1.1 第2课时 集合的表示(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　集合的表示 情境导入 课程标准 　　上节课我们学习了集合的概念,还有一些特殊的集合,比如非负整数集、 正整数集等,我们发现可以用自然语言描述一个集合,而语言正是我们之间相互联系的一种方式,同样的祝福又有着不同的表示方式,例如,我们用中文说“祝你生日快乐”,英文为“happy birthday to you”等等. 1.掌握集合的表示方法——列举法和描述法,培养数学抽象素养. 2.能进行自然语言与集合语言间的相互转换. 知识点一　用列举法表示集合 [探究1]　观察下面两个集合: ①中国的“五岳”组成的集合M; ②设集合N是小于7的正整数构成的集合. (1)上述问题中的集合M,N中的元素能一一列举出来吗? 提示:能.集合M中的元素为:泰山、华山、衡山、恒山、嵩山;集合N中的元素为:1,2,3,4,5,6. (2)上述集合M与N除了用自然语言描述外,还可以用什么方式表示呢?如何表示? 提示:列举法.M={泰山,华山,衡山,恒山,嵩山},N={1,2,3,4,5,6}. 【知识梳理】 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法. 【例1】　用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有正整数组成的集合; (2)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合; (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合. 解　(1)设小于10的所有正整数组成的集合为A,那么A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x2+x=0的所有实数根组成的集合为B,那么B={-1,0}. (3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}. 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素. (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次. (3)用花括号括起来. 提醒:二元方程组解集,函数图象上的点构成的集合都是点的集合,一定要写成实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开.如{(2,3),(5,-1)}. 【训练1】　(多选题)下面四个说法正确的是(AB) A.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7} B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2} C.方程x2-2x+1=0的解集是{1,1} D.0与{0}表示同一个集合 解析　10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7},故A说法正确;由集合中元素的无序性知{1,2,3}和{3,1,2}相等,且都可以表示由1,2,3组成的集合,故B说法正确;方程x2-2x+1=0的解集应为{1},故C说法错误;由集合的表示方法知“0”不是集合,故D说法错误.故选AB. 知识点二　用描述法表示集合 [探究2]　你能表示图中阴影部分的点(含边界)组成的集合吗? 提示:图中阴影部分的点(含边界)不能一一列出,所以组成的集合可表示为{(x,y)|-1≤x≤,-≤y≤1,xy≥0}. 【知识梳理】 (1)设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}. (2)具体步骤: ①在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围. ②画一条竖线. ③在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 【例2】　用描述法表示下列集合: (1)不等式3x-8≥7-2x的解集; (2); (3)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合. 解　(1)由3x-8≥7-2x,可得x≥3,所以不等式3x-8≥7-2x的解集为{x|x≥3}. (2). (3)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合,可表示为{(x,y)|y=x2+2x-10}. 描述法表示集合的步骤 (1)确定集合中元素的特征. (2)给出其满足的性质. (3)根据描述法的形式写出其满足的集合. 【训练2】　(1)用描述法表示下列集合: ①; ②被5除余1的正整数组成的集合; ③坐标平面内坐标轴上的点集. 解　①集合用描述法表示为. ②根据被除数=商×除数+余数,故此集合可表示为{x|x=5n+1,n∈N}. ③注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0,故可表示为{(x,y)|xy=0,x∈R,y∈R}. (2)方程组的解集用描述法怎样表示? 解　{(x,y)|x-y=2,2x+y=1}或{(x,y)|x=1,y=-1}. 知识点三　集合表示方法的应用 【例3】　若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A. 解　当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2}.当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}. 【变式1】　本例中,若集合A中含有2个元素,则实数k的取值集合为 {k|k<1,且k≠0} .  解析　由题意得解得k<1,且k≠0.所以实数k的取值集合为{k|k<1,且k≠0}. 【变式2】　本例中,若集合A中至多有一个元素,则实数k的取值集合为 {k|k=0,或k≥1} .  解析　①当集合A中含有1个元素时,由本例知,k=0或k=1.②当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,即解得k>1.综上,实数k的取值集合为{k|k=0,或k≥1}. 根据集合中元素的性质求参数问题的解题策略 (1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键. (2)对于其中的参数问题,要注意分类讨论,不重复不遗漏. 【训练3】　(1)已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求实数a的取值集合. (2)含有三个实数的集合A={a2,,a},若0∈A且1∈A,求a2 024+b2 024的值. 解　(1)因为1∈A,所以①若a+2=1,解得a=-1,此时集合为{1,0,1},元素重复,所以不成立,即a≠-1.②若(a+1)2=1,解得a=0或a=-2,当a=0时,集合为{2,1,3},满足条件,即a=0成立.当a=-2时,集合为{0,1,1},元素重复,所以不成立,即a≠-2.③若a2+3a+3=1,解得a=-1或a=-2,由①②知都不成立.所以满足条件的实数a的取值集合为{0}. (2)由0∈A,可知a≠0,故a2≠0,所以=0,解得b=0,由1∈A,可得a2=1或a=1,当a=1时,a2=1,与集合中元素的互异性矛盾,所以a2=1且a≠1,所以a=-1,故a=-1,b=0,所以a2 024+b2 024=1. 当|堂|检|测 1.(多选题)已知集合A={x∈N|x<6},则下列关系式成立的是(ABC) A.0∈A B.1.5∉A C.-1∉A D.6∈A 解析　由题意知A={0,1,2,3,4,5}.故选ABC. 2.对集合用描述法来表示,其中正确的一个是(D) A. B. C. D. 解析　A,B中x可以表示负数,C中没有元素.故选D. 3.一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的集合是(D) A.{1,-2} B.{x=1,y=-2} C.{(-2,1)} D.{(1,-2)} 解析　由所以两函数图象的交点组成的集合是{(1,-2)}.故选D. 4.(开放题)集合{-1,1}用描述法可以表示为 {x||x|=1}(答案不唯一) .  解析　开放题,找出集合的一个特征性质即可. 课外阅读　集合的新定义问题 【典例】　对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n,当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn,在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=12,a∈N*,b∈N*}中的元素有　　　　个.  【解析】　若a,b同奇偶,有12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点(6,6),这时有2×5+1=11个;若a,b一奇一偶,有12=1×12=3×4,每种可以交换位置,这时有2×2=4个.所以集合M中的元素共有11+4=15个. 【答案】　15 　　解决这类问题的关键在于准确理解新定义,灵活地进行集合语言之间的转换,达到“化新为旧”(即转化到原有的知识体系中)的目的.“新定义”问题就是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算,并运用它解决相关问题. 【变式训练】　已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为(D) A.3 B.6 C.8 D.10 解析　由题意可得集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},共含有10个元素.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$