小专题4 等腰三角形重点分类讨论-【一课通】2024-2025学年八年级上册数学随堂小练习(青岛版)

.... .............. ># 可撕可裁 小专题4 等腰三角形重点分类讨论 一、等腰三角形边(角)的分类讨论计算 1.已知等腰三角形的一边长3cm,另一边长8cm,则它的周长是 7 A.14cm B.19cm C.14cm或19cm D.无法确定 2.(易错题)已知在△ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两 ( 个部分,则这个等腰三角形的底边长为 ) A.7 B.11 C.7或11 D.7或10 3.若等腰三角形一个外角等于100{,则它的顶角度数为 ( ) A.20d B.80o C.20或80。 D.50“或80d 4. 等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交成70{}角,则等腰三角形底角 的度数为 5.一个等腰三角形的周长为18,其中一边长是4,求出其他两边的长。 二、等腰三角形存在个数的探究方法 6.如图,在5x5的正方形网格中,点A,B均在格点上。要在格点上确定一点C,连接 ( AC和BC,使入ABC是等腰三角形,则网格中满足条件的点C的个数是 ) A.5 B.6 C.7 D.8 第6题图 第7题图 7. 如图,在Rt△ABC中,ACB=90*,CAB=36*,以C为原点,AC所在直线为轴 BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三 角形,符合条件的M点有 A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 8.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方 形ABCD的边上,且其中一边长为3的所有大小不同的等腰三角形。(要求:只要画 出示意图,并在所画等腰三角形中边长为3的边上标注数字3即可,每一种类型画 一张图) {□ ③ ④ ① ② 41 三、等腰三角形存在性的分类讨论 9. 如图,在一张直角三角形纸片ABC中, ACB=90*, CAB=30*,P是边AB上的一 动点,将△ACP沿着CP折叠至△A.CP,当△A.CP与△ABC的重叠部分为等腰三角 形时,乙ACP的度数为 ( ) A.40 B.60o C.40或70。 D.40或60 第9题图 第10题图 第11题图 10. 如图,/A0B=60{*,C是B0延长线上一点,0C=15cm,动点P从点C出发沿射线 CB以2cm/s的速度移动,动点0从点0出发沿射线OA以1cm/s的速度移动,如 果点P,0同时出发,用t(s)表示移动的时间,当;三 s时,△PO0是等腰 三角形。 11.如图,在△ABC中,A=90{},C=35*,点0在△ABC的三边上运动,当△AB0成 为等腰三角形时,顶角度数为 $2.如图,在△ABC中,B=90*},AB=8cm,BC=6cm,AC=10cm,P,0是△ABC边上 的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点0从 点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm.它们同时出发,设出发的时间 为ts。 (1)作出点B到AC的垂线段BE,并求出BE的长度 (2)当点0在边BC上运动时,出发几秒钟,八POB能形成等腰三角形 (3)在(1)的条件下,如果已知CE-18 5 cm,当点0在边CA上运动时,求能使 入BC0成为等腰三角形的运动时间的值。 备用图 424.解：△OCD是等边三角形。理由如下： 所以∠BAD=∠CAD=∠BAE 因为0A=OB,∠A=60°， 因为AE⊥BE,所以∠E=90°。 所以∠A=∠B=60° 因为BE∥AC,所以∠EAC=90°。 又因为AB∥DC, 所以∠BAD=∠CAD=∠BAE=30°。 所以∠A=∠C=60°，∠B=∠D=60°。 所以∠BAC=60°。 所以∠C0D=60°。 因为AB=AC,所以△ABC是等边三角形。 所以△OCD是等边三角形。 8.解：(1)因为△ABC是等边三角形， 【随堂小测】 所以∠A=∠B=∠C 1.D2.B 因为MP⊥AB,MN⊥BC,PN⊥AC. 3.584.40 所以∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°。 5.①②3④⑤【解析】因为△ABC和△DEC都是 所以∠PMB=∠MNC=∠APN。 等边三角形，所以AC=BC,CD=CE,∠ACB= 所以∠NPM=∠PMN=∠MNP。 ∠ECD=60°。因为点B,C,D在一条直线上，所 所以△PMN是等边三角形。 以∠ACE=60°。所以∠ACB+∠ACE=∠ECD+ (2)因为△PMN是等边三角形， ∠ACE,即∠BCE=∠ACD。所以△BCE≌ 所以PM=MN=PN。 △ACD(SAS)。所以AD=BE。故选项①正确： 因为∠ACB=∠ACE=60°，由△BCE≌△ACD得 所以△PBM≌△MCN≌△NAP(ASA). ∠CBE=∠CAD,所以∠BMC=∠ANC,故选项 所以AP=BM=CN,PB=MC=NA。 ②正确：由△BCE≌△ACD得∠CBE=∠CAD, 所以BM+PB=AB=12cm 因为∠ACB是△ACD的外角，所以∠ACB= 因为△ABC是等边三角形， ∠CAD+∠ADC=∠CBE+∠ADC=60°。又因为 所以∠A=∠B=∠C=60°。 ∠APM是△PBD的外角，所以∠APM=∠CBE+ 所以∠PMB=30°。所以2PB=BM ∠ADC=60°。故选项③正确：在△ACN和 所以2PB+PB=12cm △BCM中，∠CAN=∠CBM,AC=BC,∠ACN= 所以PB=4cm。所以CM=4cm。 ∠BCM=60°，所以△ACN≌△BCM(ASA)。所 小专题4等腰三角形重点分类讨论 以AN=BM。故选项④正确：所以CM=CN。所1.B2.C3.C 以△CMN为等腰三角形。因为∠MCN=60°，所4.80°或10°【解析】设三角形的两腰为AB,AC。 以△CMN是等边三角形。故选项⑤正确。 ①当AB的垂直平分线与AC相交时，如图1。 6.解：如图，标注字母 此时，∠A=90°-70°=20°， 因为图中是三个等边三角形， 所以底角∠B=∠C=(180°-20°)÷2=80°。 所以∠1=180°-60°-∠ABC= 120°-∠ABC,∠2=180°-60°- ∠ACB=120°-∠ACB. ∠3=180°-60°-∠BAC=120°-∠BAC. 因为∠ABC+∠ACB+∠BAC=I80°， 所以∠1+∠2+∠3=120°-∠ABC+120° 图1 图2 ∠ACB+120°-∠BAC=360°-180°=180°。 ②当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时， 7.解：因为AB=AC,点D是BC的中点， 如图2。 所以AD⊥BC。所以∠BAD=∠CAD 此时，∠BAC=70°+90°=160°，所以底角∠B 因为AB平分∠DAE,所以∠BAE=∠BAD ∠C=(180°-160°)÷2=10°。 131 5.解：若底边长为4，设腰长为x,则x+x+4=18, 当点E在BC上且CP=CE时，如图2所示。 解得x=7:若腰长为4，设底边长为y,则y+4+ 设∠ACP=x。则∠CPE=∠CEP=∠A,CE+ 4=18,解得y=10。而4+4<10，不能构成三角 ∠A,=2x-90°+30°=2x-60°，在△CPE中， 形，舍去，所以这个等腰三角形的其他两边的长 90°-x+2(2x-60°)=180°，解得x=70°。综上 为7,7。 所述，∠ACP的度数为40°或70°。故选C 6.D 10.5或15【解析】因为∠B0A=60°，所以∠A0C= 7.D【解析】(1)当AB是底边时，作AB的垂直平 120°。当，点P在线段OC上时，若△POQ是等腰 分线分别与AC,x轴负半轴相交，共两个交点， 三角形，只有P0=Q0,如图1所示。因为P0= 都符合条件；(2)当AB是腰时，①以点A为圆 0C-CP=(15-2)cm,0Q=tcm,所以15-21= 心，AB长为半径画圆，分别与y轴正半轴、负半 1。解得1=5。当点P在OB上时，若△POQ是 轴，x轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件； 等腰三角形，因为∠BOA=60°，则△POQ是等 ②以，点B为圆心，AB长为半径画圆，分别与x 边三角形，所以P0=Q0,如图2所示。因为 轴正半轴、负半轴，y轴负半轴相交，共三个交 P0=CP-C0=(21-15)cm,0Q=1cm,所以当 点，都符合条件，因此共有8个符合条件的点。 P0=00时，2t-15=1。解得1=15。 故选D。 8.解：如图所示。 660 0 图1 人60 0 B 图2 11.90°或55或70°【解析】△ABC中，∠A=90°， ④ ⑤ ∠C=35°，所以∠B=180°-90°-35°=55° 9.C【解析】当点E在AB上且PC=CE时，如图 如图，点Q在AC上时，AQ=AB,顶角∠A= 1所示」 90°；当点Q在BC上时，若BA=BQ,顶角∠B 设∠ACP=x,则∠A,CP=x,因为CP=CE,所以 =55°：当点Q在BC上时，若AB=AQ,则∠B= ∠CPE=∠CEP。因为∠CPE=∠ACP+∠A= ∠AQB=55°。所以顶角∠BAQ=180°-55° x+30°，所以x+x+30°+x+30°=180°。所以 55°=70°：当点Q在BC上时，若BQ=AQ,则 x=40°。EP=EC不成立（因为∠CPE=x+30° ∠B=∠BAQ=55°，所以顶角∠BQA=180°- 55°-55°=70°。综上所述，顶角为90°或55 >x)。PE=PC不成立（此时求得x=50°，点E 或70°。 应该在AB延长线上)。 图 图2 132 12.解：(1)如图1所示，BE为所求作线段，BE=【随堂小测】 6×8=4.8(cm)d 1.B2.D3.B4.C 10 56【解析】当分母为x时，分子可以为2，-3， (2)因为∠B=90°， 1-x,当分母为1-x时，分子可以为2，-3，x, 所以△PQB为等腰直角三角形，只能是BP 故共可以组成6个不同的分式。 =BQ。 6.(-1)”.- 由BQ=24cm,BP=(8-1)cm,可得21=8-t, 解得1=号。 7解：(1)由题意，得，40解得：-2。 lx-2≠0， (3)①当CQ=BQ时（如图2），则∠C=∠CBQ, 所以当x为-2时，分式的值为零。 因为∠ABC=90°， (2)当x=-3时，原式二241， 所以∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°。 则当x=-3时，分式的值是-1。 所以∠A=∠ABQ。所以BQ=AQ。 8.解：因为x=2时，分式的值为零， 所以CQ=AQ=5cm 所以2-b=0,b=2。 所以BC+CQ=11cm。 因为x=-2时，分式没有意义， 所以t=11÷2=5.5(s)。 所以2×(-2)+a=0,a=4。 ②当CQ=BC时（如图3），则BC+CQ=12cm, 所以a+b=6 所以1=12÷2=6(s)。 第2课时分式的基本性质 ③当BC=BQ时（如图1），因为BE⊥AC于 【边学边练】 点E, 1.C2.A3.A4.C 【随堂小测】 所以CQ=2CE=2×18 7.2(cm)。 1.B2.A3.A 所以BC+CQ=13.2cm。 4.D【解析】A选项分子、分母都乘不为零的数 所以t=13.2÷2=6.6(s): c,分式的值不变；B选项分子、分母都除以a+b (隐含a+b≠0)，分式的值不变：C选项分子、分 由上可知，当1为5.5s或6s或6.6s时， 母都扩大10倍，分式的值不变：D选项只分子 △BCQ为等腰三角形。 乘-1，分母不变，不符合分式的基本性质。故 选D。 5.(1)6a2(2)x-3 6.解：1)92+1-10(0.2x+1)2红+10 5-0.3x10(5-0.3x) 50-3x 图 图2 1 2+2(2+ (2) 6x+3y 11 6x-4y 7解：由题意可知，因为分。=5，所以原式的分 图3 子分母同除以ab,得3a+2b-36 a-ab-b 第3章分式 3 +2-3 3.1分式的基本性质 6 3×5+2 5-1 第1课时分式有意义和值为零的条件 【边学边练】 17 1.B2.D3.84.A5.-1 49 133