小专题1 全等三角形的基本模型-【一课通】2024-2025学年八年级上册数学随堂小练习(青岛版)

可渐可裁 小专题1全等三角形的基本模型 类型一平移模型 1.如图，已知点A,D,C,F在一条直线上，AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需 要的一个条件是 () D A.∠BCA=∠FB.∠B=∠E C.BC∥EF D.∠A=∠EDF 2.如图，已知点C是AB的中点，CD∥BE,CD=BE,连接AD,CE。△ACD与△CBE全 等吗？请说明理由。 类型二对称模型 3.如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC,延长BA到点E,使得BE=BC,连 接DE。若∠ADE=30°，则∠ADB的度数是 A.60° B.71 C.75 D.76 4.如图，在正方形ABCD中，E,F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF,连接AF,CE 交于点G。AG与CG相等吗？请说明理由。 9 类型三旋转模型 5.如图，在△ABC和△DEC中，已知CB=CE,还需添加两个条件才能使△ABC≌ △DEC,不能添加的一组条件是 A.AC=DC.AB=DE B.∠ACD=∠BCE,∠B=∠E C.AB=DE,∠B=∠E D.AC=DC,∠A=∠D B 第5题图 第6题图 6.如图，在五边形ABCDE中，AB=DE,BC=AE,连接AC,AD,AC=AD,∠ACD=∠ADC =70°。若∠E=95°，则∠BAE的度数为 类型四三垂直模型 7.如图，已知AB=CD且AB⊥CD,连接AD,分别过点C,B作CE⊥AD,BF⊥AD,垂足 分别为E,F。若AD=10,CE=8,BF=6,则EF的长为 () .4 82 C.3 3 8.如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC。过点A作AF⊥AB,垂足为 A,并截取AF=BD,连接DC,DF,CF。 (1)判断△CDF的形状并说明理由： (2)若BC=6,AF=2,求AB的长。 10 …可渐荷截 >8 类型五手拉手模型 9.如图1是两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已 知AB=AC,AE=AD,∠CAB=∠DAE,且点B,C,E在同一条直线上，BC=8cm,CE =4cm,连接DC。现有一只壁虎以2cm/s的速度从C处往D处爬，壁虎爬到D点 所用的时间为 图1 图2 10.如图，已知AB⊥AE,AD⊥AC,∠B=∠E,CB=DE。 (1)△ABC与△AED全等吗？请说明理由： (2)BC与DE垂直吗？请说明理由。 类型六一线三等角模型 11.(核心素养·模型观念)如图，已知B,C,E三点在同一条直线上，AC∥DE,AC= CE,∠ACD=∠B,AB与CD相等吗？请说明理由。 12.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于 点E。由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D。又因为∠ACB=∠AED= 90°，可以推理得到△ABC≌△DAE。进而得到AC= BC= 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 11 (2)①如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于 点F,DE与直线AF交于点G。点G是DE的中点吗？ 2如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,4)，点B为平面内任意 一点。若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请求出点B的坐标。 图1 图2 图3 类型七综合模型 13.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点 A的坐标为(3,4)，则点B的坐标为 14.如图，已知A(3,0),B(0,-1),连接AB,过点B作AB的垂线BC,使BA=BC,连接 AC。 (1)如图1，求点C坐标： (2)如图2，若点P从点A出发沿x轴向左平移，连接BP,作等腰直角三角形BPQ, 连接CQ,当点P在线段OA上时，PA与CQ相等吗？请说明理由： (3)在(2)的条件下若C,P,Q三点共线，直接写出此时∠APB的度数及点P坐标。 图1 图2 128.解：AE与AF相等。理由如下： 8.解：(1)△CDF为等腰直角三角形。理由如下： 如图，连接AC 因为AF⊥AB,所以∠DAF=90°。 在△ACD和△ACB中， AF BD. AD =AB, 在△ADF和△BCD中， ∠DAF=∠CBD. AC=AC, LAD BC, CD CB, 所以△ADF≌△BCD(SAS). 所以△ACD≌△ACB(SSS)。 所以DF=CD,∠ADF=∠BCD 所以∠ACE=∠ACF。 因为∠BCD+∠CDB=90°， 因为BC=DC,E,F分别是DC,BC的中点， 所以∠ADF+∠CDB=90°，即∠CDF=90°。 所以CE=CF。 所以△CDF为等腰直角三角形。 CE CF, (2)因为△ADF≌△BCD 在△ACE和△ACF中， ∠ACE=∠ACF, 所以AD=BC=6,AF=BD=2。 LAC=AC, 所以AB=AD-BD=6-2=4。 所以△ACE兰△ACF(SAS)。所以AE=AF 9.6 小专题1全等三角形的基本模型 10.解：(1)△ABC与△AED全等。理由如下： 1.B 因为AB⊥AE,AD⊥AC. 2.解：△ACD与△CBE全等。理由如下： 所以∠EAB=∠CAD=90°。 因为点C是AB的中点，所以AC=CB。 所以∠EAB+∠DAB=∠CAD+∠DAB, 因为CD∥BE,所以∠ACD=∠CBE。 即∠DAE=∠CAB。 rAC CB, 在△ABC和△AED中， 在△ACD和△CBE中 ∠ACD=∠CBE, t∠CAB=∠DAE, CD=BE, ∠B=∠E, CB=DE, 所以△ACD≌△CBE(SAS)。 3.C 所以△ABC≌△AED(AAS)。 (2)BC与DE垂直。理由如下： 4.解：AG与CG相等。理由如下： 如图，设DE与AB,BC分别交于点F,G。 因为四边形ABCD是正方形， 因为∠B=∠E,∠BFG=∠EFA, 所以∠ADF=∠CDE=90°，AD=CD 所以∠BGF=∠EAF=90°。所以BC⊥DE。 因为AE=CF,所以DE=DF。 在△ADF和△CDE中， AD=CD. ∠ADF=∠CDE, DF =DE. 所以△ADF≌∠CDE(SAS)· 11.解：AB与CD相等。理由如下： 所以∠DAF=∠DCE。 因为AC∥DE, 在△AGE和△CGF中， 所以∠ACD=∠D,∠ACB=∠E。 r∠AGE=∠CGF, 因为∠ACD=∠B,所以∠B=∠D。 ∠GAE=∠GCF, r∠B=∠D. AE=CF, 在△ACB和△CED中. ∠ACB=∠E, 所以△AGE≌△CGF(AAS)。 AC CE, 所以AG=CG。 所以△ACB≌△CED(AAS)。所以AB=CD。 5.D6.125°7.A 12.解：(1)DEAE 121 (2)①如图1，作DM⊥AF于点M,EN⊥AF于 点N。 因为BC⊥AF, 所以∠BFA=∠AMD=90°。 因为∠BAD=90°， 图3 所以∠1+∠2=∠1+∠B 同理可得，点B的坐标为(-1,3)。 =90°。 综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角 所以∠B=∠2。 三角形时，点B的坐标为(3,1)或(-1,3)。 在△ABF与△DAM中， 13.(-1.7) 图1 r∠BFA=∠AMD. 14.解：(1)如图，作CH1y轴于点H, ∠B=∠2. 则∠BCH+∠CBH=90°。 AB DA, 因为AB⊥BC, 所以△ABF≌△DAM(AAS)。所以AF=DM。 所以∠ABO+∠CBH=90°。 同理，AF=EN。所以EN=DM。 所以∠ABO=∠BCH。 因为DM⊥AF,EN⊥AF 在△ABO和△BCH中， 所以∠GMD=∠GNE=90°。 t∠AOB=∠BHC, 在△DMG与△ENG中， ∠ABO=∠BCH, ∠DGM=∠EGN, AB BC, ∠DMG=∠ENG. 所以△ABO≌△BCH(AAS)。 DM EN, 所以BH=OA=3,CH=OB=1 所以△DMG≌△ENG(AAS) 所以OH=OB+BH=4。 所以DG=EG,即点G是DE的中点。 所以点C坐标为(1，-4)。 ②当点B在OA右侧时，如图2，过点A作AM⊥ (2)PA与CQ相等。理由如下： y轴，过点B作BN⊥x轴于点N,AM与BN相 因为∠PBQ=∠ABC=90°， 交于点M。 所以∠PBQ-∠ABQ=∠ABC-∠ABQ, 所以∠M=90°。 即∠PBA=∠QBC。 因为∠OBA=90°， 在△PBA和△QBC中， 所以∠ABM+∠OBN=90° BP=BQ, 因为∠ABM+∠BAM=90°， ∠PBA=∠QBC 所以∠OBN=∠BANM 图2 BA BC. 在△OBN与△BAM中. 所以△PBA≌△QBC(SAS)。 r∠ONB=∠M. 所以PA=CQ ∠OBN=∠BAM. (3)∠APB=135°，P点坐标为(1.0)。 OB=BA, 小专题2全等三角形的考察方向 所以△OBN≌△BAM(AAS). 1.A2.C3.C 所以AM=BN,ON=BM。 4.解：AC与AE相等。理由如下： 设AM=x,则BN=AM=x,所以ON=x+2。 因为∠BAC=∠1+∠DAC, 所以NB+MB=x+x+2=MN=4。 ∠DAE=∠2+∠DAC,∠1=∠2， 所以x=1,x+2=3 所以∠BAC=∠DAE。 所以点B的坐标为(3,1)。 又因为∠2+∠AFE+∠E=180°， 当点B在OA左侧时，如图3。 ∠3+∠DFC+∠C=180°， 122