重难点突破12-1一次函数与图形综合(4题型+强化练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

难点突破——一次函数与图形综合 学习目标 ①会根据题干找到直线上的点的坐标，用待定系数法求一次函数解析式； ②会联立方程组求两个一次函数的交点坐标； ③会设直线上的动点的坐标，并能根据坐标表示坐标系中任意一条线段的长； ④会根据顶点坐标，用割补法表示出坐标系中任意一个三角形或四边形的面积 动点坐标的表示： 如图，若M是直线l1:y=k1x+b1上的一个动点，N是直线l2:y=k2x+b2上的一个动点，MN与y轴平行。 （1）表示MN的长 可知M、N的横坐标相同，用函数解析式表示纵坐标，可设点M、N的坐标为M(t, k1t+b1)、N(t, k2t+b2)， MN=． （2）表示的面积：C点的横、纵坐标可以用、表示，同理M点的横坐标可以用表示． 【题型一：一次函数与图形——根据几何性质求动点坐标】 例1.（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，直线：与直线相交于点． (1)分别求直线和直线的函数解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交、于点M、N，当线段时，求点D的坐标． 【答案】(1)直线的函数解析式为；直线的函数解析式为 (2)或 【分析】（1）将代入，解得a值即可求直线的解析式和，再将交点坐标代入，求解即可； （2）设，则，，得或，解答即可． 本题考查了一次函数的解析式，交点问题，截直线线段长度问题，熟练掌握待定系数法，分类思想，设点坐标是解题的关键． 【详解】（1）将点代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为． 将点代入，得， 解得． ∴直线的函数解析式为． （2）设，则，， ∴或． 解得或． ∴或． 变式1.（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，直线与轴交于点，直线交于轴于点B，交轴于点C，交直线于点． (1)求直线的函数表达式． (2)在轴上是否存在一点Q，使得？若不存在，请说明理由，若存在，求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点Q坐标为或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，平面直角坐标系中三角形面积的求法： （1）先求出点P的坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式； （2）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算出，设点Q坐标为，根据用含n的代数式表示出，解出n的值即可． 【详解】（1）解：∵点在直线直线上， ∴，即， 设直线解析式为， 把、代入可得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵直线交于y轴于点B，交x轴于点C， 当时，， 解得， 当时，， ∴，， ∵、， ∴， ∵， ∴， 设点Q坐标为， 则， 解得：或， ∴点Q坐标为或． 【题型二：一次函数图象与性质有关的新定义问题】 例2.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”． (1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______； (2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值． 【答案】(1)；4 (2)2或 【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型： （1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可； （2）利用分类讨论的方法和“7阶和点”的定义求得“7阶和点”，再利用待定系数法解答即可； 【详解】（1）解：把点代入，得： ，解得：； ∵点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”， ∴点到两坐标轴的距离之和等于， ∴点是y关于x的正比例函数的“4阶和点”， 即． 故答案为：；4； （2）解：设一次函数图象的“7阶和点”为，则，， ∵一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ∴； ∴一次函数图象的“7阶和点”为； 把代入得： ，解得：； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ∴； ∴一次函数图象的“7阶和点”为， 把代入得： ，解得：； 综上，k的值为2或． 变式2．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或； 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点又在上， ， 又， ， 解得， ； （3）直线上没有“亮点”， 直线与平行， ， ，令，， 令，则， ， ， 设， ， ， ， ， 即或， 解得或， 或； 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 【题型三：一次函数与图形——根据几何性质求动点运动时间】 例3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，为直线上一点，直线过点C．    (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动（点P不与点D，点A重合）．设点P的运动时间为t秒．若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）将点代入，求出m的值，再将点C的坐标代入，即可求得b的值； （2）先分别求得、、，由题意可得，点P的坐标为，则，再由三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得，， ∴，即， 把点代入得，， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 当时，， 当时，，即， ∴、， 由题意可得，点P的坐标为，则， ∵的面积为10， ∴， 解得． 变式3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图①，四边形中，，．动点从出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到停止．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图②所示．    (1)结合图①和图②可知，__________，__________； (2)①当点在线段上运动时，请写出与的关系式（并写明自变量的取值范围）； ②当时，等于多少？ (3)如图③，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点停止，同时，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点停止，设运动时间为，当点运动到边上时，连接、、，当的面积为时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①；②或 (3)或或 【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了一次函数解析式的求解、一元一次方程的应用．掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）结合图①和图②可知，点在上运动了，在上运动了，在上运动了，再根据即可求解； （2）①设，将点，代入即可求解；②分类讨论点在线段上运动、在线段上运动两种情况即可求解； （3）分类讨论点在边上、点在边上两种情况，画出对应图形，表示出的面积与时间的关系即可求解． 【详解】（1）解：结合图①和图②可知，点在上运动了，在上运动了，在上运动了， ∴，，， 由图②得：， ∴， 故答案为：；； （2）解：①当点在线段上运动时，设， 将点，代入得： ， 解得：， ∴； ②当时， （i）若点在线段上运动， 即，解得：； （ii）若点在线段上运动， 则，即：， 解得：， 综上所述：当或时，， （3）解：∵，， ∴点需要运动到边上，后到达点， 点需要运动到边上，后到达点， （i）若点在边上，即，如图所示：    ， ∵， ∴， 解得：或； （ii）若点在边上，即，如图所示：    ， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：或或． 【技巧方法与总结】根据动点的运动轨迹，对动点的位置进行分类讨论：分别表示出三角形的底和高，用时间t表示出三角形的面积。 【题型四：一次函数与图形——动角问题】 例4.如图1，在平面直角坐标系中，A、B在坐标轴上，其中，满足．    (1)求A、B两点的坐标； (2)将平移到，A点对应点，交轴于E，若的面积等于13，求点E的坐标； (3)如图2，若将平移到，也在坐标轴上，F为线段上一动点，（不包括点A，点B），连接、平分，，试探究，，的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出、，得到答案； （2）构造矩形，根据三角形的面积是13，利用割补法求出，再根据平移的性质，求出直线的解析式，则可求出点E的坐标； （3）作交于H，交于G，设，根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得：，， 则，． （2）如图1所示，   的面积等于13， 根据A，B，C三点的坐标， 可得：， 解得：， 则点C的坐标为， 根据平移规律，则有点D的坐标为， 设直线的解析式为：， 解得：， 的解析式为：， 与轴的交点的坐标为； （3）如图2所示，作交于H，交于G，    设， 则， ，， ， ， 又， ． 【技巧方法与总结】动角问题：关键是运用方程思想进行解题，设动角的大小为未知数，再根据给出的条件进行解题。 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足：，点在轴的负半轴上，连接，． (1)如图1，若，求点的坐标． (2)如图2，点在上，点在上，连接，过点作轴于点，若，求证：． (3)在（1）的条件下，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度在间往返移动，即先沿方向移动，到达点点后反向移动．设移动的时间为，四边形与的面积分别记为，，是否存在时间，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用非负数的性质，求出，的值，再求出，可得结论． （2）证明，可得结论． （3）由题意秒点到达点，当时点达点，秒点到达点秒点再次到达点，分五种情形：当，当，当，当，当，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， ，， ， ， ， ； （2）证明：轴， 轴， ， ， ， ， ； （3）解：存在． 理由：由题意秒点到达点，当时点达点，秒点到达点秒点再次到达点， 故当，，，由， 解得； 当，，，由， 解得，舍弃； 当，，，由， 解得，符合题意； 当，，， 解得，舍弃； 当，的最大值为17.5，的最小值为35，不存在． 综上，或时，使． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，且点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、交于点和点，当时，求的值； (4)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3)或 (4) 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）将点坐标代入求出，即可得到解析式； （2）根据解析式分别求出点、坐标和两直线的交点坐标，根据三角形面积公式计算即可； （3）当时，则，当，即，即可求解． （4）根据解析式分别求出线段和线段长，根据题意可得的取值范围． 【详解】（1）解：将代入中得：， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：在中， 当时，， 在中，当时，， ∴， ∴； 联立方程组， 解得， ∴的交点坐标为， ∴与轴所围成的三角形的面积为； （3）解：∵与交于点， 则， 当， 即， ， 则或， 解得或． 即的值为或； （4）解：∵和， ， 设直线与和分别交于点和， 在函数中，当时，， 在函数中，当时，， ， ， ∵，即线段向左平移2个单位开始有2个交点， ， ∴的范围为． 故将线段向左平移个单位，若与直线同时有公共点，的取值范围为． 3．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1． (1)点D的坐标是（ ），直线的解析式是 ； (2)连接，求的面积． (3)点P是直线上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据D点横坐标及得出纵坐标进而得出D点坐标；最后通过两点坐标得出一次函数解析式； （2）根据各点坐标即三角形面积公式即可求出； （3）分情况讨论，利用图形面积的和差以及三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：将代入函数得D点纵坐标为2， 将点；，代入得： 解得， 故解析式为：， 故答案为：；； （2）解：如图： 易知，点A的坐标为，，点C的坐标为， ； （3）解：①如图，点P在之间： ； ②点P在B点下方，如图： ； ③点P在D点的上面 ； 综上所述：． 4．（23-24八年级下·辽宁·期末）已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“原函数”，一次函数为“原函数”的“相关函数”．“原函数”的图象记为直线，它的“相关函数”的图象记为直线． 例如：“原函数”的“相关函数”为． (1)直接写出“原函数”的“相关函数”表达式； (2)请说明：直线，直线与轴的交点是同一个点； (3)若“原函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； (4)“原函数”的表达式为． ①点在直线上，点在直线上，若，求的取值范围； ②若直线，直线与轴围成的图形面积为8，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 (4)①；② 【分析】本题主要考查一次函数的性质和新定义的问题，解答关键是利用分类讨论和数形结合的思想． （1）根据“原函数”的定义解答即可； （2）直接求出直线，直线与轴的交点坐标即可； （3）由“原函数”的表达式为可得其“相关函数”表达式为， 令可得即直线与直线的交点为再由点在直线上，可设．再分当时及当时，两种情况求解即可； （4）①先求出的“相关函数”，再通过数形结合解答即可； （3）求出“原函数”的“相关函数”表达式为再由轴交于点可得，所以再由轴，可得，可得出求得，即可得出所以再求解即可． 【详解】（1）根据题意，“原函数”的“相关函数”表达式为；； （2）在“原函数”中，令，则， ∴直线与x轴交点为， 在它的“相关函数”中，令 直线与轴交点为， 直线，直线与轴的交点为同一个点； （3）“原函数”的表达式为 它的“相关函数”表达式为， 令 直线与直线的交点为 点在直线上， 设． 如图1，当时，点在点右侧． 轴， ． 点在直线上， ． ， 当时，点在点的左侧， ． 综上所述，点的坐标为或； （4）①“原函数”为 它的“相关函数”为．令 ， 直线与直线交点为． 如图， ∵点C在直线上，点D在直线，且， ∴ ． ， ， ． 的取值范围为； ② 如图，直线与直线交点为 ， “原函数”表达式为，它的“相关函数”表达式为 轴交于点 ， 轴， ， ， 轴， ， ， ， ， ． 又轴，轴， 四边形为平行四边形， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 难点突破——一次函数与图形综合 学习目标 ①会根据题干找到直线上的点的坐标，用待定系数法求一次函数解析式； ②会联立方程组求两个一次函数的交点坐标； ③会设直线上的动点的坐标，并能根据坐标表示坐标系中任意一条线段的长； ④会根据顶点坐标，用割补法表示出坐标系中任意一个三角形或四边形的面积 动点坐标的表示： 如图，若M是直线l1:y=k1x+b1上的一个动点，N是直线l2:y=k2x+b2上的一个动点，MN与y轴平行。 （1）表示MN的长 可知M、N的横坐标相同，用函数解析式表示纵坐标，可设点M、N的坐标为M(t, k1t+b1)、N(t, k2t+b2)， MN=． （2）表示的面积：C点的横、纵坐标可以用、表示，同理M点的横坐标可以用表示． 【题型一：一次函数与图形——根据几何性质求动点坐标】 例1.（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，直线：与直线相交于点． (1)分别求直线和直线的函数解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交、于点M、N，当线段时，求点D的坐标． 变式1.（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，直线与轴交于点，直线交于轴于点B，交轴于点C，交直线于点． (1)求直线的函数表达式． (2)在轴上是否存在一点Q，使得？若不存在，请说明理由，若存在，求出点Q的坐标． 【题型二：一次函数图象与性质有关的新定义问题】 例2.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”． (1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______； (2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值． 变式2．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． 【题型三：一次函数与图形——根据几何性质求动点运动时间】 例3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，为直线上一点，直线过点C．    (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动（点P不与点D，点A重合）．设点P的运动时间为t秒．若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； 变式3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图①，四边形中，，．动点从出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到停止．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图②所示．    (1)结合图①和图②可知，__________，__________； (2)①当点在线段上运动时，请写出与的关系式（并写明自变量的取值范围）； ②当时，等于多少？ (3)如图③，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点停止，同时，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点停止，设运动时间为，当点运动到边上时，连接、、，当的面积为时，直接写出的值． 【技巧方法与总结】根据动点的运动轨迹，对动点的位置进行分类讨论：分别表示出三角形的底和高，用时间t表示出三角形的面积。 【题型四：一次函数与图形——动角问题】 例4.如图1，在平面直角坐标系中，A、B在坐标轴上，其中，满足．    (1)求A、B两点的坐标； (2)将平移到，A点对应点，交轴于E，若的面积等于13，求点E的坐标； (3)如图2，若将平移到，也在坐标轴上，F为线段上一动点，（不包括点A，点B），连接、平分，，试探究，，的数量关系． 【技巧方法与总结】动角问题：关键是运用方程思想进行解题，设动角的大小为未知数，再根据给出的条件进行解题。 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足：，点在轴的负半轴上，连接，． (1)如图1，若，求点的坐标． (2)如图2，点在上，点在上，连接，过点作轴于点，若，求证：． (3)在（1）的条件下，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度在间往返移动，即先沿方向移动，到达点点后反向移动．设移动的时间为，四边形与的面积分别记为，，是否存在时间，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，且点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、交于点和点，当时，求的值； (4)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，直接写出的取值范围． 3．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1． (1)点D的坐标是（ ），直线的解析式是 ； (2)连接，求的面积． (3)点P是直线上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式． 4．（23-24八年级下·辽宁·期末）已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“原函数”，一次函数为“原函数”的“相关函数”．“原函数”的图象记为直线，它的“相关函数”的图象记为直线． 例如：“原函数”的“相关函数”为． (1)直接写出“原函数”的“相关函数”表达式； (2)请说明：直线，直线与轴的交点是同一个点； (3)若“原函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； (4)“原函数”的表达式为． ①点在直线上，点在直线上，若，求的取值范围； ②若直线，直线与轴围成的图形面积为8，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$