精品解析：辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

绝密★启用并使用完毕前 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一第一次月考—数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则为（ ）. A ， B. ， C. ，或 D. ，或 3. 若，则（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值2 D. 有最大值2 4. 若不等式解集为，则函数的图象可以为（ ） A. B. C D. 5. 已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是 A. B. C. D. 6. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 7. 手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0~1之间．若设计师将某款手机的屏幕面积和手机前面板面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该款手机的“屏占比”和升级前相比（ ） A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 变化不确定 8. 已知命题是真命题，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值可以是（ ） A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，集合，则满足关系所有集合为______. 13. 对班级名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多人，其余的不赞成，另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多人，问对、都赞成的学生有________人. 14. 正实数、满足：，且，则的取值范围为________；实数的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． 16. 根据要求完成下列问题： （1）解关于的不等式； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 17. 根据要求完成下列问题： （1）要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户（如图所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？ （2）如图所示，铁路线上段长千米，工厂到铁路的距离为千米.现要在上某一点处向修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为.为了使原料从供应站运到工厂的运费最少，点应选在何处？ 18. 根据要求完成下列问题： （1）已知全集，集合，集合，集合，且，求实数取值范围； （2）关于的二次方程在区间内有实数解，求实数的取值范围. 19. 已知集合A为非空数集.定义： （1）若集合，直接写出集合S，T； （2）若集合且．求证：； （3）若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一第一次月考—数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的并、补运算求结果即可. 【详解】由，则，故. 故选：A 2. 已知命题：，，则为（ ）. A. ， B. ， C. ，或 D. ，或 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称命题的否定求解即可. 【详解】由全称命题的否定是特称命题知： 原命题的否定为，或. 故选：D 3. 若，则（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值2 D. 有最大值2 【答案】B 【解析】 【分析】运用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以，当且仅当即：时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 4. 若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出. 【详解】由题可得和是方程的两个根，且， ，解得， 则， 则函数图象开口向下，与轴交于. 故选：C. 5. 已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 令，代入选项，由此判断出最大的数. 【详解】令，则，其中最大. 由于为互不相等的正实数，所以所以.而，所以.而.所以最大. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式比较大小，属于基础题. 6. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合之间的包含关系求解即可. 【详解】， ∵，∴， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，有，方程组无解， 当时，有，方程组无解， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：C. 7. 手机屏幕面积与手机前面板面积比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0~1之间．若设计师将某款手机的屏幕面积和手机前面板面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该款手机的“屏占比”和升级前相比（ ） A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 变化不确定 【答案】C 【解析】 【分析】做差法比较与的大小即可得出结论. 【详解】设升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为（，）．因为，所以升级后手机“屏占比”和升级前相比变大， 故选：C． 8. 已知命题是真命题，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离变量法求出为真命题时的取值范围，再由充分必要条件的概念判断． 【详解】因为，所以当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以是的充要条件，因为，但， 所以是的一个必要不充分条件， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式的性质逐一判断． 【详解】对于A，由条件得，，故A正确， 对于B，当时不满足，故B错误， 对于C，，，则，故C正确， 对于D，，当时不满足，故D错误， 故选：AC 10. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值可以是（ ） A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】结合函数的图像和性质，判断不等式解集中的3个整数，根据成立的条件列不等式求实数的取值范围. 【详解】函数，图像抛物线开口向上，对称轴方程为， 当时，取最小值， 不等式的解集中恰有3个整数，这3个整数为0，1，2， 所以，解得，实数的取值范围是. 故选：BC 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件消元后结合基本不等式对选项逐一判断． 【详解】对于A，因为，即，解得，即， 当且仅当时取等号，故的最大值为8，故选项A正确； 对于B，由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，故选项B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，故选项C不正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，选项D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，集合，则满足关系的所有集合为______. 【答案】，，，, 【解析】 【分析】根据子集概念求解即可, 【详解】因为，， 所以集合为，，，, 故答案为：，，， 13. 对班级名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多人，其余的不赞成，另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多人，问对、都赞成的学生有________人. 【答案】 【解析】 【分析】设对、都赞成的学生有，根据韦恩图得到，解得答案. 【详解】赞成的人数为，赞成的人数为， 设对、都赞成的学生有，则，解得. 故答案为：18. 【点睛】本题考查了根据韦恩图求解集合问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出韦恩图是解题的关键. 14. 正实数、满足：，且，则的取值范围为________；实数的最小值为________. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】对进行换元，建立不等式，求解第一空，对进行合理变换，构造单元二次函数。利用二次函数的性质结合的范围求解参数最值即可. 【详解】令（），有，则， 得到，解得，所以的取值范围为， 令， ，， 设二次函数，，根据二次函数性质可知， 故，所以，即实数的最小值为. 故答案为：；2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合． （1）若，求实数取值范围； （2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解出两个集合中的不等式，得到这两个集合，由，求实数的取值范围； （2）依题意有，列不等式求实数的取值范围. 小问1详解】 不等式，即，解得，所以， 不等式，由恒成立，所以， 故解集为，即， 若，则有或，解得解集为或 的取值范围是或． 【小问2详解】 由是的必要条件，可得，所以， ，， ，解得或 所以实数的取值范围是． 16. 根据要求完成下列问题： （1）解关于的不等式； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对不同参数范围进行讨论，求解不等式即可. （2）利用分离参数法结合换元法对函数进行化简，再利用基本不等式求解范围即可. 【小问1详解】 因为， 当时，即时，原不等式可化为，解得， 所以原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式可化为， 当时，即时，， 因为，所以原不等式的解集为； 当时，即时，， 因为，所以原不等式的解集为； 【小问2详解】 因为， 即， 因为恒成立， 所以， 故， 令，因为，所以， 所以对于一切恒成立， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，且仅当时取等号，即实数的取值范围为. 17. 根据要求完成下列问题： （1）要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户（如图所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？ （2）如图所示，铁路线上段长千米，工厂到铁路的距离为千米.现要在上某一点处向修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为.为了使原料从供应站运到工厂的运费最少，点应选在何处？ 【答案】（1）答案见解析 （2）距点千米处 【解析】 【分析】（1）依题意，结合图形，求出窗框的宽关于长的关系式，继而求得窗框的面积表达式，利用二次函数的图象即可求得的最大值； （2）经分析，判断点在线段上某一适当位置，设，铁路吨千米运费，公路吨千米运费，将从到的总费用表示成的函数式，设，利用根的判别式非负求得的最小值，从而得到对应的的值，即可. 【小问1详解】 设矩形窗框的长为，宽为，则窗框的定长为， ∴，（），则窗框的面积为： ， 因，当时，窗框的面积取得最大值，此时， 即当时，窗户能够透过最多的光线； 【小问2详解】 由题意可知单位距离的公路运费大于铁路运费，由图知，， 则只有点选在线段上某一适当位置，才能使总运费最省. 设（千米），铁路吨千米运费，公路吨千米运费，从到的总费用为， 则依题意得，，即， 令，则有，两边同时平方并整理得：(*)， ∵关于的方程一定有解，∴，解得， ∵，∴，当时，由（*），解得，， 这时最小，也最小，即当点选在距点千米处时，总运费最省. 18. 根据要求完成下列问题： （1）已知全集，集合，集合，集合，且，求实数的取值范围； （2）关于的二次方程在区间内有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解一元二次不等式，得到集合,求出，就参数进行分类，结合即可求得； （2）先根据方程的根的个数进行分类，方程有唯一解时，由求出的的值，分别检验；在方程有两异根时，根据求得的初始范围，再由给定区间内的根的个数为1或2时，结合二次函数的图象即可求得参数范围. 【小问1详解】 ， 或 ，则 ，因 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，由可得且，解得， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 设函数， ①若有唯一实数解时，， 即，解得或， 当时，原方程可化为，解得，符合题意； 当时，原不等式可化为，解得，不合题意舍去， ②若有两个不相等实数解时，， 即，解得或， （Ⅰ）若在区间内有唯一一个实数解，又， 则只需，解得，符合题意， （Ⅱ）若在区间内有两个不相等的实数解， 则只需对称轴且， 解得且，又或，∴， 综上所述，，即实数的取值范围为. 19. 已知集合A为非空数集.定义： （1）若集合，直接写出集合S，T； （2）若集合且．求证：； （3）若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）1350. 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接求出； （2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得； （3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论． 【小问1详解】 由已知，则，； 【小问2详解】 由于集合且， 所以T中也只包含四个元素，因为 即且，即， 又， 所以，从而， 此时满足题意，所以； 【小问3详解】 设满足题意，其中， 2， ， ∵，∴， 又中最小的元素为0，最大的元素为， 则 设，， 则， 因为，可得，即， 故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$