第1章 1.1 第1课时 集合的概念(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第一章　预备知识 §1　集合 1.1　集合的概念与表示 第1课时　集合的概念 情境导入 课程标准 　　在生活与学习中,为了方便,我们要经常对事物进行分类。例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的;三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。学习了集合、元素等概念,我们就会对事物的分类有了更加清晰的认识。 1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系。 2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合。 新知自主学习 一、元素与集合的概念 (1)一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示。集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示。 (2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性。 二、元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A a∉A a不属于集合A 三、常用数集及表示符号 名称 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 正实 数集 记法 N N+或N* Z Q R R+ 微提醒 1.集合中的元素,必须具备确定性、互异性、无序性。反过来,一组对象若不具备这三个特性,则这组对象也就不能构成集合。 2.对任何元素a与集合A,a∈A与a∉A这两种情况有且仅有一种成立。符号“∈”“∉”仅表示元素与集合之间的关系,不能用来表示集合与集合之间的关系。 微思考 1.某班所有的“帅哥”能否构成一个集合?某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合? 提示:某班所有的“帅哥”标准不确定,所以不能构成集合;高于175厘米的男生标准是确定的,所以能构成集合。 2.某同学说“方程x2+2x+1=0的解的集合中有两个元素”,你认为这种说法对吗?为什么? 提示:不对。虽然方程x2+2x+1=0有两个根,但这两个根相等,根据集合中元素的互异性知,此集合中只有一个元素。 课堂合作探究 　 类型一　集合的概念 　　【例1】　(多选题)下列每组对象,能构成集合的是(　　) A.中国各地的美丽乡村 B.截至2024年1月,获得国家最高科学技术奖的科学工作者 C.大于3小于10的所有整数 D.方程x2-2 024x-2 025=0的所有实数根 解析　A中“美丽”标准不明确,不符合确定性,B,C,D中的元素标准明确,均可构成集合。故选BCD。 答案　BCD 　　一组对象能否构成集合的判断方法 判断指定的一组对象能否构成集合,关键是看这组对象是否满足集合中元素的“确定性”,即能否找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素。 　　【训练1】　(多选题)下列所给对象能构成集合的是(　　) A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点 B.高中数学必修第一册课本上的所有难题 C.著名的艺术大师 D.某校高一年级的16岁以下的学生 解析　A,D能构成集合,二者有确定的判断标准。A中元素是“到原点的距离等于1的点”,D中元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”。B,C项的对象不能构成集合,因为“难题”与“著名”标准不明确。故选AD。 答案　AD 类型二　元素与集合的关系 　　【例2】　(1)(多选题)集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系正确的是(　　) A.∈M B.0∈M C.1∈M D.-∈M 解析　 >1,故A错误;-2<0<1,故B正确;1∉M,故C错误;-2<-<1,故D正确。故选BD。 答案　BD (2)已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R,若2∈A,则实数a的取值范围为　　　　　。  解析　因为2∈A,所以2×2+a>0,即a>-4。 答案　a>-4 　　判断元素与集合的关系的两种方法 (1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可,此时应明确集合是由哪些元素构成的。 (2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应明确已知集合中的元素具有什么特征。 　　【训练2】　(1)给出下列关系式:∈R;0.3∈Q;∈N;-5∈Z。其中正确的个数是(　　) A.1　　　 B.2 C.3　　　 D.4 解析　由各个数集的含义可知,∈R,0.3∈Q,-5∈Z正确,故有3个关系式正确。故选C。 答案　C (2)若集合A是由所有形如3a+b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2是不是集合A中的元素? 解　是。因为-6+2=3×(-2)+×2,此时a=-2∈Z,b=2∈Z,所以-6+2是集合A中的元素。 类型三　集合中元素性质的应用 　　【例3】　已知集合A中有m-1,3m,m2-1三个元素,且3∈A,则实数m=　　　　。  解析　当m-1=3时,m=4,此时3m=12,m2-1=15,故m=4符合题意;当3m=3时,m=1,此时m-1=m2-1=0,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当m2-1=3时,m=±2,经检验m=±2符合题意。综上可知,m=4或±2。 答案　4或±2 　　求得参数的值后,要将参数值代回原集合进行检验,判断其是否满足集合中元素的互异性,否则易造成错解。 　　【训练3】　(1)已知集合A中有0,m,m2-3m+2三个元素,且2∈A,则实数m为(　　) A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可 解析　由2∈A可知,若m=2,则m2-3m+2=0,这与m2-3m+2≠0相矛盾;若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,当m=0时,与m≠0相矛盾,当m=3时,此时集合A中含有3个元素0,2,3。故选B。 答案　B (2)设集合A中有两个元素x,y,B中有两个元素0,x2,若A,B相等,则实数x的值为　　　　,y的值为　　　　。  解析　因为集合A,B相等,所以x=0或y=0。①当x=0时,x2=0,则B中有两个元素0,不满足集合中元素的互异性,故舍去;②当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1,由①知x=0应舍去,故x=1。综上可知,x=1,y=0。 答案　1　0 随堂达标检测 　 1.(多选题)以下元素的全体能构成集合的是(　　) A.中国古代四大发明 B.周长为10 cm的三角形 C.方程x2+2x+1=0的实数根 D.地球上的小河流 解析　在A中,中国古代四大发明具有确定性,能构成集合;在B中周长为10 cm的三角形具有确定性,能构成集合;在C中,方程x2+2x+1=0的实数根为-1,能构成集合;在D中,地球上的小河流不确定,因此不能构成集合。故选ABC。 答案　ABC 2.(多选题)由不超过5的实数组成集合A,若a=+,则(　　) A.a∈A 　 B.a2∈A C.∈A D.a+1∈A 解析　因为a=+<+=4<5,所以a∈A。因为a+1<++1=5,所以a+1∈A。因为a2=()2+2×+()2=5+2>5,所以a2∉A。因为===-<5,所以∈A。故选ACD。 答案　ACD 3.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是(　　) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 解析　A中元素a,b,c,d各不相等,所以四边形只可能是梯形。故选A。 答案　A 4.集合P中含有两个元素1和4,集合Q中含有两个元素1和a2,若P=Q,则a=　　　　　。  解析　由题意得a2=4,a=±2。 答案　±2 学科网（北京）股份有限公司 $$