【详解】解：； ； 绝对值不大于的所有整数有、、． ∴绝对值不大于的所有整数和是 故答案为：；；． 5．计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，原式变形后，把看作整体进行运算展开后，利用加法交换律即可得到答案． 【详解】解： 6．阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)500500 (2)15150 【分析】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可． （2）计算出和的值；． 【详解】（1）解：（1）设，① 则，② ①②得：， ， ； （2）设，① 则，② ①②得：， ， ． ． 7．课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 【答案】（）；（）见解析；（）见解析，． 【分析】（）根据图中数据计算即可作答； （）先将已知的个数求和，再除以即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可； （）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （）， 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于， 根据幻方的特点可知：从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起， 即三阶幻方如下： （答案不唯一） （）解：将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为． 8．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作． (1)直接写出计算结果，_____， _____； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 _____．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示） (4)请利用（3）问的推导公式计算：． 【答案】(1)2，； (2)③ (3)（n为正整数，） (4)6 【分析】本题考查有理数的运算． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）利用除方的定义，逐一进行判断即可； （3）根据除方的定义进行计算即可； （4）结合（3）中结论，转换为乘方进行求解即可． 掌握除方的定义，是解题的关键． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：2， （2）①对于任何正整数n，当为奇数时：；故①错误； ②， ∴；故②错误； ③，故③正确； ④对于任何正整数n，为偶数，都有，故④错误； 故答案为：③ ； （3） ； （4） ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$