第1章 1.3 第1课时 交集与并集(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 情境导入 课程标准 某班有学生30人,他们的学号分别是1,2,3,…,30,现有a,b两本新书,已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。用本节将要学习的知识探讨至少读过一本书或同时读了a,b两本书各有哪些同学。 理解两个集合之间的并集和交集的含义,能求两个集合的并集与交集。 新知自主学习 一、交集 (1)文字语言:由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集。 (2)符号语言:A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 (3)图形语言:如图所示(阴影部分)。 二、并集 (1)文字语言:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集。 (2)符号语言:A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 (3)图形语言:如图所示(阴影部分)。 三、交集与并集的运算性质 (1)交集的性质 ①A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A。 ②A∩B⊆A,A∩B⊆B,(A∩B)⊆(A∪B)。 (2)并集的性质 ①A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A。 ②A⊆A∪B,B⊆A∪B。 ③A⊆B⇔A∪B=B。 　 微思考 1.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和? 提示:不一定等于。A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和。 2.当集合A与B没有公共元素时,能不能说集合A与B没有交集?若不能,又该如何表达? 提示:不能。当集合A与B没有公共元素时,集合A与B的交集为⌀,即A∩B=⌀。 课堂合作探究 类型一　交集的概念及运算 　　【例1】　(1)若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{2}　　B.{3}　　C.{-3,2}　　D.{-2,3} 解析　易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},图中阴影部分表示的集合为A∩B={2}。故选A。 答案　A (2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=(　　) A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} 解析　在数轴上表示出集合A与B,如图所示。 则由交集的定义知,A∩B={x|0≤x≤2}。故选A。 答案　A 　　求集合A∩B的常见类型 (1)若A,B的元素是方程的根,则应先解方程求出方程的根后,再求两集合的交集。 (2)若A,B的元素是有序数对,则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,交集是点集。 (3)若A,B是无限数集,可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示。 　　【训练1】　(1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为(　　) A.5　　　　B.4 C.3　　　　D.2 解析　分别令3n+2=6,8,10,12,14,只有3n+2=8,3n+2=14有自然数解,故A∩B={8,14}。故选D。 答案　D (2)已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},则M∩N=(　　) A.x=3,y=-1 B.(3,-1) C.{3,-1} D.{(3,-1)} 解析　由故M∩N={(3,-1)}。 答案　D 类型二　并集的概念及运算 　　【例2】　(1)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=(　　) A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,3,4} 解析　由定义知A∪B={1,2,3,4}。 答案　A (2)已知集合P=(-∞,3),Q=[-1,4],那么P∪Q=(　　) A.[-1,3) B.[-1,4] C.(-∞,4] D.[-1,+∞) 解析　在数轴上表示两个集合,如图,可得P∪Q=(-∞,4]。 答案　C 　　求集合并集的2种基本方法 (1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解。 (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解。 　　【训练2】　(1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=(　　) A.{x|-1<x<1} B.{x|1<x<2} C.{x|x>-1} D.{x|x>1} 解析　由题意得A∪B={x|x>-1}。故选C。 答案　C (2)已知集合A={0,2,4},B={0,1,2,3,5},则A∪B=　　　　。  解析　A∪B={0,2,4}∪{0,1,2,3,5}={0,1,2,3,4,5}。 答案　{0,1,2,3,4,5} 类型三　交集、并集的运算性质及应用 　　【例3】　已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},若A∪B=B,求实数a的取值范围。 解　A∪B=B⇔A⊆B。当2a>a+3,即a>3时,A=⌀,满足A⊆B。当2a=a+3,即a=3时,A={6},满足A⊆B。当2a<a+3,即a<3时,要使A⊆B,需解得a<-4或<a<3。综上,a的取值范围是{a|a>3}∪{a|a=3}∪=。 　　解此类题,首先要准确翻译,诸如“A∪B=B”之类的条件。在翻译成子集关系后,不要忘了空集是任何集合的子集。 　　【训练3】　(1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠⌀,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-1<a≤2} B.{a|a>2} C.{a|a≥-1} D.{a|a>-1} 解析　因为A∩B≠⌀,所以集合A,B有公共元素,在数轴上表示出两个集合,如图所示,易知a>-1。 答案　D (2)已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是　　　　。  解析　因为A∪B=R,画出数轴(图略)可知,表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边,所以a≤1。 答案　{a|a≤1} 随堂达标检测 　 1.设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=(　　) A.{2} B.{2,3} C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4} 解析　由题可得A∩C={1,2},所以(A∩C)∪B={1,2,3,4}。故选D。 答案　D 2.若集合M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则M∩N=(　　) A.{0} B.{-1,0} C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2} 解析　N={-1,0,1,2},M={x∈R|-3<x<1},则M∩N={-1,0}。 答案　B 3.已知集合M={-1,0},则满足M∪N={-1,0,1}的集合N的个数是(　　) A.2　　　　B.3 C.4　　　　D.8 解析　由M∪N={-1,0,1},得到集合M⊆(M∪N),且集合N⊆(M∪N),又M={0,-1},所以元素1∈N,则集合N可以为{1}或{0,1}或{-1,1}或{0,-1,1},共4个。故选C。 答案　C 4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著。某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 解析　根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用Venn图表示如图所示,所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7。 答案　C 集合新定义问题的解题思路 　　(1)紧扣“新”定义:分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程中,这是解决新定义型集合问题的关键所在。 (2)把握“新”性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质。 (3)遵守“新”法则:准确把握新定义的运算法则,将其转化为集合的并集、交集的运算即可。 　　【典例】　设M,P是两个非空集合,规定M-P={x|x∈M,且x∉P},根据这一规定,M-(M-P)等于(　　) A.M　　　B.P　　　C.M∪P　　　D.M∩P 　　[解析]　当M∩P≠⌀时,由图可知M-P为图中的阴影部分,则M-(M-P)显然是M∩P;当M∩P=⌀时,M-P=M,此时M-(M-P)=M-M={x|x∈M,且x∉M}=⌀=M∩P。故选D。 　　[答案]　D 　　题目给出了两个集合的一种运算“M-P”,其运算法则是:M-P是由所有属于M且不属于P的元素组成的集合,弄清法则便可以进行运算,特别是借助Venn图,使问题简捷明了。 　　【训练】　设集合A={-1,0,1},集合B={-1,1,2,3},定义A#B=,则A#B中元素的个数是(　　) A.5　　　B.7 C.10　　　D.15 解析　因为x∈A,所以x可取-1,0,1;因为y∈B,所以y可取-1,1,2,3。则z=的结果如下表所示: 　 y x　 -1 1 2 3 -1 1 -1 - - 0 0 0 0 0 1 -1 1 故A#B中的元素有-1,-,-,0,,,1,共7个。 答案　B 学科网（北京）股份有限公司 $$