精品解析：辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

辽宁省名校联盟2024-2025学年高一第一次月考—数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列关系式，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空集定义判断A，利用集合间关系判断BCD. 【详解】是没有任何元素集合，A错； 因为，所以，B正确； 是正整数集合，C错； ，元素是点坐标，D错. 故选：B 2. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据全称命题的否定进行判断即可. 【详解】命题否定为. 故选：B 3. 已知，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若且，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项寻找反例即可求解. 【详解】对于选项A， 当时，满足且，但是不满足，故选项A错误； 对于选项B， ，所以，所以，即，即，故选项B正确； 对于选项C， 当时， 若成立则需，所以，所以与矛盾， 故选项C错误； 对于选项D， 当时，若且，则不能得出，故选项D错误. 故选：B. 4. 已知，那么p的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断各选项中不等式能否推出成立，即可得出答案. 【详解】因为推不出，故不是的充分条件，A错误； 因为推不出，故不是的充分条件，B错误； 因为一定能推出，故是的充分条件，C正确； 因为推不出，故不是的充分条件，D错误； 故选：C 5. 设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合，，我们定义集合运算且，．若，，则表示的6位字符串是（ ） A. 101010 B. 011001 C. 010101 D. 000111 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的新定义得出，再由集合的字符表示即可求解. 【详解】由题意可得若，，则， 所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1， 其余字符均为0，即表示的6位字符串是010101. 故选：C 6. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根的判别式可得到或，利用一元二次方程根与系数的关系可得到，，代入不等式求解即可 【详解】因为方程的两根分别是和， 所以，解得或， ，， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：C 7. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，求出俩命题的解，然后根据充分不必要条件，得出不等关系，从而求出实数的范围. 【详解】解：由题意 在中， 解得：， 在中， 解得：， ∵是的充分不必要条件 ∴，等号不同时成立， ∴. 故选：B. 8. 若关于的不等式()的解集为空集，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由解集为空集可得以且 ，可得，换元后再利用基本不等式求解即可. 【详解】关于的不等式()的解集为空集 所以，，得， ∴， 令，则， ∴， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为4， 故选：D. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 有3个真子集 【答案】BD 【解析】 【分析】由集合的表示与运算逐一判断． 【详解】由题意得集合表示直线上所有的点，集合表示上所有的点， 是点集，故A错误， 由得或，故，故B正确，C错误， 有3个真子集，，，D正确， 故选：BD 10. 已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ） A. B. C. - D. 0 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可. 【详解】设，, 因为p是q的必要条件，所以， 当时，由无解可得，符合题意； 当时，或，当时，由解得， 当时，由解得. 综上，取值为0，，. 故选：BCD 11. 已知关于的方程只有一个实数根，则实数的可能取值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 5 【答案】ABD 【解析】 【分析】将已知方程去分母可得，再讨论符合题意，当时，求出方程的两根，令或，求出的值即可求解. 【详解】对方程， 去分母可得：， 此时， 当即时，此时方程为， 即，所以，可得符合题意， 当即时， 方程有两根，， 当或时，为增根，此时方程只有一个实根， 当时，，当时，， 综上所述：实数的可能取值为或或， 故选：ABD. 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 已知实数满足：，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由立方和公式以及完全平方公式即可求解. 【详解】. 故答案为：18 13. 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出第一个不等式的解，讨论的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组织含有一个整数得出第二个不等式的端点的范围，从而求得的范围. 【详解】由不等式，解得或， 解方程，解得或， （1）若，即时，不等式的解集为， 若不等式组只有1个整数解，则，解得； （2）若，即时，不等式的解集为， 若不等式组只有1个整数解，则，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本） （1）写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利． （2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以万元转让该项目； ②纯利润最大时，以万元转让该项目． 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由． 【答案】（1），从第年起开始盈利 （2）选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可； （2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案. 【小问1详解】 由题意可知， 令，得，解得， 所以从第年起开始盈利； 【小问2详解】 若选择方案①，设年平均利润为万元，则， 当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值， 此时该项目共获利（万元）． 若选择方案②，纯利润， 所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）． 以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展． 16. 根据要求完成下列问题： （1）已知，是否存在正实数，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （2）已知，比较与的大小并说明理由； （3）利用（2）的结论解决下面问题：已知，均为正数，且，求的最大值． 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式说明即可； （2）用作差法比较大小即可； （3）由（2）的结论得，即可求解． 【小问1详解】 不存在，∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴不存在、使得． 【小问2详解】 ，证明如下： ， 当且仅当时等号成立， ∴． 【小问3详解】 由（1）得， ∴， ∴， 当且仅当，即，时等号成立， ∴的最大值为． 17. 根据要求完成下列问题： （1）已知命题：，命题：（），且命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）已知不等式的解集与关于的不等式（）的解集相同，若实数满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出解集，再根据命题是命题的必要不充分条件，知道 再分类讨论，结合子集包含关系可解； （2）先解，再根据二次不等式与二次方程关系，结合韦达定理，得到.进而得到,再用乘１法，结合结合基本不等式可解. 【小问1详解】 命题：，解得，设命题表示集合， 设命题表示集合，∵命题是命题的必要不充分条件，∴ ， ，即， 当时，，，符合要求，可取， 当时，解得，∵，∴，解得，经检验符合要求，可取， 当时，解得，∵，∴，解得，经检验符合要求，可取， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 由得，解得， 又由得，其解集为， ∴和是方程的两根，根据韦达定理得、， ∴、，∴， 则， 当且仅当时，即时取等号，即、时，有最小值为. 18. 根据要求完成下列问题： （1）已知函数的图像都在轴上方，求实数的取值范围； （2）关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分与进行分类讨论，判断求解即可； （2）由题意可知，且，因为，由韦达定理转化为关于的不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，即时，解得或， 当时，的图像不可能都在轴上方，不符合题意，舍去， 当时，的图像都在轴上方，符合题意，可取， 当时，若函数的图像都在轴上方， 则只需且， 即且，解得， 综上所述，，即实数的取值范围为； 【小问2详解】 由题意可知且方程的两根为、， 则，解得或， ∴或， 根据韦达定理得、， 又∵，∴， ∴， ∴且，∴， 综上所述，，∴实数的取值范围为. 19. 根据要求完成下列问题： （1）已知集合.集合，且满足，求实数的取值范围； （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： ①若，则集合中还有其他两个元素； ②集合不可能是单元素集合. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）分与两种情况讨论可求实数的取值范围； （2）①根据题意，由，得，进而，得证；②反证法证明. 【小问1详解】 当时，，此时， 当时，∵，∴或关于的方程的根均为负数， 当时，关于的方程无实数根，∴，解得， 当关于的方程的根、均为负数时， 有，解得，即， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 ①若，则，若，则， 若，则， ∴当时，集合中必含有另两个元素、； ②假设集合中只有个元素（），由题意可知， ∵集合为单元素集合，∴， 即，而，则此方程无实数解， ∴假设不成立，∴集合不可能是单元素集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省名校联盟2024-2025学年高一第一次月考—数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列关系式，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C D. 3. 已知，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 4. 已知，那么p的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合，，我们定义集合运算且，．若，，则表示的6位字符串是（ ） A. 101010 B. 011001 C. 010101 D. 000111 6. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式()的解集为空集，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 有3个真子集 10. 已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ） A. B. C. - D. 0 11. 已知关于的方程只有一个实数根，则实数的可能取值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 5 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 已知实数满足：，则________. 13. 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是 _____． 14. 已知关于不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围______. 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本） （1）写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利． （2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以万元转让该项目； ②纯利润最大时，以万元转让该项目． 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由． 16. 根据要求完成下列问题： （1）已知，是否存在正实数，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （2）已知，比较与的大小并说明理由； （3）利用（2）的结论解决下面问题：已知，均为正数，且，求的最大值． 17. 根据要求完成下列问题： （1）已知命题：，命题：（），且命题是命题必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）已知不等式的解集与关于的不等式（）的解集相同，若实数满足，求的最小值. 18. 根据要求完成下列问题： （1）已知函数的图像都在轴上方，求实数的取值范围； （2）关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围. 19. 根据要求完成下列问题： （1）已知集合.集合，且满足，求实数的取值范围； （2）设数集满足：，又若实数是数集中一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： ①若，则集合中还有其他两个元素； ②集合不可能单元素集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$