专题02 燕尾模型-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型2：“燕尾”型 图示 特点 凹四边形ABDC 结论 1. ∠BDC =∠A+∠B+∠C; 2. AB+AC>BD+CD 1. 找模型 遇到凹四边形的角度问题，考虑用“燕尾”型基础模型1 2. 用模型 “燕尾”型通常是把凹四边形的角转换在两个三角形内，根据三角形内外角关系解决角度问题 结论1:∠BDC=∠A+∠B+∠C 证法1：如图①，连接AD并延长， 则∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4, ∴∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4, ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C. 证法2:如图②,延长BD交AC于点E, ∵∠BEC 是△ABE 的外角, ∴∠BEC=∠A+∠B. 又∵∠BDC是△CDE的外角, ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 结论2:AB+AC>BD+CD 证明：如图②，延长BD交AC于点E，则在△ABE 中,AB+AE>BE,即AB+AE>BD+DE,在△CDE 中,DE+CE>CD. ∵AC=AE+CE, ∴AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD. 思考延伸：同学们可尝试连接BC，进行结论的证明.提示：使用三角形内角和定理来证明！ 图示 特点 在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AC,AB上,且AD,BE,CF 相交于同一点 O 结论 1. S△AOB:S△AOC=BD:CD; 2. S△AOB:S△COB=AE:CE; 3. S△BOC:S△AOC=BF:AF 1. 找模型 遇到类似“共边”的两个三角形的面积或线段比值相关问题，考虑用“燕尾”型基础模型2 2.用模型 一般依据三角形面积公式，建立面积与线段之间的关系 结论1:S△AOB:S△AOC=BD:CD 证明:如图,分别过点B,C作BH,CG垂直于AD交于点H,G,在△ABC中,∵ 在△BHD 和△CGD 中,∠BHD=∠CGD=90°,∠BDH=∠CDG, ∴△BHD∽△CGD, 满分技法：燕尾相邻的两个三角形同底不等高，常根据三角形的面积公式 底×高”可推导“同底不等高”的三角形的面积比即为对应高的比 例1 将一副直角三角板按如图所示放置，使两直角顶点重合，则直角为公共角∠1的度数为 ( ) A. 75° B. 105° C. 135° D. 165° 思路点拨：两个三角板斜边相交构成凹四边形，且已知对应角度数，结合三角 形内外角关系即可求解。 例2 如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,AE,BF,CD交于点O,且 贝 的值为 ( ) A. B. C. D. 通过“燕尾”模型基础模型2将线段之比转化为对应面积之比，再由面积之比转化为对应线段之比即可 针对训练 1. 模型构造 如图是一块不规则的纸片，已知∠ABC=∠DEF=80°,则∠A+∠C+∠D+∠F的度数为 ( ) A. 80° B. 160° C. 240° D. 360° 2. 如图,已知点 D,E 分别在△ABC 的边AB,AC 上,将∠A 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 F的位置,已知∠A=50°,∠1=130°,则∠2的度数为 ( ) A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 3. 如图,∠A=45°,∠BDC= 135°,∠ABE = 则∠BEC 的度数是 ( ) A. 30° B. 45° C. 75° D. 90° 4. 如图,在矩形ABCD 中,点 E,F 分别是边AB,BC的中点,连接AF,CE交于点 G,若矩形ABCD的面积为3,则四边形AGCD 的面积为 . 5. 如图,在 中,点D,E分别在BC,AC边上,AD 与 BE 交于点 F,若 CD=3BD,EC=4AE,四边形 CDFE 的面积是 10,则△ABC的面积为 . 6. (分创新题型-阅读理解试题)模型规律定义：在四边形中，仅有一个角大 于180°，但小于360°，这样的四边形叫做凹四边形(如图①).因为凹四边形ABOC 形似燕尾，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律,所以我们把这个模型叫做“燕尾”模型. 模型应用 (1)如图②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数；(用含α的代数式表示) 拓展应用 (2) 如图③,在四边形 ABCD 中,BC=CD, O 是四边形 ABCD 内一点,且OA=OB=OD.求证:四边形OBCD是菱形. 7. 如图，将含 30°角的直角三角板 ABC 的直角∠A放入△DEF的内部,点E,F恰好为AB,AC 的中点,若∠D=45°,∠DFE =56°,则∠DEA 的度数为 ( ) A. 11° B. 15° C. 19° D. 26° 8. 如图,∠ABD,∠ACD的10等分线分别相交于点 G₁,G₂,……,G₉,若∠BDC=125°,∠A=60°,则∠BG₆C的度数为 . 9如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE 与 BD 的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=110°,则∠D 应 (填“调大”或“调小”) 度. 10. 模型介绍定义：在四边形中，仅有一个角大于180°，但小于360°，这样的四边形叫做凹四边形(如图①).因为凹四边形ABOC形似燕尾，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律,所以我们把这个模型叫做“燕尾”模型. 模型应用 (1)如图②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数；(用含α的代数式表示) (2)如图③,若∠BAC 的平分线与∠BOC的平分线交于点D,求证:2∠D=∠C-∠B. 课后练习 1．凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 5．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 2.（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 3.（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 4.（2023·江苏南京·七年级校联考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决． （1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（______） ∴，（等式性质） ∵， ∴， ∴．（______） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题： ①如图①，在凹四边形中，，，求______； ②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______； ④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______； ⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数． 5.（2023春·江苏·七年级专题练习）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；②如图3，平分，平分，若，，则______°；③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型2：“燕尾”型 图示 特点 凹四边形ABDC 结论 1. ∠BDC =∠A+∠B+∠C; 2. AB+AC>BD+CD 1. 找模型 遇到凹四边形的角度问题，考虑用“燕尾”型基础模型1 2. 用模型 “燕尾”型通常是把凹四边形的角转换在两个三角形内，根据三角形内外角关系解决角度问题 结论1:∠BDC=∠A+∠B+∠C 证法1：如图①，连接AD并延长， 则∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4, ∴∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4, ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C. 证法2:如图②,延长BD交AC于点E, ∵∠BEC 是△ABE 的外角, ∴∠BEC=∠A+∠B. 又∵∠BDC是△CDE的外角, ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 结论2:AB+AC>BD+CD 证明：如图②，延长BD交AC于点E，则在△ABE 中,AB+AE>BE,即AB+AE>BD+DE,在△CDE 中,DE+CE>CD. ∵AC=AE+CE, ∴AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD. 思考延伸：同学们可尝试连接BC，进行结论的证明.提示：使用三角形内角和定理来证明！ 图示 特点 在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AC,AB上,且AD,BE,CF 相交于同一点 O 结论 1. S△AOB:S△AOC=BD:CD; 2. S△AOB:S△COB=AE:CE; 3. S△BOC:S△AOC=BF:AF 1. 找模型 遇到类似“共边”的两个三角形的面积或线段比值相关问题，考虑用“燕尾”型基础模型2 2.用模型 一般依据三角形面积公式，建立面积与线段之间的关系 结论1:S△AOB:S△AOC=BD:CD 证明:如图,分别过点B,C作BH,CG垂直于AD交于点H,G,在△ABC中,∵ 在△BHD 和△CGD 中,∠BHD=∠CGD=90°,∠BDH=∠CDG, ∴△BHD∽△CGD, 满分技法：燕尾相邻的两个三角形同底不等高，常根据三角形的面积公式 底×高”可推导“同底不等高”的三角形的面积比即为对应高的比 例1 将一副直角三角板按如图所示放置，使两直角顶点重合，则直角为公共角∠1的度数为 ( ) A. 75° B. 105° C. 135° D. 165° 思路点拨：两个三角板斜边相交构成凹四边形，且已知对应角度数，结合三角 形内外角关系即可求解。 D 【解析】如解图,∵∠1=∠COB=∠CEB+∠B,∠CEB=∠D+∠C.∴ ∠1=∠COB= 例2 如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,AE,BF,CD交于点O,且 贝 的值为 ( ) A. B. C. D. 通过“燕尾”模型基础模型2将线段之比转化为对应面积之比，再由面积之比转化为对应线段之比即可。 B 【解析】根据“燕尾”型结论,S△AOB: 同理可得：S△AOB:S△BOC= 针对训练 1. 模型构造 如图是一块不规则的纸片，已知∠ABC=∠DEF=80°,则∠A+∠C+∠D+∠F的度数为 ( ) A. 80° B. 160° C. 240° D. 360° 1.B 【解析】如解图,连接AD,结合“燕尾”型得∠F +∠DAF+∠ADE = ∠DEF,∠BAD +∠ADC +∠C = ∠ABC,∴ ∠F + ∠DAF +∠ADE +∠BAD + ∠ADC + ∠C = ∠DEF + , 即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=160°. 2. 如图,已知点 D,E 分别在△ABC 的边AB,AC 上,将∠A 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 F的位置,已知∠A=50°,∠1=130°,则∠2的度数为 ( ) A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 2.D 【解析】由折叠的性质得:∠A=∠F=50°(折叠的性质，这一步是解题的关键哦)，∵∠AEF= 180°-∠1 = 180°-130°= 50°,∴∠2 = ∠A +∠F+∠AEF = 50°+ 50°+ 3. 如图,∠A=45°,∠BDC= 135°,∠ABE = 则∠BEC 的度数是 ( ) A. 30° B. 45° C. 75° D. 90° 3. C 【解析】∵ ∠A = 45°,∠BDC = 135°,∠BDC =∠A+∠ABD+∠ACD,∴ ∠ABD+ ∴∠BEC = ∠A + ∠ABE + ∠ACE = 45°+30°=75° 4. 如图,在矩形ABCD 中,点 E,F 分别是边AB,BC的中点,连接AF,CE交于点 G,若矩形ABCD的面积为3,则四边形AGCD 的面积为 . 4. 2 【解析】如解图,连接BG,AC,∵E,F 分别是AB,BC的中点,∴AE:BE=1:1,CF:BF=1:1,∴ S△AGC:S△BGC=AE:BE=1:1,S△AGC: ∴ S四边形AGCD=S矩形ABCD-S四边形AGCB=3-1=2. 5. 如图,在 中,点D,E分别在BC,AC边上,AD 与 BE 交于点 F,若 CD=3BD,EC=4AE,四边形 CDFE 的面积是 10,则△ABC的面积为 . 【解析】如解图，连接CF,∵ CD=3BD,EC=4AE,∴ BD:CD=1:3,AE : EC = 1 :4, CD=1:3,S△ABF : S△BCF = AE: EC = 1:4, 设S△CEF=a,则 设 则S△BDF = 又∵a+b=10,∴a= 6. (分创新题型-阅读理解试题)模型规律定义：在四边形中，仅有一个角大 于180°，但小于360°，这样的四边形叫做凹四边形(如图①).因为凹四边形ABOC 形似燕尾，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律,所以我们把这个模型叫做“燕尾”模型. 模型应用 (1)如图②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数；(用含α的代数式表示) 拓展应用 (2)如图③,在四边形 ABCD 中,BC=CD, O 是四边形 ABCD 内一点,且OA=OB=OD.求证:四边形OBCD是菱形. 6. (1)解:在凹四边形ABOC中,∠A+∠B+∠C=∠BOC=∠DOE=α, 在凹四边形 DOEF 中,∠D+∠E+∠F =∠DOE=α, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α; (2)证明:如解图,连接OC,∵ OA=OB=OD, ∴∠OAB=∠OBA,∠OAD=∠ODA, ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO+∠ADO=2∠BAD. ∵∠BCD=2∠BAD, ∴∠BCD=∠BOD. ∵BC=CD,OA=OB=OD,OC 是公共边, ∴△OBC≌△ODC(SSS), ∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO. ∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO, ∴ 又∵∠BOD=∠BCD, ∴∠BOC=∠BCO, ∴BO=BC. 又∵OB=OD,BC=CD, ∴OB=BC=CD=DO, ∴ 四边形 OBCD 是菱形 7. 如图，将含 30°角的直角三角板 ABC 的直角∠A放入△DEF的内部,点E,F恰好为AB,AC 的中点,若∠D=45°,∠DFE =56°,则∠DEA 的度数为 ( ) A. 11° B. 15° C. 19° D. 26° 7.C 【解析】找模型：是否存在凹四边形：四边形DEAF.抽离模型:如解图,∵ E,F 分别是教辅资料AB,AC 的中点,∴EF 为△ABC 的中位线,EF∥BC(三角形的中位线平行于第三边)，∴∠AFE = ∠C = 30°. ∵ ∠DFE = ∠DFA+∠AFE=56°,∴ ∠DFA =∠DFE--∠AFE =.用模型：根据“燕尾”模型可得:∠A=∠DEA+∠D+∠DFA,∴ ∠DEA= 8. 如图,∠ABD,∠ACD的10等分线分别相交于点 G₁,G₂,……,G₉,若∠BDC=125°,∠A=60°,则∠BG₆C的度数为 . 8. 99° 【解析】∵∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A(“燕尾”模型)，同理可得. 9如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE 与 BD 的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=110°,则∠D 应 (填“调大”或“调小”) 度. 9. 调小,10 【解析】在△ABC中,∠ACB=180°-55°-60°= 65°,∴ ∠ECD = ∠ACB=65°.∵∠DFE=∠D+∠E+∠ECD(“燕尾”模型),∴∠D=∠DFE-(∠E+∠ECD)=110°-(30° 10. 模型介绍定义：在四边形中，仅有一个角大于180°，但小于360°，这样的四边形叫做凹四边形(如图①).因为凹四边形ABOC形似燕尾，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律,所以我们把这个模型叫做“燕尾”模型. 模型应用 (1)如图②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数；(用含α的代数式表示) (2)如图③,若∠BAC 的平分线与∠BOC的平分线交于点D,求证:2∠D=∠C-∠B. 10. (1)解:在凹四边形ABOC中,∠A+∠B+∠C=∠BOC=∠DOE=α, 在凹四边形 DOEF 中,∠D+∠E+∠F =∠DOE=α, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α; (2)证明:由题意可知,OD 平分∠BOC,AD平分∠BAC, ∵在凹四边形ABOD 中,∠BOD=∠B+∠D+∠BAD(“燕尾”模型), ∴∠BOC=2∠B+2∠D+∠BAC. 又∵在凹四边形ABOC 中,∠BOC=∠B+∠C+∠BAC(“燕尾”模型), ∴∠B+∠C+∠BAC=2∠B+2∠D+∠BAC, ∴2∠D=∠C-∠B. 课后练习 1．凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 5．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 1.【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到； （2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． （2），理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； （3），理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2.（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 2.(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）；(2)见解析；(3)70° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，从而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求证；（3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，从而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，可得150°-∠C=2（110°-∠ C），即可求解． 【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°） （2）证明：连接 CD 并延长至 F， ∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B， ∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ； （3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C， ∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°， ∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C， ∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF， ∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠ C），解得：∠C=70°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 3.（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 3.B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴,故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 4.（2023·江苏南京·七年级校联考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决． （1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（______） ∴，（等式性质） ∵， ∴， ∴．（______） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题： ①如图①，在凹四边形中，，，求______； ②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______； ④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______； ⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数． 【答案】（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；④；⑤ 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断； （2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外角，因此延长交于，然后根据外角的性质确定，，即可判断与，，之间的关系； （3）①连接BC，然后根据（1）中结论，代入已知条件即可求解；②连接BC，然后根据（1）中结论，求得的和，进而得到的和，然后根据角平分线求得的和，进而求得，然后利用三角形内角和定理，即可求解； ③连接BC，首先求得，然后根据十等分线和三角形内角和的性质得到，然后得到的和，最后根据（1）中结论即可求解； ④设与的交点为点，首先利用根据外角的性质将用两种形式表示出来，然后得到，然后根据角平分线的性质，移项整理即可判断； ⑤根据（1）问结论，得到的和，然后根据角平分线的性质得到的和，然后利用三角形内角和性质即可求解． 【详解】（1）∵，（三角形内角和180°） ∴，（等式性质） ∵， ∴， ∴．（等量代换） 故答案为：三角形内角和180°；等量代换． （2）如图，延长交于， ， ， 由三角形外角性质可知，，，∴． （3）①如图①所示，连接BC，根据（1）中结论，得， ∴，∴； ②如图②所示，连接BC， 根据（1）中结论，得，∴， ∵与的角平分线交于点，∴，, ∴， ∵，， ∴，∴， ∵，∴； ③如图③所示，连接BC， ， 根据（1）中结论，得， ∵，，∴， ∵与的十等分线交于点，∴，, ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； ④如图④所示，设与的交点为点， ∵平分，平分，∴，， ∵，，∴, ∴, ∴，即； ⑤∵，的角平分线交于点，∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定量，外角的性质，以及辅助线的做法，重点是观察题干中的解题思路，然后注意角平分线的性质，逐渐推到即可求解． 5.（2023春·江苏·七年级专题练习）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；②如图3，平分，平分，若，，则______°；③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数． 5.(1)(2)①40，②90，③70° 【分析】（1）根据题意观察图形连接并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可证明；（2）①由（1）的结论可得，然后把，代入上式即可得到的值；②结合图形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的结论可知，易得答案．③由②方法，进而可得答案． 【详解】（1），理由如下：连接并延长至点F， 由外角定理可得，， ∵，∴， ∵，∴； （2）①由（1）的结论易得：， ∵，，∴，故答案是：40； ②由（1）的结论易得，， ∵，，∴； ∵平分，平分，∴，， ∴； ③由②知，，∵，∴设为， ∵，∴，∴，∴为70°．故答案是：70°． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$