第1章 集合与常用逻辑用语 测评卷(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

第一章测评卷 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个关系式中正确的是 (D) A.⊆R B.Z∈Q C.0∈⌀ D.⌀⊆{0} 解析　对于A,不是集合,应为∈R;对于B,Z与Q的关系是集合间的包含关系,不是元素与集合的关系;对于C,⌀是不含任何元素的集合,故0∉⌀;D正确。 2.已知U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则 (B) A.M∩N={4,6} B.M∪N=U C.(∁UN)∪M=U D.(∁UM)∩N=N 解析　由U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6}知,M∪N=U。故选B。 3.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有 (B) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 解析　易知P=M∩N={1,3},故P的子集共有22=4个。故选B。 4.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　 当四边形ABCD为菱形时,其对角线互相垂直,必有AC⊥BD;但当AC⊥BD时,四边形不一定是菱形(如图)。 5.命题“∀x∈R,x2-x+2 025>0”的否定 (B) A.∃x∈R,x2-x+2 025<0 B.∃x∈R,x2-x+2 025≤0 C.∀x∈R,x2-x+2 025<0 D.∀x∈R,x2-x+2 025≤0 解析　根据全称量词命题与存在量词命题的关系,可得命题“∀x∈R,x2-x+2 025>0”的否定是“∃x∈R,x2-x+2 025≤0”。 6.已知集合A={0},B={-1,0,1},若A⊆C⊆B,则符合条件的集合C的个数为 (C) A.1 B.2 C.4 D.8 解析　由题意得,满足题意的集合C可以是{0},{0,-1},{0,1}和{0,-1,1}共4个。故选C。 7.若集合A={x|1≤x<2},B={x|x>b},且A∩B=A,则实数b的取值范围是 (D) A.[2,+∞) B.(1,2] C.(-∞,2] D.(-∞,1) 解析　因为A∩B=A,所以A⊆B,所以b<1。故选D。 8.已知p:-4<x-a<4,q:2<x<3,若􀱑p是􀱑q的充分条件,则实数a的取值范围是 (A) A.{a|-1≤a≤6} B.{a|a≤-1} C.{a|a≥6} D.{a|a≤-1或a≥6} 解析　p:-4<x-a<4,即a-4<x<a+4;q:2<x<3。所以􀱑p:x≤a-4或x≥a+4,􀱑q:x≤2或x≥3;而􀱑p是􀱑q的充分条件,所以解得-1≤a≤6。故选A。 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知集合A={x|x2-9=0},则下列式子表示正确的有 (AC) A.3∈A B.{-3}∈A C.⌀⊆A D.{3,-3}⫋A 解析　由x2-9=0得x=±3,所以A={-3,3},所以3∈A,A选项正确,集合与集合之间不是属于关系,故B选项错误;⌀是任何集合的子集,故C选项正确;{3,-3}=A,不是真子集,故D选项错误。 10.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则 (AC) A.A∩B={0,1} B.∁UB={4} C.A∪B={0,1,3,4} D.集合A的真子集个数为8 解析　因为A={0,1,4},B={0,1,3},所以A∩B={0,1},A∪B={0,1,3,4},选项A,C都正确;又全集U={0,1,2,3,4},所以∁UB={2,4},选项B错误;集合A={0,1,4}的真子集有7个,所以选项D错误。 11.在下列命题中,真命题有 (AB) A.∃x∈N*,使x为29的约数 B.∀x∈R,x2+x+2>0 C.存在锐角α,sinα=1.5 D.已知A={a|a=2n},B={b|b=3m},则对于任意的n,m∈N*,都有A∩B=⌀ 解析　A中命题为真命题,当x=1时,x为29的约数成立;B中命题为真命题,x2+x+2=>0恒成立;C中命题为假命题,根据锐角三角函数的定义可知,对于锐角α,总有0<sinα<1;D中命题为假命题,易知6∈A,6∈B,故A∩B≠⌀。 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.命题“存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0成立”的否定是 对任意实数对(x,y),2x+3y+3≥0恒成立 。  解析　存在量词命题的否定是全称量词命题。 13.当A,B是非空集合,定义运算A-B={x|x∈A且x∉B},若M={x|x≤1}, N={x|0≤x≤1},则M-N= {x|x<0} 。  解析　画出数轴如图: 所以M-N={x|x∈M且x∉N}={x|x<0}。 14.设集合S={x|x>5或x<-1},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则a的取值范围是 {a|-3<a<-1} 。  解析　借助数轴可知所以-3<a<-1。 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知集合A={x|1≤x<4},B={x|x-a<0}。 (1)当a=3时,求A∪B; (2)若A⊆B,求实数a的取值范围。 解　(1)当a=3时,集合B={x|x<3},所以A∪B={x|x<4}。 (2)由题意知,集合B={x|x<a},若A⊆B,则a≥4,故实数a的取值范围为[4,+∞)。 16.(本小题满分15分)在①{x|a-1≤x≤a};②{x|a≤x≤a+2};③{a|+3}这三个条件中任选一个,补充在下面问题中。若问题中的a存在,求a的值,若a不存在,请说明理由。 已知集合A=　　　　,B={x|1≤x≤3}。若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围。  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。 解　当选条件①时,因为“x∈A ”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B, 即解得2≤a≤3。所以实数a的取值范围是{a|2≤a≤3}。 当选条件②时,因为“x∈A ”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B, 即解得a=1。此时A=B,不符合条件。 故不存在a的值满足题意。 当选条件③时,因为“x∈A ”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B, 即该不等式组无解, 故不存在a的值满足题意。 17.(本小题满分15分)已知p:∀x∈R,m<x2-1,q:∃x∈R,x2+2x-m-1=0,若p,q都是真命题,求实数m的取值范围。 解　由x∈R得x2-1≥-1, 若p:∀x∈R,m<x2-1为真命题, 则m<-1。 若q:∃x∈R,x2+2x-m-1=0为真命题, 则方程x2+2x-m-1=0有实根, 所以4+4(m+1)≥0,所以m≥-2。 因为p,q都是真命题, 所以-2≤m<-1。 所以实数m的取值范围为[-2,-1)。 18.(本小题满分17分)已知集合A={x|3≤x<7},B={2<x<10},C={x|5-a<x<a}。 (1)求A∪B,(∁RA)∩B; (2)若C⊆(A∪B),求a的取值范围。 解　(1)因为集合A={x|3≤x<7},B={2<x<10}在数轴上表示可得: 故A∪B={x|2<x<10},∁RA={x|x<3或x≥7},(∁RA)∩B={2<x<3或7≤x<10}。 (2)依题意可知, ①当C=⌀时,有5-a≥a,得a≤; ②当C≠⌀时,有 解得<a≤3。 综上所述,所求实数a的取值范围为(-∞,3]。 19.(本题满分17分)对非空数集X,Y,定义X与Y的和集X+Y={x+y|x∈X,y∈Y}。对任意有限集A,记|A|为集合A中元素的个数。 (1)若集合X={0,1,2},Y={1,3,5,7,9},写出集合X+X与X+Y; (2)若集合X={x1,x2,…,x1 012}满足x1<x2<…<x1 012,且|X+X|<2 024,求|X+X|。 解　(1)因为X={0,1,2},Y={1,3,5,7,9},所以X+X={0,1,2,3,4},X+Y={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}。 (2)因为x1<x2<…<x1 012,所以x1+x1<x1+x2<x1+x3<…<x1+x1 012<x2+x1 012<x3+x1 012<…<x1012+x1 012,所以集合X+X中至少包含2 023个元素,所以|X+X|≥2 023,又由题意|X+X|<2 024,所以2 023≤|X+X|<2 024,又|X+X|为整数,所以|X+X|=2 023。 学科网（北京）股份有限公司 $$