2.1 第1课时 不等关系与不等式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 情境导入 课程标准 　　 ①某城市的高楼有高有矮,有的高度相同;②任意两个实数之间有三种关系:a>b,a=b,a<b;③同号两数的积为正值……类似这样的问题,反映在数量关系上,就是相等与不等. 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2.初步学会作差法比较两个实数的大小. 知识点一　相等关系与不等关系 [探究1]　在日常生活中,我们经常看到下列标志: (1)你知道各图中的标志有何作用吗?其含义是什么? 提示:a.最低限速:限制行驶时速v不得低于50公里;b.限制质量:装载总质量G不得超过10 t;c.限制高度:装载高度h不得超过3.5 m;d.限制宽度:装载宽度a不得超过3 m. (2)你能用一个数学式子表示上述关系吗?如何表示? 提示:a.v≥50;b.G≤10;c.h≤3.5;d.a≤3. 【知识梳理】 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式,以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 【例1】　(1)下列说法正确的是(C) A.某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B.小明的身高x cm,小华的身高y cm,则小明比小华矮表示为“x>y” C.某变量x至少是a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≥a” 解析　某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x≤2 000”,A错误;小明的身高x cm,小华的身高y cm,则小明比小华矮表示为“x<y”,B错误;某变量x至少是a可表示为“x≥a”,C正确;某变量y不超过a可表示为“y≤a”,D错误.故选C. (2)某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为  .  解析　由已知得,不等式表示为 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意,明确表示不等式关系的关键词语:至多、至少、大于等. (2)适当的设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式.此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐含不等关系,如由变量的实际意义限制的范围. 【训练1】　某公司准备对一项目进行投资,提出两个投资方案:方案A为一次性投资300万;方案B为第一年投资80万,以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入”的是(D) A.80+20n≥300 B.80+20n≤300 C.80+20(n-1)≤300 D.80+20(n-1)≥300 解析　因为经过n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入,方案A为一次性投资300万,方案B为第一年投资80万,以后每年投资20万,所以80+20(n-1)≥300.故选D. 知识点二　实数(式)的比较大小 [探究2]　观察教材P39图2.1-4(如图①),阅读有关内容. ① 你能用类似的方法,在图②中找出一些相等关系和不等关系吗? ② 提示:(a+b)2-(a-b)2=4ab,(a+b)2≥4ab等. 【知识梳理】 基本事实: a>b⇔a-b>0 a=b⇔a-b=0 a<b⇔a-b<0 【例2】　比较下列各式的大小: (1)当x≤1时,比较3x3与3x2-x+1的大小. (2)当x,y,z∈R时,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小. 解　(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因为x≤1,所以x-1≤0,而3x2+1>0.所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1. (2)因为5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2. 　　1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法:(1)步骤:作差→变形→定号→结论.(2)变形方法:①因式分解;②配方;③通分;④分母或分子有理化;⑤分类讨论. 2.如果两个实数同号,也可采用作商法来比较大小,即作商后看商是大于1,等于1,还是小于1. 【训练2】　比较与的大小,其中a>b>0. 解　解法一(作差法):-== =.因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0.所以>0,所以>. 解法二(作商法):因为a>b>0,所以>0,>0,2ab>0,所以===1+>1,所以>. 知识点三　重要不等式 【知识梳理】 一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 【例3】　已知a>0,b>0,证明:a3+b3≥ab2+a2b.证明　a3+b3-(ab2+a2b)=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+b2).因为a>0,b>0,且a2+b2≥2ab,所以a+b>0,a2+b2-2ab≥0,所以a3+b3-(ab2+a2b)≥0,故a3+b3≥ab2+a2b. 　　1.比较两数的大小或证明不等式,最基本的方法是作差比较法,其关键是作差变形,判断差的符号. 2.a2+b2≥2ab对于任意实数a,b均成立,当且仅当a=b时,取“=”. 【训练3】　已知a>0,求证:a+≥2.证明　证法一:利用a2+b2≥2ab.因为a>0,所以a+=()2+≥2·=2.当且仅当a=1时,等号成立. 证法二:因为a+-2=()2+-2=≥0,所以a+≥2. 知识点四　不等式的实际应用 【例4】　某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠. 解　设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+x·(n-1)=x+xn,y2=nx.因为y1-y2=x+xn-nx=x-nx=x,当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠. 　　解决决策优化型应用题,首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个,然后再用作差法比较它们的大小即可. 【训练4】　古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(B) A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 解析　 如图所示,依题意可知=,=,①由腿长为105 cm得,CD>105,AC=CD>64.89,AD=AC+CD>64.89+105=169.89,所以AD>169.89.②由头顶至脖子下端的长度为26 cm,得AB<26,BC=<42.07,AC=AB+BC<68.07,CD=<110.15,AD=AC+CD<68.07+110.15=178.22,所以AD<178.22.综上,169.89<AD<178.22.故选B. 当|堂|检|测 1.(多选题)下列关于不等关系的说法正确的是(ACD) A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h(米)满足h≤4.5 B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0 C.不等式x≥2的含义是指x不小于2 D.若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确 解析　因为“限高4.5 米”即为“高度不超过4.5米”,不超过用“≤”表示,故选项A正确;因为“非负数”即为“不是负数”,所以a-b≥0,故选项B错误;因为不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2,故选项C正确;因为不等式a≤b表示a<b或a=b,故若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b一定正确,故选项D正确.故选ACD. 2.已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是(C) A.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的关系随c而定 解析　由题设,易知x,y>0,又==<1,所以x<y.故选C. 3.已知a,b∈R,若ab=1,则a2+b2的最小值是 2 ,当且仅当a=b= ±1 时取得最小值.  解析　根据a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故a2+b2≥2ab=2,当且仅当a-b=0即a=b=±1时等号成立. 4.若实数a>b,则a2-ab > ba-b2(填“>”或“<”).  解析　因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又a>b,所以(a-b)2>0,即a2-ab>ba-b2. 学科网（北京）股份有限公司 $$