四川省遂宁中学校2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题

高2025届8月月考数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设集合，集合，定义，则中元素个数是（ ） A．7 B．10 C． D． 3．数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（ ） A． B． C． D． 4．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ） A．192种 B．168种 C．72种 D．144种 5．若，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 6．如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（ ） A． B． C． D． 7．新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（ ） A． B． C． D．或 8．在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（ ） A．曲线C关于y轴对称 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．的取值范围为 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A． B． C． D． 10．已知展开式中各项二项式系数之和为128，则（ ） A． B．展开式的各项系数之和是 C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大 D．展开式中无常数项 11．2024年3月3日，由中国田径协会技术认证，贵州省体育局、黔西南州人民政府共同主办的“加油奔跑·兴义真好”2024万峰林马拉松赛鸣枪开跑.近2万名选手穿行城市间，奔跑峰林中，尽享“万峰成林处、阳光黔西南”的山水画卷.本次马拉松共设置了4个服务站点（真实数据是16个，本题设置为4个），某参赛运动员在第1个服务点停留的概率为，在其他服务点停留的概率均为．用随机变量X表示该运动员会停留的服务点的个数，则下列正确的是（ ） A． B． C．一次都不停留的概率为 D．至多停留一次的概率为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．命题 ，，则命题的否定为 ． 13．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 14．已知随机变量，且，则函数的最小值为 ． 15（13分）已知全集，集合，， (1) 分别求；(2)若，求的取值范围；(3)若，求的取值范围． 16（15分）某商店对该店某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行分析发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（该月的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示： x 10 20 25 30 110 120 125 130 已知第10天该商品的日销售收入为121元. (1)求k的值；(2)根据上表中数据，用函数模型，（为常数）来描述该商品的日销售量与时间x的关系，试求出函数的解析式； (3)根据（1）（2）的结论，求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值. 17（15分）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足头系式，其中，均为大于0的常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 18（17分）已知函数的图象在点处的切线方程为 (1)求的解析式； (2)若对任意有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在内有3个零点，求实数的取值范围. 19（17分）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) (2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2025届8月月考数学答案 1．A 2．B.【详解】集合，集合， ，共有10个元素.故选：B． 3．A【详解】由题意知抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况， 则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为.故选：A 4．A【详解】根据题意，分两步进行分析： 第一步，先从4个视频中选3个，有种方法；2篇文章全选，有种方法； 第二步，2篇文章要相邻，则可以先“捆绑”看成一个元素，内部排列，有种方法； 第三步，将“捆绑”元素与3个视频进行全排列，有种方法. 故满足题意的学法有种.故选：A. 5．C【详解】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．故选：C． 6．A【详解】 由图可知，为负数，为正数，故不选， 设在处的点为，显然的斜率大于， 则，可转化为，所以的值最大.故选：A． 7．D【详解】设，，， ， ∴，. ∴赋分是或.故选：D. 8．C【详解】对A：因为用代替，方程不变，所以曲线关于轴对称，故A正确； 对B：，当点在轴上取得等号，故B正确； 对C：因为，因为，所以. 所以.故C错误； 对D：因为； 所以.所以，所以，故D正确.故选：C 9．BCD【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确.故选：BCD. 10．ACD【详解】由题意可知，则，故A正确； 令，则，故B错误； 因为，所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，即第4、5项二项式系数最大，分别为，故C正确； 设展开式的通项为， 显然无整数解，故D正确.故选：ACD. 11．BC【详解】的所有可能为. ，， ，. 则选项中，错误，正确.故选：BC 12．，【详解】命题 ，为存在量词命题， 其否定为：，.故答案为：， 13．【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号，所以故答案为：. 14．【详解】由随机变量，且，得，解得， 当时， ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为.故答案为： 15【详解】（1）集合 ， （2）， ①当时，， ②当时，则，解得，综上所述，的取值范围为； （3）若， ①当时，， ②当时，或， 或，综上所述，若，则的取值范围为， 所以若，则的取值范围． 16．【详解】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元， 即，解得； （2）由表中数据可得，，即， 解得，故,（，） （3）依题意，， 因，，由，当且仅当时等号成立， 即该商品的日销售收入在第10天最小，最小值为121元. 17．【详解】（1）令，则，根据已知数据表得到如下表： x y 则，， 可得， ， 通过上表计算可得：， 因为回归直线过点，则， 所以y关于的回归方程. （2）由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天， 所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有： ；； ；； 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 4 随机变量的期望值. 18【详解】（1）因为，则， 依题意，，解得，，所以； （2）由（1）可得， 当时恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，， 因为对任意有恒成立，所以，. .实数的取值范围为. （3）由（1）可得：， ，令，解得或， 所以、、列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值， 且当时，当时， 要满足函数在区间内有3个零点， 则，解得，所以实数的取值范围. 19．【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为： ． 即，，所以， 因为质量指标值近似服从正态分布， 所以， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为. （2）（i），所以所取样本的个数为20件， 质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3， 相应的概率为： ，，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望. （ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件， 设每箱产品的利润为元， 由题意知：， 由（1）知：每箱零件中A等品的概率为， 所以，所以， 所以 . 令，由得，， 又，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值. 所以当时，每箱产品利润最大. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$