1.1.1 第2课时 集合的表示方法(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

第2课时　集合的表示方法 情境导入 课程标准 　　 语言是人与人之间相互联系的一种方式,同样的祝福又有着不同的表示方式,例如,我们用中文说“祝你生日快乐”,英文为“happy birthday to you”等等。那么,对于一个集合,有哪些不同的表示方法呢? 1.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合; 2.理解区间的适用情形,并能用区间表示集合。 新知自主学习 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、集合的表示方法 　　1.列举法 把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法。 2.描述法 一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质。此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}。这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法。 二、区间的概念及其表示方法 　　1.设a,b是两个实数,且a<b,则有下表: 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a,b] 　　2.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。如: 符号 [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 集合 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 微提醒 　　(1)列举法表示集合时的4个关注点: ①元素与元素之间必须用“,”隔开。 ②集合中的元素必须是明确的。 ③集合中的元素不能重复。 ④集合中的元素可以是任何事物。 (2)描述法表示集合时的3个关注点: ①写清楚集合中元素的符号,如数或点等。 ②说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等。 ③不能出现未被说明的字母。 微思考 　　“∞”是一个数字吗? 提示:不是,∞是一个符号,表示无穷大。 课堂合作探究 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　用列举法表示集合 　　【例1】　(1)用“book”中的字母构成的集合中元素个数为 (C) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由集合中元素的互异性可知,该集合中共有“b”“o”“k”3个元素。 (2)用列举法表示下列集合: ①方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合; ②“Welcome”中的所有字母构成的集合; ③2022年冬奥会的主办城市组成的集合; ④函数y=2x-1的图象与坐标轴交点组成的集合。 解　①方程(x-1)2(x-2)=0的解为1和2,因此可以用列举法表示为{1,2}。 ②由于“Welcome”中包含的字母有W,e,l,c,o,m,共6个元素,因此可以用列举法表示为{W,e,l,c,o,m}。 ③北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市,因此可以用列举法表示为{北京,张家口}。 ④函数y=2x-1的图象与x轴的交点为,与y轴的交点为(0,-1),因此可以用列举法表示为。 ·反思感悟· 　　用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素。 (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次。 (3)用花括号括起来。 提醒:用列举法表示集合,要求元素不重复、不遗漏、不计次序,且元素与元素间用“,”隔开。 　　【训练1】　(1)若集合A={(1,2),(3,4)},则集合A中元素的个数是 (B) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　集合A={(1,2),(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)。故选B。 (2)已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},对任意a∈A,有|a|∈B,且B中只有4个元素,则集合B= {0,1,2,3} 。  解析　对任意a∈A,有|a|∈B,因为集合A={-2,-1,0,1,2,3},由-1,-2,0,1,2,3∈A,知0,1,2,3∈B。又因为B中只有4个元素,所以B={0,1,2,3}。 类型二　用描述法表示集合 　　【例2】　用描述法表示下列集合: (1)被3除余1的正整数的集合; (2)坐标平面内第三象限的点的集合; (3)大于4的所有偶数。 解　(1)根据被除数=商×除数+余数,可知此集合表示为{x|x=3n+1,n∈N}。 (2)第三象限内的点的横、纵坐标均小于零,故此集合可表示为{x,y)|x<0,y<0}。 (3)偶数可表示为2n,n∈Z,又因为大于4,故n≥3,从而用描述法表示此集合为{x|x=2n,n∈Z且n≥3}。 ·反思感悟· 　　(1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型。一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素。 (2)若描述部分出现代表元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围。 　　【训练2】　用描述法表示下列集合: (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合; (2)使函数y=有意义的实数x组成的集合。 解　(1){(x,y)|x∈R,y=0}。 (2){x|x≠1}。 类型三　用区间表示集合 　　【例3】　(1)①数集{x|x≤-2}用区间表示为 (-∞,-2] 。  ②数集{x|x>7}用区间表示为 (7,+∞) 。  ③数集{x|0<x≤3}用区间表示为 (0,3] 。  (2)不等式3x-5>x的解集用区间表示为 (2,+∞) 。  解析　原不等式可化为x>5,即x>2。所以原不等式的解集为(2,+∞)。 ·反思感悟· 　　用区间表示数集的原则和方法 (1)用区间表示数集的原则:①数集是连续的;②左小右大;③区间的开闭不能弄错。 (2)用区间表示数集的方法:①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“,”隔开;②用数轴表示区间时,实心点表示包括区间端点,空心点表示不包括区间端点。 　　【训练3】　(1)用区间表示数集{x|x≤5}为 (-∞,5] 。  (2)用区间表示不等式2x->x的解集为  。  解析　由2x->x知x>,所以用区间表示为。 类型四　集合表示法的应用 　　【例4】　若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a= (A) A.4 B.2 C.0 D.0或4 解析　由题意知ax2+ax+1=0只有一个实数解,当a=0时,方程无实数解;当a≠0时,Δ=a2-4a=0,解得a=4。故选A。 ·反思感悟· 　　含参数问题一定要分类讨论 本题中a=0,a≠0两情况分类讨论。 　　【训练4】　满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为 (B) A.14 B.13 C.12 D.10 解析　a,b∈{-1,0,1,2},可分下列两种情形:①当a=0时,方程为2x+b=0,此时一定有解,满足条件的有序数对为(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2);②当a≠0时,方程为一元二次方程,则Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1。当a=-1,1,2时,满足条件的有序数对为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0)。故关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为13。故选B。 随堂达标检测 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.用列举法表示集合{x|x-2<3,x∈N*}为 (B) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 解析　因为x-2<3,所以x<5,又x∈N*,所以x=1,2,3,4。故选B。 2.下列各组集合中,表示同一集合的是 (B) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={2,3} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={3,2},N={(3,2)} 解析　由于集合中的元素具有无序性,故{3,2}={2,3}。 3.大于3并且小于10的整数组成的集合用描述法表示为 {x|3<x<10,x∈Z} 。  解析　设该数为x,由题意得3<x<10,且x∈Z,故集合是{x|3<x<10,x∈Z}。 4.选择适当的方法表示下列集合: (1)绝对值不大于3的整数组成的集合; (2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解组成的集合; (3)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合。 解　(1)绝对值不大于3的整数是-3,-2,-1,0,1,2,3,共有7个元素,则用列举法表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}。 (2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解仅有两个,分别是,-2,用列举法表示为。 (3)一次函数y=x+6图象上有无数个点,用描述法表示为{(x,y)|y=x+6}。 学科网（北京）股份有限公司 $$