第14讲 因式分解的意义 提取公因式法（三类知识点+八大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第14讲 因式分解的意义 提取公因式法 （八大题型） 学习目标 1、能判断是否属于因式分解； 2、知道公因式的概念，会求公因式； 3、掌握提取公因式法因式分解。 一、因式分解的意义 我们已经学习了整式的乘法，可以将几个整式的乘积化为一个整式.如： m(a+b+c)=ma+mb+mc; (a+b)(a-b)=a²—b²; (a—b)²=a²-2ab+b². 反过来，有时候我们需要将一个整式化为几个整式的积. 思考：你能把下列整式化为几个整式的积吗? (1)ma+mb+mc=_________________ (2)a²—b²=_________________ (3)a2—2ab+b²=_________________ 几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解. 如：x²+x=x(x+1); x⁴—1=(x²+1)(x²—1)=(x²+1)(x+1)(x—1). 其中，x、x+1是x²+x的因式，x²+1、x+1、x—1是x⁴—1的因式. 因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止，如在x⁴—1因式分解的过程中，因式x²+1不能继续因式分解，x²—1还能继续因式分解为 (x+1)(x—1). 二、公因式 整式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【方法规律】（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个整式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 三、提取公因式法 把整式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法． 【方法规律】（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . 　　（2）用提取公因式法分解因式的关键是准确找出整式各项的公因式. 　　（3）当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时整式的各项都要变号. 　　（4）用提取公因式法分解因式时，若整式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 【即学即练1】下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)是因式分解 【分析】根据分解因式就是把一个整式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【解析】（1）解：，是整式的乘法，不是因式分解； （2）解：，最后结果不是几个整式的积，不是因式分解； （3）解：，是因式分解； （4）解：，是因式分解． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，把一个整式转化成几个整式的积的形式是解题关键． 【即学即练2】下列因式分解结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查因式分解-提公因式法，首先提取公因式进而利用公式法分解因式得出即可． 【解析】A. ，此选项正确； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. 无法分解因式，故此选项错误； 故选A． 【即学即练3】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式的方法进行因式分解即可． 【解析】解：， 故答案为：． 【即学即练4】下列代数式中，不能用提公因式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据提公因式法逐项判断即可得出答案． 【解析】解：A、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； B、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； C、，不能用提公因式法因式分解，符合题意； D、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； 故选：C． 【即学即练5】把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据即可得出答案，找出公因式是解此题的关键． 【解析】解：， 把分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 【即学即练6】已知，，求的值． 【答案】 【分析】首先将提公因式，然后将，代入求解即可． 【解析】解：，，且， 原式． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【即学即练7】已知，用因式分解法求的值． 【答案】 【分析】此题考查的是因式分解和整体代入法求值，先将原式提公因式进行因式分解，最后整体代入求解． 【解析】解： ∵， ∴原式 题型1：判断是否属于因式分解 【典例1】．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的定义．因式分解的定义：把一个整式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做这个整式的因式分解，据此逐项判断即可． 【解析】解：A、，是完全平方公式，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，属于整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； C、，右边不是整式乘积的形式，不属于因式分解，故不符合题意； D、，是因式分解，故符合题意； 故选：D． 【典例2】．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（   ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个整式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个整式因式分解． 根据因式分解的定义判断即可． 【解析】解：①，从左到右的变形是因式分解； ，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解； 所以①是因式分解，②是乘法运算． 故选：C． 【典例3】．下列变形属于因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，逐一进行判断即可． 【解析】解：①等式左边不是整式，不是因式分解；②等式右边不是整式，不是因式分解；③是整式的乘法，不是因式分解；④等式右边不是整式的乘法的形式，不是因式分解；⑤是因式分解； 故选D． 【点睛】本题考查因式分解的定义：把一个整式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个整式进行因式分解． 【典例4】．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【答案】（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个整式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可． 【解析】（1）左边不是整式，不是因式分解； （2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； （3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解． ∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【典例5】．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解． (1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)； (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2； (3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1； (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2； (5)x2＋x＝x2(1+)； (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)． 【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解． 【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答. 【解析】(1)(4)的变形是把整式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把整式化为积的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解． (2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解． 【点睛】本题主要考查因式分解，因式分解是把一个整式转化成几个整式积的形式． 题型2：公因式 【典例6】．单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将，，写成，，即可． 【解析】解：∵，， ∴，，的公因式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了公因式的知识，将，，写成，，的形式是正确解题的关键． 【典例7】．下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】将每一组因式分解，找公因式即可 【解析】A.，，有公因式，故不符合题意； B.，，没有公因式，符合题意； C.，，有公因式，故不符合题意； D. 与有公因式，故不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键 【典例8】．将整式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【解析】解：； 整式的公因式为 故选B 【点睛】本题主要考查公因式的确定，解决本题的关键是掌握找公因式的要点：（1）公因式的系数是整式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 题型3：已知公因式求另一个因式 【典例9】．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 【答案】A 【分析】适当变形后提公因式，可得答案． 【解析】解：原式， 另一个因式是， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键． 【典例10】．若整式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将整式因式分解，即可得到结果． 【解析】解：∵ = ∴另一个因式是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练应用提公因式法解题关键． 【典例11】．把整式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用提公因式法，即可解答． 【解析】解：把整式因式分解时，提取的公因式是，则：n≥5， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键． 题型4：已知因式分解的结果求参数 【典例12】．若，则m的值是（　　） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】把等式的右边展开得：，然后根据对应项系数相等列式求解即可． 【解析】解：， ， ，， 解得，． 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解与整式的乘法是互为逆运算，根据对应项系数相等列出等式是解本题的关键． 【典例13】．若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 【答案】B 【分析】把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到、的值． 【解析】解：， ， ，， ， ， 、的值分别为：4，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的意义；根据整式乘整式的法则，再根据对应项系数相等求解是解本题的关键． 【典例14】．已知整式分解因式后的结果为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用乘法公式将展开，再与对应即可． 【解析】∵整式分解因式后的结果为， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解与整式乘法运算之间的关系，正确的理解他们之间的关系是解题的关键． 题型5：用提取公因式法分解因式 【典例15】．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用提公因式法解答即可；注意首项系数为负数，需把“-”号提出来； （2）利用提公因式法解答，注意符号的变化． 【解析】（1） ． （2） ． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，找准整式的公因式是解题的关键． 【典例16】．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据分解因式的方法求解即可． 【解析】（1）解：原式； （2）原式 ． （3）原式 ． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【典例17】．用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的判定是解本题的关键； （1）提取公因式分解因式即可： （2）提取公因式分解因式即可： （3）提取公因式分解因式即可： （4）提取公因式分解因式即可： 【解析】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 【典例18】．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）提出公因式a即可分解因式； （2）提出公因式即可分解因式； （3）提出公因式即可分解因式； （4）提出公因式即可分解因式； （5）提出公因式即可分解因式； （6）提出公因式即可分解因式． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解：． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，利用相反数确定的公因式是解题关键． 题型6：提取公因式法的应用 【典例19】．若整式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值也为0，则，解之即可得到答案． 【解析】解：∵整式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例20】．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据长方形面积公式和周长公式得到，再根据进行求解即可． 【解析】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例21】．如图，“L形图形的面积为7，如果，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查整式的乘法与图形的面积，以及因式分解的应用．将图形分成两个长方形，根据图形的面积列出算式，然后因式分解即可得到答案． 【解析】解：如图， 由题意，得：， 即 ∵， ∴， 故答案为：7． 【典例22】．如图，边长为的长方形，它的周长为10，面积为6，则的值为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键． 【解析】解：边长为，的长方形，它的周长为10，面积为6， ，， ． 故答案为：30． 题型7：根据提取公因式法分解因式求值 【典例23】．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，提取公因式法的运用，将进行因式分解，得出，再将，代入计算即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 又， ∴ ， 故答案为：． 【典例24】．先因式分解，再求值；已知，，求的值． 【答案】10 【分析】先将代数式用提公因式法因式分解，然后代入已知条件即可求值． 【解析】解：， 将，代入， 原式． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【典例25】．先因式分解，再计算求值：，其中； 【答案】； 【分析】本题主要考查了因式分解，先将原式运用提公因式法分解后，再代入求值即可 【解析】解： ； 把代入得，原式． 【典例26】．已知，求的值． 【答案】 【解析】解：，， ， ． 【典例27】．已知a、b、x、y满足，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，计算求得即可； （2）首先将原式重新分组进行因式分解，进而代入，求出即可． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴ 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，提取公因式法分解因式以及代数式求值，正确分组分解因式是解题关键． 题型8：提取公因式法分解因式拓展 【典例28】．观察下列因式分解的过程： ① ② ③ …… 根据上述因式分解的方法，尝试将下列各式进行因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题中的方法，适当加减适合的数，再提取公因式，将各式分解即可； （2）根据题中的方法分解因式即可． 【解析】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式进行因式分解． 【典例29】．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次； (2)将下列整式分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________． 【答案】(1)提取公因式法；2 (2) (3)2023； 【分析】（1）根据题意可知题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次； （2）仿照题意进行提取公因式进行分解因式即可得到答案； （3）根据题意可得规律，提n次公因式，据此求解即可． 【解析】（1）解：由题意得，题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次， 故答案为：提公因式法；2； （2）解：原式 ； （3）解：，提1次公因式 ，提2次公因式 ，提3次公因式 …… ∴依次类推，，提n次公因式， ∴，提2023次公因式， 故答案为：2023；． 【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 一、单选题 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键， 根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解析】A．从等式的左边到右边的变形属于整式乘法不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C．从等式的左边到右边的变形是乘法交换律，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从等式的左边到右边的变形是错误，是因式分解错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．下面式子从左边到右边的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是因式分解的定义．根据把一个整式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个整式因式分解进行分析即可． 【解析】解：A、右边几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、属于整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、是因式分解，故本选项符合题意； D、右边几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．如果二次三项式可分解为， 那么的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解题的关键． 利用整式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出 a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解析】解：， ∵二次三项式可分解为， ∴， ∴，， 解得：， ∴ 故选： B． 4．用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定公因式，再用原整式除以公因式，可得另外一个因式，进而即可分解因式． 【解析】解：A. ，故该选项错误； B. ，故该选项错误； C. ，故该选项错误；     D. ，故该选项正确， 故选D． 【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键． 5．如果整式mx+A可分解为m（x﹣y），则A为（　　） A．m B．﹣my C．﹣y D．my 【答案】B 【分析】直接去括号，进而得出A代表的式子即可． 【解析】解：整式mx+A可分解为m（x﹣y）， mx+A＝m（x﹣y）＝mx﹣my． A＝﹣my． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以整式，提公因式法因式分解．正确去括号是解题关键． 6．下列因式分解：①；②；③．其中结果正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据因式分解的方法，提取公因式法进行因式分解，对照选项逐一验证即可． 【解析】根据题意知，①，因式分解错误； ②，因式分解正确； ③，因式分解错误， 正确的结果有②， 故选：B． 【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 7．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是(　　)． A．abc B．2a C．2c D．2ac 【答案】D 【分析】数字因式的公因式为2，字母因式的公因式取各项均有的字母，且该字母的指数要取各项最低. 【解析】解：该整式中，三个单项式的数字公因式为2，字母公因式为ac，则应提取的公因式是2ac， 故选择D. 【点睛】本题考查了提公因式时公因式的确定. 8．整式提取公因式后，剩下的因式应是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察知公因式为，提取后得即可判断. 【解析】解： = = ∴此整式的公因式为，提取公因式后，剩下的因式是. 故选B 【点睛】本题考查公因式的定义，掌握找公因式的要点是解答此题的关键，即公因式的系数是整式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的.另外题中第二项为公因式，故提取后不可漏掉1也是解答此题的关键之处. 9．(－8)2020＋(－8)2019能被下列哪个数整除(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据乘方的性质，提取公因式（-8）2019，整理即可得到是7的倍数，所以能被7整除． 【解析】解：(−8)2020+(−8)2019 =(−8)(−8)2019+(−8)2019 =(−8+1)(−8)2019 =−7×(−8)2019 =7×82019 所以能被7整除． 故答案选：C． 【点睛】本题考查的知识点是因式分解的应用，解题的关键是熟练的掌握因式分解的应用． 10．与相同的式子是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：首先对题目中的式子利用提取公因式法进行因式分解，然后再判断． 原式=（3x+2）（－3+4）+（x＋1）（3﹣4）=－（3－4）（2x+1） 考点：因式分解 二、填空题 11．在中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ． 【答案】 整式乘法 因式分解 【分析】此题主要是考查了因式分解的意义，根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解，紧扣因式分解的定义是解题的关键． 【解析】解：在中，从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解， 故答案为：整式乘法，因式分解． 12．若整式分解因式的结果为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．根据整式的乘法法则计算，与比较求出a和b的值，然后代入计算． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 13．整式各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式2y，即可求解． 【解析】解：∵整式系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂y， ∴该整式的公因式为2y， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的公因式，掌握整式每项公因式的求法是解题的关键． 14．已知整式有一个因式是，则k的值为 ． 【答案】-9 【分析】令=（x+3）A的形式，当x=-3时，可以转化为关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值． 【解析】令=（x+3）A， 当x=-3时，-27+27+9+k=0， 解得k=-9， 故答案为：-9． 【点睛】本题考查了因式分解—提公因式法，令x+3=0，则x=-3，代入因式分解的式子转化为关于k的一元一次方程是解题的关键． 15．分解因式： ＝ 【答案】 【分析】直接运用提公因式法分解即可． 【解析】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关键． 16．若x＋y＝6，xy＝4，则x2y＋xy2＝ ． 【答案】24 【分析】先对后面的式子进行因式分解，然后根据已知条件代值即可． 【解析】 x＋y＝6，xy＝4， x2y＋xy2 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查提取公因式进行因式分解，属于基础题，比较容易，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 17．已知2x+4﹣2•2x＝112，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】根据题意直接利用同底数幂的乘法运算法则以及提取公因式法分解因式，进而得出答案． 【解析】解：∵2x+4﹣2•2x＝112， ∴2x+1×（23﹣1）＝112， 故2x+1＝16＝24， 解得：x＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键． 18．若a, b, c 满足，则 【答案】 【分析】关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可. 【解析】因为 所以 ，即 因为 所以 因为 所以 因为 所以 即 因为 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键. 三、解答题 19．下列因式分解是否正确？为什么？ （1）；（2）； （3）；（4）． 【答案】（1）不正确．因为提取的公因式不对；（2）不正确．因为提取公因式后，第三项没有变号；（3）正确．（4）不正确．因为最后结果不是乘积的形式． 【分析】（1）判断整式的公因式提取是否正确即可判断； （2）（3）与（1）分析相同； （4）根据因式分解的定义判断即可． 【解析】（1）整式的公因式是n，而不是2n，故不正确； （2）因为提取公因式后，第三项没有变号，故不正确； （3），故正确； （4）根据因式分解的定义知，最后结果应是乘积的形式，但分解的结果不是乘积的形式，故错误． 【点睛】本题考查了因式分解的定义及提公因式法，掌握因式分解的定义及提公因式是关键． 20．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）提取公因式即可； （）提取公因式即可； （）提取公因式即可； 本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 21．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，： （1）提取公因式分解因式即可； （2）提取公因式分解因式即可． 【解析】（1）原式 （2）解：原式 ． 22．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【分析】找公因式－－－取各项系数的最大公约数；取各项相同字母的最低次数；取相同整式的最低次数，进而提取公因式进行分解． 【解析】解：（1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝； （4）原式＝； （5）原式＝； （6）原式＝； （7）原式＝； （8）原式＝． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 23．先化简，再求值：30x²（y+4）-15x（y+4），其中x=2，y=-2． 【答案】180 【解析】试题分析：本题考查了整式的化简求值，用提公因式法分解因式，将原式化为5x(y+4)(2x-1)，然后代入求值即可. 原式=15x(y+4)(2x-1) 当x=2, y=-2时 原式=15×2×(-2+4)(2×2-1)=180 24．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据整式的运算法则先化简，再代入求值即可得到答案 【解析】解： ， ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查整式化简求值，掌握去括号法则、合并同类项及提公因式分解因式是解决问题的关键 25．现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用这些卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，． (1)请用含的式子分别表示，； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用： （1）根据图1中每个图形的边的长度列式求解即可； （2）利用作差法得到，再由，得到，则，即． 【解析】（1）解；由题意得，， ； （2）解：，理由如下： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为（2x+13），k的值为65． 【分析】设另一个因式为（2x+a），根据题意列出等式，利用系数对应相等列出得到关于a和k的方程求解即可． 【解析】解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a ∴， 解得：a＝13，k＝65． 故另一个因式为（2x+13），k的值为65． 【点睛】此题考查了因式分解和整式乘法的关系，解题的关键是根据题意设出另一个因式列出等式求解． 27．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 =（1+x）[1+x+x（x+1）] =（1+x）2（1+x） =（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是______，共应用了_____次． （2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2019，则需应用上述方法______次，结果是______． （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是_______． 【答案】（1）提公因式法；2；（2）2019；（x+1）2020；（3）（x+1）n+1. 【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可； （2）根据已知分解因式的方法可以得出答案； （3）由（1）中计算发现规律进而得出答案． 【解析】（1）因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次； 故答案为：提公因式法，2； （2）1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019 =(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(x+1)2018] =(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x) +…+x(x+1)2017] …. =(1+x)2020 则需应用上述方法2019次，结果是(1+x)2020； 故答案为2019，(1+x)2020； (3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n =(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(x+1)n-1] =(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x) +…+x(x+1)n-2] …. =(1+x)n+1. 故答案为：(1+x)n+1. 【点睛】本题考查因式分解——提公因式法，解题的关键是正确找出公因式. 28．方法探究： 已知二次整式，我们把代入整式，发现，由此可以推断整式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），整式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此整式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次整式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次整式，我们把x＝1代入整式，发现，由此可以推断整式中有因式（），设另一个因式为（），整式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于整式，用“试根法”分解因式． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）整式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【解析】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴整式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，整式乘整式的正确展开是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 29 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 因式分解的意义 提取公因式法 （八大题型） 学习目标 1、能判断是否属于因式分解； 2、知道公因式的概念，会求公因式； 3、掌握提取公因式法因式分解。 一、因式分解的意义 我们已经学习了整式的乘法，可以将几个整式的乘积化为一个整式.如： m(a+b+c)=ma+mb+mc; (a+b)(a-b)=a²—b²; (a—b)²=a²-2ab+b². 反过来，有时候我们需要将一个整式化为几个整式的积. 思考：你能把下列整式化为几个整式的积吗? (1)ma+mb+mc=_________________ (2)a²—b²=_________________ (3)a2—2ab+b²=_________________ 几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解. 如：x²+x=x(x+1); x⁴—1=(x²+1)(x²—1)=(x²+1)(x+1)(x—1). 其中，x、x+1是x²+x的因式，x²+1、x+1、x—1是x⁴—1的因式. 因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止，如在x⁴—1因式分解的过程中，因式x²+1不能继续因式分解，x²—1还能继续因式分解为 (x+1)(x—1). 二、公因式 整式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【方法规律】（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个整式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 三、提取公因式法 把整式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法． 【方法规律】（1）提取公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . 　　（2）用提取公因式法分解因式的关键是准确找出整式各项的公因式. 　　（3）当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时整式的各项都要变号. 　　（4）用提取公因式法分解因式时，若整式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 【即学即练1】下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4) 【即学即练2】下列因式分解结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】因式分解： ． 【即学即练4】下列代数式中，不能用提公因式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】已知，，求的值． 【即学即练7】已知，用因式分解法求的值． 题型1：判断是否属于因式分解 【典例1】．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（   ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【典例3】．下列变形属于因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例4】．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【典例5】．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解． (1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)； (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2； (3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1； (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2； (5)x2＋x＝x2(1+)； (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)． 题型2：公因式 【典例6】．单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 【典例7】．下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【典例8】．将整式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 题型3：已知公因式求另一个因式 【典例9】．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（     ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 【典例10】．若整式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（     ） A． B． C． D． 【典例11】．把整式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 题型4：已知因式分解的结果求参数 【典例12】．若，则m的值是（　　） A．2 B． C．5 D． 【典例13】．若，则、的值分别为（     ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 【典例14】．已知整式分解因式后的结果为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型5：用提取公因式法分解因式 【典例15】．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【典例16】．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【典例17】．用提取公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例18】．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 题型6：提取公因式法的应用 【典例19】．若整式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为 ． 【典例20】．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则的值为 ． 【典例21】．如图，“L形图形的面积为7，如果，那么 ． 【典例22】．如图，边长为的长方形，它的周长为10，面积为6，则的值为 ． 题型7：根据提取公因式法分解因式求值 【典例23】．已知，，则的值是 ． 【典例24】．先因式分解，再求值；已知，，求的值． 【典例25】．先因式分解，再计算求值：，其中； 【典例26】．已知，求的值． 【典例27】．已知a、b、x、y满足，，求： (1)； (2)． 题型8：提取公因式法分解因式拓展 【典例28】．观察下列因式分解的过程： ① ② ③ …… 根据上述因式分解的方法，尝试将下列各式进行因式分解： （1）； （2）． 【典例29】．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次； (2)将下列整式分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________． 一、单选题 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 2．下面式子从左边到右边的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．如果二次三项式可分解为， 那么的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．用提取公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果整式mx+A可分解为m（x﹣y），则A为（　　） A．m B．﹣my C．﹣y D．my 6．下列因式分解：①；②；③．其中结果正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是(　　)． A．abc B．2a C．2c D．2ac 8．整式提取公因式后，剩下的因式应是（    ）. A． B． C． D． 9．(－8)2020＋(－8)2019能被下列哪个数整除(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 10．与相同的式子是（    ）. A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ． 12．若整式分解因式的结果为，则的值为 ． 13．整式各项的公因式是 ． 14．已知整式有一个因式是，则k的值为 ． 15．分解因式： ＝ 16．若x＋y＝6，xy＝4，则x2y＋xy2＝ ． 17．已知2x+4﹣2•2x＝112，则x的值为 ． 18．若a, b, c 满足，则 三、解答题 19．下列因式分解是否正确？为什么？ （1）；（2）； （3）；（4）． 20．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 21．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 22．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）． 23．先化简，再求值：30x²（y+4）-15x（y+4），其中x=2，y=-2． 24．先化简，再求值：，其中，． 25．现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用这些卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，． (1)请用含的式子分别表示，； (2)比较与的大小，并说明理由． 26．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值． 27．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 =（1+x）[1+x+x（x+1）] =（1+x）2（1+x） =（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是______，共应用了_____次． （2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2019，则需应用上述方法______次，结果是______． （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是_______． 28．方法探究： 已知二次整式，我们把代入整式，发现，由此可以推断整式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），整式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此整式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次整式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次整式，我们把x＝1代入整式，发现，由此可以推断整式中有因式（），设另一个因式为（），整式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于整式，用“试根法”分解因式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$