第1章 三角形的初步认识 单元测试-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第1章 三角形的初步认识 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章（三角形的初步认识）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．如图，，，的大小关系为（　　）    A． B． C． D． 2．如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（    ） A．两定确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 5．如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 10．如下图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．如图，在中，，则的大小是 ． 12．如图，已知，若，则 ． 13．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，连接．若，则的周长为 ． 14．如图三角形中三边的中线交于点G，若，则图中的面积是 ． 15．如图，在中，为边上的一点．且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若的面积为35cm2，则与的面积之和为 cm2． 16．如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 三、解答题：本题共7小题，共66分． 17．如图，，交于点，且，．求证：． 18．已知：在中，．求作：内部的一点P，使得点P到的距离等于到的距离，且点P在边的高线上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．    19．如图所示：线段的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，的周长是18，求的长； (2)若的周长为18，，，求的长． 20．如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为． (1)当点运动秒时的长度为_____（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 21．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点． （1）求证：平分； （2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，求证：． 22．在中，，平分． (1)如图（1），于D，若，求； (2)如图（1），于D，猜想与有什么数量关系？请说明你的理由； (3)如图（2），F为上一点，于D，这时与又有什么数量关系？________；（不用证明） (4)如图（3），F为的延长线上的一点，于D，这时与又有什么数量关系？________．（不用证明） 23．综合与实践： 在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D． (1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________． (2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步认识 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章（三角形的初步认识）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．如图，，，的大小关系为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角的定义及性质解答即可．本题考查了三角形外角的定义及性质，熟练运用三角形外角的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，    故选：． 2．如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 根据图示，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：A． 3．如图，在中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可解答．三角形的高：垂直于底边且经过底边相对的顶点的垂线段是三角形的高． 【详解】解：由图可知，在中，边上的高是， 故选：A． 4．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（    ） A．两定确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释，正确理解三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所用的数学道理是三角形的稳定性， 故选：． 5．如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质的应用， 首先根据三角形外角性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 6．如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ， ， ． 故选：D． 7．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．根据题意求出，根据角平分线的定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和分别平分和， ， ， ． 故选C． 8．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理；由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，即可求的度数． 【详解】解：将沿，翻折，顶点，均落在点处， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，可得可供选择的地址有4个． 【详解】解：作直线所围成的三角形的外角平分线和内角平分线， 如图所示：外角平分线分别相交于点， 且内角平分线相交于点， ∴角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故选：D． 10．如下图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键．根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④． 【详解】解：， ， 平分， ， ，故①正确； ， ， ，且于， ， ， 平分， ， ，故②正确； 无法证明平分，故③错误； ，， ， ， ，故④正确； 所以其中正确的结论为①②④共3个， 故选：C 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．如图，在中，，则的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【详解】解：∵，是的一个外角， ∴； 故答案为：． 12．如图，已知，若，则 ．    【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可得，然后在中利用三角形内角和定理即可求出求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，连接．若，则的周长为 ． 【答案】23 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，根据作图过程可得是线段的垂直平分线，得，进而可得的周长． 【详解】解：根据作图过程可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：23． 14．如图三角形中三边的中线交于点G，若，则图中的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的中线平分面积，根据三角形的中线平分面积即可得出结果． 【详解】解：∵是的中线，， ∴； 故答案为：6． 15．如图，在中，为边上的一点．且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若的面积为35cm2，则与的面积之和为 cm2． 【答案】15 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形中线的性质等知识点，解题的关键是添加适当的辅助线，学会用转化的思想思考问题． 连接，根据三角形中线的性质可得，，则有，同理由可知，通过等量代换及的面积即可求出的面积，最后再由等量代换即可求出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ． 故答案为：15． 16．如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 【答案】54 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 三、解答题：本题共7小题，共66分． 17．如图，，交于点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先由两直线平行，内错角相等得到，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 18．已知：在中，．求作：内部的一点P，使得点P到的距离等于到的距离，且点P在边的高线上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．    【答案】见解析 【分析】 本题考查作图-基本作图，作已知角的平分线及过直线外一点作已知直线的垂线，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作的平分线，过点C作直线的垂线，与射线交于点P即可． 【详解】解∶如下图所示∶ 作的平分线，过点C作直线的垂线，与射线交于点P，点P即为所求作的点．    19．如图所示：线段的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，的周长是18，求的长； (2)若的周长为18，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了垂直平分线的性质， （1）首先根据垂直平分线的性质得到，然后结合题意得到，求出，进而求解即可； （2）根据的周长为18，得到，然后由垂直平分求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵垂直平分 ∴ ∵的周长是18， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵的周长为18， ∴ ∵， ∴，即 ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴． 20．如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为． (1)当点运动秒时的长度为_____（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)； (2)与全等，理由见解析； (3)厘米秒． 【分析】（）先表示出，再根据可得出答案； （）根据时间和速度分别求出两个三角形中的边的长，再根据判定两个三角形全等即可； （）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间，先求得点运动的时间，进而求得点的运动速度； 本题考查了列代数式表示式，全等三角形的判定和性质的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：； （2）解：与全等，理由如下： 当时，厘米， ∴厘米， ∵厘米，点为的中点， ∴厘米， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵与全等，， ∴厘米，厘米， ∴点的运动时间秒， ∴点的运动速度厘米秒． 21．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点． （1）求证：平分； （2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论； （2）作，，在上取一点，使，通过证明和得到，从而根据等角对等边判断即可； （3）延长至，使，连接，通过证明得到，再结合即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K， ∵，分别是和的角平分线， ∴， ∴平分； （2）证明：如图，作，，在上取一点，使． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴； （3）证明：延长至，使，连接． ∵，分别是和的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键． 22．在中，，平分． (1)如图（1），于D，若，求； (2)如图（1），于D，猜想与有什么数量关系？请说明你的理由； (3)如图（2），F为上一点，于D，这时与又有什么数量关系？________；（不用证明） (4)如图（3），F为的延长线上的一点，于D，这时与又有什么数量关系？________．（不用证明） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和为180度，角平分线平分角，是解题的关键： （1）三角形的内角和定理，求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可； （2）同法（1）即可得出结论； （3）过点作，根据平行线的性质结合（2）中的结论，即可得出结果； （4）过点作，根据平行线的性质结合（2）中的结论，即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴； 故答案为：； （4）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴； 故答案为：． 23．综合与实践： 在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D． (1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________． (2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键． （1）根据证明，得，，进而可证； （2）过点B作于点H，根据证明，得，由三线合一得，进而可得； （3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E，可证四边形和四边形都是矩形，从而，．结合，可证；如图4，作于点H，由，，得，，进而可证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：，； （2） 理由如下：过点B作于点H，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E， ∴四边形和四边形都是长方形， ∴，． 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图4，作于点H， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$