专题01 8字模型-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型1：“8字”型 图示 特点 AC 与BD相交于点 O，连接AB，CD(两条线段相交，含对顶角) 结论 1. ∠A+∠B =∠C+∠D; 2. AB+CD<AC+BD 1. 找模型 两条相交的线段构成含对顶角的两个三角形，简称“有交点，想8字” 2. 用模型 “8字”型解题根据三角形内角和，对顶角性质及三角形三边关系判断角度、线段关系 结论1:∠A+∠B=∠C+∠D 证明:AC与BD相交于点O,连接AB,CD, 在△ABO中,∠A+∠B+∠AOB=180°, 在△CDO中,∠C+∠D+∠COD=180°, ∵∠AOB=∠COD(对顶角相等),∴∠A+∠B=∠C+∠D. 思考延伸 ①结论1 也可根据三角形内外角关系求证； ②结论2结合三角形三边关系求证. 拓展方向：在基础模型的基础上进行图形的演变/叠加 图示 条件 EC 与 BD 相交于点 O,点 A 在 OE上,连接AB,CD,BE AC与BD相交于点 O,连接AB,CD,AE平分∠BAC,DE平分∠BDC,AE 与DE交于点 E 结论 ∠OAB+∠OBA=∠C+∠D=∠E+∠OBE ∠E=(∠B+∠C） 满分技法：角度和相等，是解决角度转化的重要思想.“8字”型虽简单，常在几何综合题中推导角度时用到。 例1 一副三角板按如图所示位置放置，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC与DF交于点 G，则∠BGD的度数为 ( ) A. 105° B. 115° C. 125° D. 135° 思路点拨：要求∠BGD,CG 与 DE 构成“8字”型，根据三角板的角度以及补角的性质即可求解. 例2 如图，A，B，C，D，E是同一平面上的点，F是AB上一点,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DFE的度数是 ( ) A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 思路点拨：“8字”型能得到角度和的关系，在题目未给出具体角度的情况下，考虑将所求角度和转化到同一个多边形中，再利用多边形内角和求解。 针对训练 1. 如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 与 BD交于点 O，则下列说法正确的是 ( ) A. AB+CD<AD+BC B. AB+CD>AD+BC C. AB+CD<AC+BD D. AB+CD>AC+BD 2. 如图,线段AB,CD,EF 两两相交,交点分别为G,H,I,连接AC,BE,DF,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 ( ) A. 180° B. 360° B. 540° D. 720° 3. 如图,AC 与 BD 交于点 E,连接AB,CD,AF 平分∠BAC,DF 平分∠BDC,若 ，则∠F的度数为 ( ) 4. 如图,线段AB,CD,EF 两两相交,交点分别为G,H,I,连接AC,BE,DF,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ( ) A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 5. (模型构造) 如图,A,B,C,D,E是同一平面内的点,F 是 AB 上一点,连接 DF,AE,EF,AB,BC,CD,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DFE的度数为 ( ) A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 6. 把两个含 30°角的直角三角板按如图所示的方式拼接在一起，点N是AB的中点，连接DN交BC 于点 M，则下列说法错误的是 ( ) A. BN+CD<BC+DN B. AC+BD<AN+BC C. ∠BNM-∠CDM=30° D. ∠BNM+∠CDM=90° 7. (模型构造) 如图，五角星的顶点为A，B，C,D,E,连接AC,BD,CE,DA,EB,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 课后练习 一、单选题 1．如图所示，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．如图所示，如果，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内连接，若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　） A．180° B．90° C．270° D．240° 5．如图所示，已知∠1＝60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（　　） A．180° B．360° C．240° D．200° 6．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 二、填空题 7．如图所示，求 度． 8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　 三、解答题 9．（8字模型）阅读材料：如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，求的度数．    10．“字”的性质及应用： (1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由； (2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个； (3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由． 11．如图，已知∠A＝50°，∠D＝40° （1）求∠1度数； （2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 12.如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D． 利用以上结论解决下列问题： （2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　． （3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N． ①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数． ②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型1：“8字”型 图示 特点 AC 与BD相交于点 O，连接AB，CD(两条线段相交，含对顶角) 结论 1. ∠A+∠B =∠C+∠D; 2. AB+CD<AC+BD 1. 找模型 两条相交的线段构成含对顶角的两个三角形，简称“有交点，想8字” 2. 用模型 “8字”型解题根据三角形内角和，对顶角性质及三角形三边关系判断角度、线段关系 结论1:∠A+∠B=∠C+∠D 证明:AC与BD相交于点O,连接AB,CD, 在△ABO中,∠A+∠B+∠AOB=180°, 在△CDO中,∠C+∠D+∠COD=180°, ∵∠AOB=∠COD(对顶角相等),∴∠A+∠B=∠C+∠D. 思考延伸 ①结论1 也可根据三角形内外角关系求证； ②结论2结合三角形三边关系求证. 图示 条件 EC 与 BD 相交于点 O,点 A 在 OE上,连接AB,CD,BE AC与BD相交于点 O,连接AB,CD,AE平分∠BAC,DE平分∠BDC,AE 与DE交于点 E 结论 ∠OAB+∠OBA=∠C+∠D=∠E+∠OBE ∠E=(∠B+∠C） 拓展方向：在基础模型的基础上进行图形的演变/叠加 满分技法：角度和相等，是解决角度转化的重要思想.“8字”型虽简单，常在几何综合题中推导角度时用到。 例1 一副三角板按如图所示位置放置，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC与DF交于点 G，则∠BGD的度数为 ( ) A. 105° B. 115° C. 125° D. 135° 思路点拨：要求∠BGD,CG 与 DE 构成“8字”型，根据三角板的角度以及补角的性质即可求解. A 【解析】∵ ∠DGC +∠D = ∠C +∠DEC,∴∠DGC+45°=90°+30°,∴∠DGC=75°,∴∠BGD = 180°- ∠DGC = 180° -75°=105°. 例2 如图，A，B，C，D，E是同一平面上的点，F是AB上一点,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DFE的度数是 ( ) 180° B. 360° C. 540° D. 720° 思路点拨：“8字”型能得到角度和的关系，在题目未给出具体角度的情况下，考虑将所求角度和转化到同一个多边形中，再利用多边形内角和求解。 B 【解析】如解图,连接AD,设DF 与AE 交于点O,∴∠AOD=∠EOF(对顶角相等),∴ ∠DFE+∠E=∠OAD+∠ODA. 又∵ 在四边形ABCD 中,∠DAB+∠B+∠C+∠ADC=360°(四边形的内角和),∴ ∠OAB+∠B+∠C+∠CDF+∠ODA+∠OAD=360°,即∠OAB+∠B+∠C+∠CDF+∠E+∠DFE=360° 针对训练 1. 如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 与 BD交于点 O，则下列说法正确的是 ( ) A. AB+CD<AD+BC B. AB+CD>AD+BC C. AB+CD<AC+BD D. AB+CD>AC+BD 1. C 【解析】对角线AC 与BD将四边形ABCD分为两组“8字”型,在△AOB 与△DOC 中,AB<AO+BO,CD<OD+OC(三角形的三边关系),∴AB+CD<AC+BD. 2. 如图,线段AB,CD,EF 两两相交,交点分别为G,H,I,连接AC,BE,DF,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 ( ) A. 180° B. 360° C.540° D. 720° 2. B 【解析】∵∠A+∠C=∠IHG+∠IGH,∠B+∠E =∠IHG+∠HIG,∠D+∠F = ∠HIG+∠IGH[“8字”模型],∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F =∠IHG+∠IGH+∠IHG+∠HIG+∠HIG+∠IGH = 2(∠IHG+∠IGH+∠HIG)=2×180°=360° 3. 如图,AC 与 BD 交于点 E,连接AB,CD,AF 平分∠BAC,DF 平分∠BDC,若 ，则∠F的度数为 ( ) 3.C 【解析】找模型：是否存在两条线段相交：线段AC 与BD 相交；是否存在相交的线段构成的一组含对顶角的三角形：△ABE 和△CDE.抽离模型：如解图，用模型：根据“8字”模型可得： 4. 如图,线段AB,CD,EF 两两相交,交点分别为G,H,I,连接AC,BE,DF,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ( ) A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 4.B 【解析】∵∠A+∠C=∠IHG+∠IGH,∠B+∠E = ∠IHG+ ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠IHG+∠IGH+∠IHG+∠HIG+∠HIG+∠IGH=2(∠IHG+∠IGH+∠HIG)=2×180°=360° 5. (模型构造) 如图,A,B,C,D,E是同一平面内的点,F 是 AB 上一点,连接 DF,AE,EF,AB,BC,CD,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DFE的度数为 ( ) A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 5.B 【解析】如解图,连接AD,设 DF 与 AE 交于点 O,∴∠AOD=∠EOF(对顶角相等),∴∠DFE+∠E=∠OAD+∠ODA.又∵在四边形ABCD中,∠DAB+∠B+∠C+∠ADC=360°(四边形的内角和),∴∠OAB+∠B+∠C+∠CDF+∠ODA+∠OAD = 360°,即∠OAB+∠B+∠C+∠CDF+∠E+∠DFE=360° 6. 把两个含 30°角的直角三角板按如图所示的方式拼接在一起，点N是AB的中点，连接DN交BC 于点 M，则下列说法错误的是 ( ) A. BN+CD<BC+DN B. AC+BD<AN+BC C. ∠BNM-∠CDM=30° D. ∠BNM+∠CDM=90° 6. D 【解析】在△CDM 和△BNM中,∵ BN<BM+MN,CD<CM+DM(三∵ 点 N 是 AB的中点， 在Rt△BCD中,∵BC>BD,∴AC+BD<AN+BC,故 B 选项正确;∵ ∠BNM+∠MBN=∠CDM+∠DCM(“8字”模型),∠DCM=60°,∠MBN ∴∠BNM-∠CDM=30°,故 C 选项正确;设AC=x,则 ∴∠BNM≠ ∠BDM. ∵ ∠CDM +∠BDM =90°,∴ ∠CDM +∠BNM ≠ 90°. 故 D 选项错误 7. (模型构造) 如图，五角星的顶点为A，B，C,D,E,连接AC,BD,CE,DA,EB,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 7. 180° 【解析】如解图,连接CD,设BD 与 CE交于点O,根据“8字”模型可得:∠B+∠E=∠OCD+∠ODC.在△ACD 中,∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°(三角形内角和),∴ ∠A+∠ACE + ∠OCD + ∠ODC + ∠ADB = ∠A +∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°,即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E 的度数为180° 课后练习 一、单选题 1．如图所示，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 1．C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，连接，根据四边形的内角和等于，可得，根据“8字形”的关系可得：，然后即可得解． 【详解】解：如图，连接，    则， 根据“8字形”数量关系，， 所以． 故选：C． 2．如图所示，如果，则（   ） A． B． C． D． 2．B 【分析】本题考查三角形的外角的性质、四边形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题．连接，由三角形内角和外角的关系可知，由四边形内角和是，即可求，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴； 故选：B． 3．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内连接，若，则（    ） A． B． C． D． 3．A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，多边形的内角和，连接，根据三角形的内角和为180度，四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：连接， 则：，， ∴； 故选A． 4．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　） A．180° B．90° C．270° D．240° 4. A 【分析】连接CD，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，再由三角形的内角和定理，即可得出五角星的五个角之和． 【解析】解：连接CD，设BD与CE交于点O， 由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC， 在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°， 即五角星的五个内角之和为180°． 故选：A． 5．如图所示，已知∠1＝60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（　　） A．180° B．360° C．240° D．200° 5.C 【分析】根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”可知∠B+∠D+∠C+∠E＝180°﹣60°＝120°，根据三角形内角和可知∠A+∠F＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝120°+120°＝240°． 【解析】解：∵∠3＝∠B+∠D，∠2＝∠C+∠E，∠2+∠3＝180°﹣60°＝120°， ∴∠B+∠D+∠C+∠E＝180°﹣60°＝120°， ∵∠A+∠F＝120°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝120°+120°＝240°． 故选：C． 【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件． 6．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 6.B 【分析】根据三角形内角和定理，得∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．根据角平分线的定义，得到∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE，进而推断出∠A+∠C＝2∠P，从而解决此题． 【解析】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°， ∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC． 又∵∠AGD＝∠BGC， ∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC． ∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG． 同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE． ∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE． ∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E， ∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE． ∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）． ∴∠A+∠C＝2∠P． 又∵∠A＝45°，∠P＝40°， ∴∠C＝35°． 故选：B． 二、填空题 7．如图所示，求 度． 7．540 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、五边形内角和等知识点，将转化为是解题的关键． 把转化成，然后根据五边形的内角和公式计算求解即可． 【详解】解：如图:连接 由题意知，， ∴ ， ∵是五边形的内角和， ∴， 故答案为：540． 8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　360°　 8.360° 【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【解析】解：如图， ∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， 故答案为：360°． 【点评】此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 三、解答题 9．（8字模型）阅读材料：如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，求的度数．    9．97° 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据“对顶三角形”的性质，得出，，则得到，即可求解． 【详解】解：如题图2，和的平分线和相交于点， ，， ，， 得：， 即， ，， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为． 10．“字”的性质及应用： (1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由； (2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个； (3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由． 10．(1)理由见解析 (2)见解析 (3)理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答； （2）根据题中给出的“字”的概念即可解答； （3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ． （2）解：图中有个“字”分别是：、、、、． （3）解：平分平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、对顶角相等等知识点，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 11．如图，已知∠A＝50°，∠D＝40° （1）求∠1度数； （2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 11.（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∠1＝∠A+∠D＝90°； （2）∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 12.如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D． 利用以上结论解决下列问题： （2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　． （3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N． ①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数． ②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 12.【解答】解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2所示， ∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D， ∴∠A+∠E+∠D＝∠3， ∵∠2＝∠3+∠F，∠1＝130°， ∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°， ∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°， ∵∠B+∠C＝∠1＝130°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°． 故答案为：260°． （3）①以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC， ∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP， ∴2∠P＝∠B+∠C， ∵∠B＝100°，∠C＝120°， ∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°； ②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是： ∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB， ∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB， 以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB）， ∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）． ∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B， ∴4∠P＝∠B+3∠C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$