第三章　整式及其加减（3 探索与表达规律）课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）（2024）六年级数学上册

第三章　整式及其加减 3　探索与表达规律 第1课时　图形中的规律探究 练点 与图形有关的规律 1. [2023·重庆]用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案， 其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木 棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木 棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数 是(　B　) A. 39 B. 44 C. 49 D. 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 【点拨】 由图可得，第①个图案有4＋5＝9(根)木棍， 第②个图案有4＋5×2＝14(根)木棍， 第③个图案有4＋5×3＝19(根)木棍， …， 所以第 个图案有(4＋5n)根木棍， 所以第⑧个图案有4＋5×8＝44(根)木棍. B 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 2. [2024·德州乐陵市期末]如图所示，下列图形都是由相同的 玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个 图形中有120朵玫瑰花，则n的值为(　C　) A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 C 【点拨】 由图可得，第n个图形中有4n朵玫瑰花，令4n＝ 120，得n＝30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 3. [母题教材P128随堂练习T2]如图是由同样大小的黑棋子 按一定规律摆出的图案，图①中有4枚黑棋子，图②中有9 枚黑棋子，图③中有14枚黑棋子，…，依此规律，第n个 图中有 枚黑棋子.(用含n的代数式表示) (5n－1)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 4. [2023·山西]如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相 同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中 有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案 中有10个白色圆片，…，依此规律，第n个图案中 有 个白色圆片.(用含n的代数式表示) 2(n＋1)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 【点拨】 第1个图案中有2×2＝4(个)白色圆片， 第2个图案中有2×3＝6(个)白色圆片， 第3个图案中有2×4＝8(个)白色圆片， 第4个图案中有2×5＝10(个)白色圆片， …， 第n个图案中有2(n＋1)个白色圆片. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 纠易错 找图形变化规律时易忽视图形重叠部分而导致重 复计算 5. 将灰、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式拼成 若干个图案. (1)第4个图案中有白色地砖 块； 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 (2)第n个图案中有白色地砖 块(用含n的代数 式表示). 【点拨】 第1个图案中白色地砖的块数为4×1＋2＝6； 第2个图案中白色地砖的块数为4×2＋2＝10； 第3个图案中白色地砖的块数为4×3＋2＝14； 第4个图案中白色地砖的块数为4×4＋2＝18； …； 第n个图案中白色地砖的块数为4n＋2. (4n＋2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 6. [2024·济宁兖州区期末]找出如图所示的图形的变化规律， 则第2 024个图形中黑色正方形的数量是(　C　) A. 2 024个 B. 3 035个 C. 3 036个 D. 2 023个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为 个； 当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为 个， 所以当n＝2 024时，黑色正方形的数量为2 024＋ ＝3 036(个). 【点拨】 C 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 7. [2024·日照岚山区期末]如图，将图①中的正方形剪开得到 图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开 得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形 剪开得到图④，图④中共有10个正方形；…；如此下去， 则第2 024个图形中共有正方形的个数为(　C　) A. 6 066 B. 6 068 C. 6 070 D. 6 072 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【点拨】 由所给图形可知， 图①中正方形的个数为1＝1×3－2； 图②中正方形的个数为4＝2×3－2； 图③中正方形的个数为7＝3×3－2； 图④中正方形的个数为10＝4×3－2； …， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 依此类推，第n个图形中正方形的个数为3n－2， 当n＝2 024时， 3n－2＝3×2 024－2＝6 070， 即第2 024个图形中正方形的个数为6 070. C 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 8. [2024·济南期末]如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成 各种形状来研究数.例如：称图中的数1，5，12，22，… 为五边形数，则第7个五边形数是(　B　) A. 62 B. 70 C. 84 D. 108 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【点拨】 由图可知， 第1个五边形数为1， 第2个五边形数为1＋4＝5， 第3个五边形数为1＋4＋7＝12， 第4个五边形数为1＋4＋7＋10＝22， 观察规律，可得第5个五边形数为1＋4＋7＋10＋13＝ 35， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 第6个五边形数为1＋4＋7＋10＋13＋16＝51， 第7个五边形数为1＋4＋7＋10＋13＋16＋19＝70. 【答案】 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 9. [2024·淄博淄川区期末]如图是一组有规律的图案，它们是 由正五角星和圆形镶嵌而成，第1个图案有6个圆形，第2 个图案有11个圆形，第3个图案有16个圆形，…，依此规 律，第n个图案有 个圆形(用含n的代数式表 示). (5n＋1)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【点拨】 第1个图案有5＋1＝6(个)圆形， 第2个图案有2×5＋1＝11(个)圆形， 第3个图案有3×5＋1＝16(个)圆形， …， 则第n个图案有(5n＋1)个圆形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 10. 在求1＋2＋3＋…＋100的值时，发现：1＋100＝101，2 ＋99＝101，…，从而得到1＋2＋3＋…＋100＝101×50 ＝5 050.按此方法可解决下面问题.图①有1个三角形， 记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图②，有 5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图②中间的小三角 形三边中点得到图③，有9个三角形，记作a3＝9；按此 方法继续下去，则a1＋a2＋a3＋…＋an＝ ⁠ . (结果用含n的代数式表示) 2n2－ n　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【点拨】 因为a1＝1； a2＝5＝1＋4＝1＋4×1； a3＝9＝1＋4＋4＝1＋4×2； …， 所以an＝1＋4(n－1)＝4n－3. 因为1＋2＋3＋…＋100＝101×50＝5 050， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 所以a1＋a2＋a3＋…＋an ＝1＋5＋9＋…＋(4n－3) ＝ ·n ＝2n2－n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 11. [2024·济南莱芜区期末]小明下五子棋的时候，用棋子按 一定的规律摆了如下三个图案，若小明继续摆下去，请 解决下列问题. (1)摆第5个图案需用 颗棋子. 21　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 【点拨】 由所给图形可知， 摆第1个图案需用的棋子颗数为5＝1×4＋1， 摆第2个图案需用的棋子颗数为9＝2×4＋1， 摆第3个图案需用的棋子颗数为13＝3×4＋1， …， 所以摆第n个图案需用的棋子颗数为4n＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 当n＝5时， 4n＋1＝4×5＋1＝21， 即摆第5个图案需用的棋子颗数为21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 (2)按照此规律摆下去，摆第n个图案需要 ⁠颗 棋子(用含n的代数式表示). 【点拨】 由(1)知，摆第n个图案需用的棋子颗数为4n＋1. (4n＋1)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 (3)是否存在一个图案，所摆棋子数为113颗？若存在， 求出是第几个；若不存在，请说明理由. 【解】存在. 令4n＋1＝113， 解得n＝28， 所以摆第28个图案需用的棋子颗数为113. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 $$ 第三章　整式及其加减 3　探索与表达规律 第2课时　数与式中的规律探究 练点1 与日历或数阵有关的规律 1. 将全体正偶数排成一个三角形数阵，按照如图所示的排列 规律，第10行第5个数是(　B　) A. 98 B. 100 C. 102 D. 104 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 【点拨】 观察数字的变化可知，第n行有n个偶数， 因为第1行的第1个数是2＝1×0＋2 ； 第2行的第1个数是4＝2×1＋2 ； 第3行的第1个数是8＝3×2＋2；…； 所以第n行的第1个数是n ＋2. 所以第10行第1个数是10×9＋2＝92， 所以第10行第5个数是92＋2×4＝100. B 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 2. [2023·常德]观察下边的数表(横排为行，竖排为列)，按数 表中的规律，分数 若排在第a行b列，则a－b的值 为(　C　) A. 2 003 B. 2 004 C. 2 022 D. 2 023 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 【点拨】 观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不 变， (m，n均为正整数)在第(m＋n－1)行，第n列， 所以 在第2 042行，第20列， 所以a＝2 042，b＝20，所以a－b＝2 042－20＝ 2 022. 【答案】 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 3. 将正整数1至6 000按一定规律排列如下表，同时平移表中 带阴影的方框，方框中三个数的和可能是(　A　) A. 116 B. 117 C. 129 D. 138 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 设带阴影的方框中最小的数是x，则其他两个数是x ＋2，x＋9，则x＋x＋2＋x＋9＝3x＋11，令3x＋11＝ 116，则x＝35；令3x＋11＝117，则x＝ ，不是整 数；令3x＋11＝129，则x＝ ，不是整数；令3x＋11 ＝138，则x＝ ，不是整数.所以和可能是116. 【点拨】 A 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 练点2 与数字游戏有关的规律 4. [母题教材P132习题T2]小颖和小亮在玩一个数字游戏.小 颖对小亮说：“小亮，你在心里想好一个数，按照下列步 骤进行运算，把这个数乘 2，然后减 4，再把所得的数乘 3，然后再加 20，把你的结果告诉我，我就知道你心里想 的数了.” 小亮试了几次，小颖都猜对了，你知道这是为 什么吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 【解】设小亮心里想好的数为x，那么把这个数乘 2是 2x，然后减 4是2x－4，再把所得的数乘3是3(2x－4)， 然后再加 20是3(2x－4)＋20＝6x－12＋20＝6x＋8，因 此小颖只要把结果减8后再除以6就可以得到小亮心里想好 的数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 5. 观察下面两行数： 1，5，11，19，29，…； 1，3，6，10，15，…. 取每行数的第7个数，计算这两个数的和是(　C　) A. 92 B. 87 C. 83 D. 78 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 【点拨】 观察第2行数可知，第7个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 ＝28， 第1行的第7个数为28×2－1＝55， 因为28＋55＝83， 所以取每行数的第7个数，这两个数的和是83. C 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 6. [母题·教材P111习题T1变式 2024·淄博张店区期末]把2 024 个正整数1，2，3，4，5，6，…，2 024按如图所示的方 式填写在8×253的表格中(图中所示是表格的一部分)，用 图中阴影所示方式框住表中任意6个数，则这6个数的和不 可能是(　C　) A. 267 B. 567 C. 1 117 D. 4 863 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 【点拨】 观察图表知，这6个数的和应是3的倍数，且左右相 邻的数相差1； 267÷3＝89，89＝44＋45，A中的数可能； 567÷3＝189，189＝94＋95，B中的数可能； 1 117÷3＝372……1，有余数，C中的数不可能； 4 863÷3＝1 621，1 621＝810＋811，D中的数可能. C 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 7. [2023·聊城]如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的 有序数阵.从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字 提取出来组成有序数对：(3，5)；(7，10)；(13，17)； (21，26)；(31，37)；….如果单独把每个数对中的第一个 或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现 其中的规律.请写出第n个数对： ⁠ ⁠. (n2＋n＋1，n2＋2n ＋2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 【点拨】 每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…， 即1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，5×6＋ 1，…， 则第n个数对的第一个数为n2＋n＋1； 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26， 37，…， 即22＋1，32＋1，42＋1，52＋1，62＋1，…， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 则第n个数对的第二个数为(n＋1)2＋1＝n2＋2n＋ 2， 所以第n个数对为(n2＋n＋1，n2＋2n＋2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 8. [2024·青岛即墨区期中]观察下列等式： ①32－12＝4×2； ②42－22＝4×3； ③52－32＝4×4； …… (1)探索以上式子的规律，写出第n个等式： ⁠ (用含n的字母表示)； (n＋2)2－ n2＝4(n＋1)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 (2)若式子a2－b2＝2 020满足以上规律，则a＝ ⁠， b＝ ⁠； 【点拨】 因为2 020＝4×505＝4(n＋1)， 所以n＝504， 所以a＝n＋2＝506，b＝n＝504. 506　 504　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 【解】4×5＋4×6＋4×7＋…＋4×24＋4×25 ＝62－42＋72－52＋82－62＋…＋252－232＋262－242 ＝－42－52＋252＋262 ＝252－52＋262－42 ＝625－25＋676－16 ＝1 260. (3)应用规律计算：4×5＋4×6＋4×7＋…＋4×24＋ 4×25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 9. 在如表所示的日历中，用长方形的框圈出任意3×3个数. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 (1)如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数字的和 为36，那么这9个数的和为 .在这9个日期中， 最后一天是 号. 108　 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 所以x＝12， 所以这9个数为4，5，6，11，12，13，18，19，20， 所以这9个数的和为4＋5＋6＋11＋12＋13＋18＋19 ＋20＝108，最后一天是20号. 【点拨】 设正中间的数是x，则左下角，右上角的数分别 为x＋6，x－6. 由题意可得x＋6＋x＋x－6＝36， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 【解】不能.理由：设正中间的数是m， 则m－8＋m－7＋m－6＋m－1＋m＋m＋1＋m＋6 ＋m＋7＋m＋8＝216， 所以m＝24，观察表格可知，24右下角没有日期，所 以框不能圈出“总和为216”的9个数. (2)在这个月的日历中，用框能否圈出“总和为216”的9 个数？如果能，请求出这9个数中正中间的数；如果不 能，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 10. 式子“1＋2＋3＋4＋…＋100”表示从1开始的连续100个 正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为了 简便起见，可以将上述式子表示为 n，这里“∑”是 求和的符号.例如“1＋3＋5＋7＋…＋99”用“∑”可以 表示为 (2n－1)，“13＋23＋33＋…＋103”用“∑” 可以表示为 n3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 创新拓展题 返回 (1)把 n2写成加法的形式是 ⁠ ⁠； (2)“2＋4＋6＋8＋…＋100”用“∑”可以表示为 ⁠ ⁠； 12＋22＋32＋42＋52＋ 62　 2n　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 创新拓展题 返回 【解】 ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ . (3)计算： ( ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 创新拓展题 返回 $$