3.3探索与表达规律 同步教学课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学六年级上册

第三章 整式及其加减 3.3探索与表达规律 （鲁教版五四制）六年级 上 01 教学目标 01 02 经历由特殊到一般和由一般到特殊的问题解决过程，体会 代数推理的特点和作用，发展代数推理能力。 能用代数式表示规律，并借助运算解释一些现象、论证一 些规律或关系的正确性。 能利用代数式设计一些蕴含规律的问题。 03 02 新知导入 如图是按照一定的规律摆放的桌子和椅子： (1)1张桌子的周围摆放6把椅子，2张桌子的周围摆放_______把椅子; 方框中所圈椅子，是2张桌子比1张桌子多的， 所以2张桌子的周围摆放6+4=10（把）椅子. 10 02 新知导入 如图是按照一定的规律摆放的桌子和椅子： (2)按照图中的规律继续摆放桌子和椅子，完成下表: 桌子/张 3 4 5 6 … n 椅子/把 由图可知，每增加一张桌子，增加4把椅子 3张桌子：6+4+4=6+4×2=14 4张桌子：6+4+4+4=6+4×3=18 14 18 22 26 … 4n+1 5张桌子：6+4+4+4+4=6+4×4=22 6张桌子：6+4+4+4+4+4=6+4×5=26 n张桌子： 6+4+4+…+4=6+4×(n-1) =6+4n-4 =4n+2 03 新知讲解 尝试·交流 如图也是按照一定的规律摆放的桌子和椅子. (1)2张桌子拼在一起，周围可摆放多少把椅子? 3张桌子呢? n张桌子呢? 解：1张桌子的周围摆放6把椅子，红色方框中所圈椅子，是2张桌子比1张桌子多的，所以2张桌子的周围摆放6+2=8（把）椅子. 绿色方框中所圈椅子，是3张桌子比1张桌子多的，所以3张桌子的周围摆放6+2+2=6+2×2=10（把）椅子. 由图可知，每增加一张桌子，增加2把椅子 所以n张桌子的周围摆放6+2+2+…+2=6+2(n-1)=(2n+4)（把）椅子. 03 新知讲解 尝试·交流 解：每8张拼成1张大桌子，所以1张大桌子的周围摆放2×8+4=20（把）椅子. 40张桌子可拼成5张大桌子，所以桌子的周围共可摆放20×5=100(把)椅子. (2)一个大厅里有40张这样的长方形桌子，按照图中的规律每8张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成5张大桌子，桌子的周围共可摆放多少把椅子? (3)如果有8n张桌子，仍按上面规律每8张拼成1张，此时桌子的周围共可摆放多少把椅子? 解：已知每8张拼成1张大桌子，1张大桌子的周围可摆放20把椅子. 8n张桌子，每8张拼成1张大桌子，可拼成n张大桌子，所以桌子的周围共可摆放20n把椅子. 03 新知讲解 尝试·思考 (1)小明也用右边的8张桌子拼成1张大桌子，但8n张桌子的周围只能摆放16n把椅子，你能说出他的桌子是怎么摆放的吗? （2）若仍用上面的桌子，每8张桌子拼成1张大桌子，你还有其他摆放桌子的方法吗？按照你的摆放方法，8n张桌子的周围共可摆放多少把椅子？ （3）在食堂就餐的高峰时段，需要同时能坐下300人，选择上面哪种方式 需要的餐桌数较少？ 03 新知讲解 尝试·思考 (1)小明也用右边的8张桌子拼成1张大桌子，但8n张桌子的周围只能摆放16n把椅子，你能说出他的桌子是怎么摆放的吗? 解：每8张拼成1张大桌子，8n张桌子可拼成n张大桌子， n张大桌子的周围能摆放16n把椅子，说明每一张大桌子周围摆放16把椅子. 摆放方式为： 03 新知讲解 尝试·思考 （2）若仍用上面的桌子，每8张桌子拼成1张大桌子，你还有其他摆放桌子的方法吗？按照你的摆放方法，8n张桌子的周围共可摆放多少把椅子？ 解：每8张拼成1张大桌子，有下面几种不同的拼法： 03 新知讲解 尝试·思考 （3）在食堂就餐的高峰时段，需要同时能坐下300人，选择上面哪种方式 需要的餐桌数较少？ 第（2）种方式． 03 新知讲解 图形的变化规律问题: 观察、分析图形特点，挖掘相邻两个图形间的增减变化关系，有时也可将图形进行分割，从不同角度分析图形的变化特点，从中找出规律，大胆猜想，用恰当的代数式表示规律并加以验证. 02 新知导入 观察图中所示的日历图，回答下列问题： （1）日历图中的数有什么规律？ （2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （3）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？ （4）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ （5）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请用代数式表示。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 02 新知导入 观察图中所示的日历图，回答下列问题： （1）日历图中的数有什么规律？ （2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 前后两个数字之间相差1， 上下两个数字之间相差7。 该图中阴影方框中9个数的和为____，该方框正中间的数为____，这9个数的和是方框正中间数的____倍。 90 10 9 02 新知导入 观察图中所示的日历图，回答下列问题： （3）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 套色方框中9个数之和是144，是正中心数16的9倍． a-8+a-7+a-6-a-1+a+a+1+a+6+a+7+a+8=9a 02 新知导入 观察图中所示的日历图，回答下列问题： （4）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 答：成立 设日历中间的某数为a，则月历中数的排列规律： a–1 a+7 a+1 a–7 a a–8 a+6 a-8+a-7+a-6-a-1+a+a+1+a +6+a+7+a+8=9a a–6 a+8 02 新知导入 观察图中所示的日历图，回答下列问题： （5）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请用代数式表示。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 例如：这9个数，下面一行的数都比对应上面一行的数大7； 后面一列的数都比对应前面1列的数大1. 03 新知讲解 尝试·思考 （1）图中所示的日历图中，能否使框中9个数的和为144？180呢？为什么？ （2）在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号？ （1）假设方框正中间的数为a，框中9个数的和为9a. 使得9a=144，所以a=16. 在图中能找到这样的方框，所以能使框中9个数的和为144. 当9a=180时，a=20. 在图中不能找到这样的方框，所以不能使框中9个数的和为180. 03 新知讲解 尝试·思考 （1）图中所示的日历图中，能否使框中9个数的和为144？180呢？为什么？ （2）在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号？ 纵列相邻两数相差7 解：假设这个月的第一个星期日是m号， 则m+(m+7)+(m+7+7)+(m+7+7+7)+ (m+7+7+7+7)=80， 所以m=2， 所以这个月的第一个星期日是2号. 02 新知导入 思考·交流 如图，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？如果改为“H”形框呢？它们有什么共同规律？你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗？ 7+13+14+15+21＝70 十字形框中5个数的和等于正中间的数的5倍． 10+12+17+18+19+24+26＝126 H形框中7个数的和等于正中间的数的7倍． 02 新知导入 思考·交流 如图，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？如果改为“H”形框呢？它们有什么共同规律？你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗？ W形框 X形框 03 新知讲解 日历中的规律 在日历中，方框中的9个数之和是最中间数的9倍. 如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a. 任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间数的3倍. 设最中间的数为a，则任意一行或列的相邻三个数的和为3a. 02 新知导入 小亮和小丽在玩一个数字游戏。 小亮：你在心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘 2，然后加 3，再将所得的和乘 5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。 02 新知导入 我的结果是93。 我的结果是27。 你心里想的数是78。 你心里想的数是12。 你知道是怎么 算出来的吗？ 03 新知讲解 假设这个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b. 则这个两位数可表示为(10a+b) (2a+3)×5+b=10a+b+15 所得的新数字比心里想的两位数大15。所以只要将所得结果减去15，就是心里想的两位数。 你知道是怎么 算出来的吗？ 02 新知导入 尝试·交流 你在心里任意想一个数，将这个数减去1后乘 2，再减去 3，然后加上5，将最后的结果告诉我，我就能猜出你心里想的那个数。 设计方案不唯一 用x表示心里想的数 根据流程，得到结果 2(x-1)-3+5=2x 所以得到的结果除以2，就能得到你心里想的那个数。 02 新知导入 尝试·思考 (1) 一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗? 用100a+10b+c表示这个三位数， 100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=9 (11a+b)+(a+b+c) 只要 a+b+c 能被 3 整除， 这个三位数就能被3整除。 02 新知导入 尝试·思考 (2)一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律。请说明理由。 也有这样的规律。只要各数位的数字之和能被3整除，这个四位数就能被3整除。 用1000a+100b+10c+d表示这个四位数， 1000a+100b+10c+d =999a+99b+9c+a+b+c+d 只要 a+b+c+d 能被 3 整除，这个四位数就能被3整除。 =9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 04 课堂练习 B 1.如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为(　　)   A．90 B．91 C．92 D．93 04 课堂练习 D 2.在月历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的月历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是(　　) A．左上角的数字为a＋1 B．左下角的数字为a＋7 C．右下角的数字为a＋8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 04 课堂练习 3.围棋源自中国，围棋中棋子与棋盘体现出古代“天圆地方”的东方哲学．下列棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中黑棋、白棋一共有9个，第②个图形中黑棋、白棋一共有14个，第③个图形中黑棋、白棋一共有19个，…，按此规律排列，则第⑧个图形中黑棋、白棋的总个数为(　　) A．36 B．40 C．44 D．48 C 04 课堂练习 4.观察按一定规律排列的单项式：-a，2a2，-3a3，4a4，-5a5，6a6，…，则第100个单项式是( ) A. -99a99 B.100a100 C.-100a100 D.99a99 B 5. 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成…… 则第n个图案中基础图形的个数为________。 3n+1 04 课堂练习 92－82＝9＋8 6.观察下列算式： ①22－12＝2＋1；②32－22＝3＋2； ③42－32＝4＋3；④52－42＝5＋4； ⑤62－52＝6＋5； …… (1)根据以上规律写出第⑧个算式：________________； (2)计算：102－92＋82－72＋…＋22－12； 【解】－92＋82－72＋…＋22－12 ＝(102－92)＋(82－72)＋…＋(22－12) ＝10＋9＋8＋7＋…＋2＋1＝(10＋1)×5＝55. 04 课堂练习 (3)计算：12－22＋32－42＋52－62＋…＋192－202. 05 课堂小结 基本策略：观察横行、竖列、斜列上各数之间的数量关系 通性通法： 观察 基本策略：用代数式表示数，按算法规律得到结果 通性通法： 发现规律 表示规律 揭示规律 探索与表达规律 日历图中数的规律 数学游戏中的规律解释 猜想 归纳 验证 图形中数的规律 特殊→一般 06 板书设计 3.3探索与表达规律 1.图形中数的规律： 2.日历中数的规律： 3.数学游戏中的规律解释： 【解】12－22＋32－42＋52－62＋…＋192－202 ＝－(202－192＋182－172＋…＋42－32＋22－12) ＝－[(202－192)＋(182－172)＋…＋(42－32)＋(22－12)] ＝－(20＋19＋18＋17＋…＋4＋3＋2＋1) ＝－(20＋1)× ＝－210. $