2.2.1 不等式及其性质(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 情境导入 课程标准 在日常生活中,糖水中加些糖后就会变得更甜,也可以用不等式来表示这一现象。若a克糖水中含b克糖(a>b>0),再加m(m>0)克糖,全部溶解后糖水更甜,用一个不等式来表示这个现象为>。 1.理解不等式的概念; 2.掌握不等式的性质。 新知自主学习 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、不等关系与不等式 　　1.在现实世界里,量与量之间的不等关系是普遍的,不等式是刻画不等关系的工具。我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,称为不等式。 2.在上述不等式符号中,要特别注意“≥”“≤”。事实上,任意给定两个实数a,b,那么 a≥b⇔a>b或a=b, a≤b⇔a<b或a=b。 3.比较两个实数(代数式)大小。 (1)a-b<0⇔a<b, (2)a-b=0⇔a=b, (3)a-b>0⇔a>b。 二、不等式的性质 性质 内容 注意 性质1 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 性质2 可乘性 如果c>0,a>b ⇔ac>bc c的符号 性质3 可乘性 如果c<0,a>b ⇔ac<bc 性质4 传递性 a>b,b>c⇒a>c 不可逆 性质5 对称性 a>b⇔b<a 可逆 推论1 移项法则 a+b>c⇔a>c-b 可逆 推论2 同向 可加性 ⇒a+c>b+d 同向, 不可逆 续表 性质 内容 注意 推论3 同向同正 可乘性 ⇒ac>bd 同向,同 正,不可逆 推论4 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N,n>1) 同正, 不可逆 推论5 可开方性 a>b>0⇔> 同正, 可逆 三、不等式的证明方法 方法 定义 综合法 从已知条件出发,综合利用各种结果,经过逐步推导最后得到结论的方法 分析法 从要证明的结论出发、逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 反证法 首先假设结论的否定成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立。反证法是一种间接证明的方法 微提醒 　　(1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件。不可强化或弱化成立的条件。 (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性。 课堂合作探究 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　作差法比较大小 　　【例1】　比较下列各组中的两个代数式的大小: (1)2x2+3与x+2,x∈R; (2)a+2与,a∈R,且a≠1。 解　(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2>0,所以2x2+3>x+2。 (2)(a+2)-。由于a2+a+1=>0,所以当a>1时,>0,即a+2>;当a<1时,<0,即a+2<。故当a>1时,a+2>;当a<1时,a+2<。 ·反思感悟· 　　作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:①作差;②变形,变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;③定号,即确定差的符号;④下结论,写出两个代数式的大小关系。 　　【训练1】　若m≠n,x=m4-m3n,y=mn3-n4,则x与y的大小关系是 (A) A.x>y B.x=y C.x<y D.与m,n的取值有关 解析　x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)=(m-n)2,因为m≠n,所以x-y>0,x>y。故选A。 类型二　不等式的性质判断真假 　　【例2】　对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若a<b<0,则a2>ab>b2; (3)若c>a>b>0,则; (4)若a>b,,则a>0,b<0; (5)若a<b<0,则。 解　(1)当c=0时,有ac2=bc2。故该结论错误。 (2)由可得a2>ab。因为所以ab>b2,从而有a2>ab>b2。故该结论正确。 (3)由a>b>0,可得-a<-b<0。因为c>a>b,所以0<c-a<c-b,因此>0,于是。故该结论正确。 (4)由,可知>0。因为a>b,所以b-a<0,于是ab<0。又因为a>b,所以a>0,b<0。故该结论正确。 (5)依题意取a=-2,b=-1,则,=2,显然。故该结论错误。 ·反思感悟· 　　(1)解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法。 (2)注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0⇒,不能误认为是a>b⇒,在应用时不能出错。 　　【训练2】　(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是 (C) A.ab>bc B.ac>bc C.ab>ac D.a|b|>|b|c 解析　因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,所以ab>ac。 (2)若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:。 证明　因为c<d<0,所以-c>-d>0。又a>b>0,所以a-c>b-d>0,则(a-c)2>(b-d)2>0,即。又e<0,所以。 类型三　不等式的证明 　　命题方向1:反证法证明不等式 　　【例3】　若x>0,y>0,且x+y>2,求证与至少有一个小于2。 证明　假设都不小于2,即≥2,≥2。因为x>0,y>0,所以1+y≥2x,1+x≥2y,两式相加得2+(x+y)≥2(x+y)。所以x+y≤2,这与已知中x+y>2矛盾。所以假设不成立,原命题成立。故至少有一个小于2。 ·反思感悟· 　　反证法证明问题的一般步骤 　　【训练3】　已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数。 证明　假设a,b,c,d都是非负数,因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1。又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,所以ac+bd≤1,这与已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d中至少有一个是负数。 　　命题方向2:分析法证明不等式 　　【例4】　已知x>0,求证:。 证明　因为x>0,所以>0,1+>0,所以要证,只需证1+x<1+x+,只需证0<。因为x>0,所以>0成立,故。 ·反思感悟· 　　(1)分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式。 (2)分析法证明数学命题的过程是逆向思维,即结论⇐…⇐…⇐…已知,因此,在叙述过程中,“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少,否则会出现错误。 　　【训练4】　证明。 证明　证法一:(分析法)要证,即,只需证明()2<(2+)2,展开得9+6,即3,只需证明(3)2<(2)2,即18<20。又因为18<20成立,所以。 证法二:(分析法)要证,只需证,只需证2+。因为2<,,所以2+,所以。 随堂达标检测 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.若m=x2-1,n=2(x+1)2-4(x+1)+1,则m与n的大小关系是 (D) A.m<n B.m>n C.m≥n D.m≤n 解析　n-m=x2≥0,所以n≥m。故选D。 2.设a,b,c,d∈R,则下列推证中正确的是 (C) A.a>b,c=d⇒ac<bd B.⇒a>b C.a3>b3,ab>0⇒ D.a2>b2,ab>0⇒ 解析　用排除法,A错误,显然c=d=0时,结论不成立;B错误,c<0时,结论不成立;D错误,a=-2,b=-1时,结论不成立;故选C。 3.已知a<0,-1<b<0,下列不等式成立的是 (D) A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a 解析　本题可以根据不等式的性质来解,由于-1<b<0,所以0<b2<1⇒a<ab2<0,且ab>0,易得答案D。本题也可以根据a,b的范围取特殊值,比如令a=-1,b=-,也容易得到正确答案。故选D。 4.已知0<a<1,则a,,a2的大小关系是 a2<a< 。  解析　因为a-<0,所以a<。又a-a2=a(1-a)>0,所以a>a2,所以a2<a<。 新定义问题中的比较大小　　 　　[典例]　对平面直角坐标系第一象限内的任意两点(a,b),(c,d)作如下定义:如果,那么称点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,同时称点(c,d)是点(a,b)的“下位点”。 (1)试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标。 (2)设a,b,c,d均为正数,且点(a,b)是点(c,d)的“上位点”。证明:点P(a+c,b+d)既是点(a,b)的“下位点”,又是点(c,d)的“上位点”。 　　[解]　(1)由题意,,,可知点(3,5)的一个“上位点”坐标为(3,4),一个“下位点”坐标为(3,7)。(答案不唯一) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)证明:点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,所以。又a,b,c,d均为正数,所以ad>bc。因为<0,即,所以P(a+c,b+d)是点(a,b)的“下位点”。因为>0,即,所以P(a+c,b+d)是点(c,d)的“上位点”。综上,P(a+c,b+d)既是点(a,b)的“下位点”,又是点(c,d)的“上位点”。 ·反思感悟· 　　本题考查新定义和比较大小,考查推理能力和计算能力。 (1)利用“上位点”和“下位点”的定义即可解答; (2)通过作差法比较大小,利用“上位点”和“下位点”的定义即可解答。 　　【训练】　我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和,a,b,c,d∈N*,则是x的更为精确的近似值。已知<π<,试以上述π的不足近似值和过剩近似值为依据,那么使用两次“调日法”后可得π的近似分数为  。  解析　根据<π<,经过一次“调日法”可得π的近似分数为,根据<π<,再经过一次“调日法”可得π的近似分数为,所以使用两次“调日法”后可得π的近似分数为。 学科网（北京）股份有限公司 $$