拓展2-3 逻辑用语高频题型专攻-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

拓展2-3常用逻辑用语高频题型专攻 一、判断充分条件与必要条件 四、应用充分条件、必要条件求参数 二、全称量词命题与存在量词命题 五、充要条件的证明 三、命题的否定 六、由命题的真假求参数 一、判断充分条件与必要条件 1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 4．下列说法不正确的是（　　） A．“”是“”的必要非充分条件 B．“且”是“”的充分非必要条件 C．当时，“”是“方程有解”的充要条件 D．若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件 5．“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 6．“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 8．（多选）已知，那么命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 二、全称量词命题与存在量词命题 10．已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 11．（多选）下列说法中，以下是真命题的是（    ）． A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．， D．， 12．下列命题中是存在量词命题且该命题的否定是真命题的是（  ） A．有的梯形对角线互相平分 B．三角形都有内切圆 C．， D．， 13．（多选）下列命题中错误的有（   ） A．存在整数，使得 B．，一元二次方程无实数根 C． D．能被2整除 14．（多选）下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．， C．若，，且，则，至少有一个大于1 D．若，，则的取值范围是 15．（多选）下列命题是真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数x，使 16．（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，有实数解 B．， C．某些四边形是正方形 D．长为1，3，4的三条线段可以构成三角形 三、命题的否定 17．命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 18．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 19．已知命题，则命题的否定是（    ） A． B． C． D． 20．命题的否定是 . 21．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在，函数随x值的增大而减小； (3)，使得． 四、应用充分条件、必要条件求参数 22．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 24．不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 25．若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 26．设，，是的充分条件，求实数的取值范围. 27．已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 28．已知，或． (1)若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围； (2)若p是的必要不充分条件，求实数k的最大值． 29．设集合，，． (1)若时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 30．已知. (1)若是的必要不充分条件，求实数的范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的范围. 31．已知：：或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 五、充要条件的证明 32．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 33．设集合A，B，求证：是的充要条件． 34．证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 35．求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 36．已知 ，求证：是的充要条件. 37．证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 38．设a，b，．求证：，，的充要条件是，，． 六、由命题的真假求参数 39．已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（多选）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 42．已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 43．命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 44．若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 45．若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为 . 46．已知全集，集合，集合． (1)若，求实数的范围； (2)若，，使得，求实数的范围． 47．已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”． (1)已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 48．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展2-3常用逻辑用语高频题型专攻 一、判断充分条件与必要条件 四、应用充分条件、必要条件求参数 二、全称量词命题与存在量词命题 五、充要条件的证明 三、命题的否定 六、由命题的真假求参数 一、判断充分条件与必要条件 1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】依题意，“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立， 所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意，但不能得出， 是的必要不充分条件. 故选：B. 3．若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】解：由题意知，，且B中一定含有不属于A的元素，所以， “”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 4．下列说法不正确的是（　　） A．“”是“”的必要非充分条件 B．“且”是“”的充分非必要条件 C．当时，“”是“方程有解”的充要条件 D．若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件 【答案】C 【详解】对于A，“”等价于“或”，所以“”是“”的必要非充分条件，故A不符合题意； 对于B，一方面：若“且”，则“”，另一方面：若，仍满足，但此时， 所以“且”是“”的充分非必要条件，故B不符合题意； 对于C，当时，“”是“方程有解”的既不充分也不必要条件，故C符合题意； 对于D，若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件，故D不符合题意. 故选：C. 5．“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】“”的一个必要而不充分条件需要满足是所求范围的一个真子集， 由于， 故选：B 6．“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由解得或， 对于A，由得不到，由得不到， 所以是的既不充分也不必要条件，不合题意； 对于B，由得不到，由得不到， 所以是的既不充分也不必要条件，不合题意； 对于C，由得不到，由得不到， 所以是的既不充分也不必要条件，不合题意； 对于D，当成立时，一定有，但是成立时，不一定有成立， 所以是的一个充分不必要条件. 故选：D. 7．（多选）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件. 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B：“二次方程有一正根一负根”等价于“”，故B正确； 对C：由“且”可得“”，但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD 8．（多选）已知，那么命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】解不等式得， 解不等式得， 所以的充要条件为，A错误； 记，因为A，A，A， 所以，BD为命题的必要不充分条件，C为命题的充分不必要条件. 故选：BD 9．已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)①；② 【详解】（1）若存在实数m，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件. （2）因为，故，故. 选①：充分不必要条件. 由题意，故，解得，故，即m的取值范围为 选②：必要不充分条件. 由题意，故，解得，故，又，故m的取值范围为. 二、全称量词命题与存在量词命题 10．已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】A 【详解】对于命题p，当时，，所以p为真命题； 对于命题q，由于恒成立，所以恒有. 综上，p和q均为真命题. 故选：A. 11．（多选）下列说法中，以下是真命题的是（    ）． A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．， D．， 【答案】ACD 【详解】对于A：因为方程有实数根，所以存在实数，使，所以A选项是真命题； 对于B：因为素数2不是奇数，所以B选项是假命题； 对于C：因为时有，当时有，所以，，所以C选项是真命题； 对于D：因为当时有，所以，，所以D选项是真命题. 故选：ACD. 12．下列命题中是存在量词命题且该命题的否定是真命题的是（  ） A．有的梯形对角线互相平分 B．三角形都有内切圆 C．， D．， 【答案】A 【详解】解：对于A，“有的”是存在量词，梯形的对角线不可能互相平分，原命题为假命题， 该命题的否定为真命题，故A符合题意； 对于B，原命题是省略了全称量词的全称量词命题，原命题为真命题，其否定为假命题，B不符合题意； 对于C，原命题是存在量词命题，但它是一个真命题，其否定为假命题，C不符合题意； 对于D，原命题是全称量词命题，取，则，原命题为假命题，其否定为真命题，D不符合题意． 故选：A． 13．（多选）下列命题中错误的有（   ） A．存在整数，使得 B．，一元二次方程无实数根 C． D．能被2整除 【答案】ABC 【详解】对于A，由，得为偶数，而是奇数，显然等式不成立，A错误； 对于B，对于一切实数a，方程中，此方程必有实数根，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，，是正奇数， 当为正偶数时，是正偶数，此时能被2整除，D正确. 故选：ABC 14．（多选）下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．， C．若，，且，则，至少有一个大于1 D．若，，则的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A：若，则且，所以，故A正确； 对于B：当时，，故B错误； 对于C：假设，都不大于，即，， 由加法的可加性可得，，与，且，矛盾， 故若，且，则，至少有一个大于，故C正确， 对于D：若，，即，，因为， 所以，故D正确； 故选：ACD 15．（多选）下列命题是真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数x，使 【答案】ABD 【详解】对于A，，，正确； 对于B，所有的正方形都是矩形，正确； 对于C，，，错误； 对于D，因为，所以，即有两个实数x，使，正确. 故选：ABD 16．（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，有实数解 B．， C．某些四边形是正方形 D．长为1，3，4的三条线段可以构成三角形 【答案】BC 【详解】A选项中，只有，即或时，才有实数解，故A不正确； B选项中，若，则，因为，所以解得，令，，且有且，故B正确； C选项中，正方形属于四边形，所以某些四边形是正方形，故C正确； D选项中，三角形两边之差要小于第三边，故D错误； 故选：BC 三、命题的否定 17．命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题可知： 命题“”的否定为“”. 故选：B 18．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D 19．已知命题，则命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得： 命题的否定是. 故选：B. 20．命题的否定是 . 【答案】 【详解】由题意可知，命题 p的否定是: . 故答案为：. 21．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在，函数随x值的增大而减小； (3)，使得． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分． 假设存在梯形的对角线互相对分， 而对角线互相平分的四边形为平行四边形，这与四边形为梯形相矛盾， 所以任意一个梯形的对角线都不互相平分， 所以命题的否定为真命题． （2）该命题的否定：对任意，函数不随x值的增大而减小． 当时，函数随x值的增大而减小，所以命题的否定为假命题． （3）该命题的否定：，． 当，时，， 因此命题的否定为假命题． 四、应用充分条件、必要条件求参数 22．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 所以， 又由，解得， 所以， 因为是的必要不充分条件， 所以集合真包含于， 所以，解得， 经检验，时，，满足题意； 时，，满足题意； 所以实数的取值范围是. 故选:A. 23．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为， 且， 所以由题意可得， 所以，，且等号不同时成立， 所以解得，即实数m的取值范围是． 故答案为：. 24．不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题知是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 25．若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 26．设，，是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因为，，是的充分条件， 所以，则. 所以实数的取值范围. 27．已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】． 【详解】解：因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或或,解得． 即实数的取值范围是． 28．已知，或． (1)若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围； (2)若p是的必要不充分条件，求实数k的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）：，故：， 又因为是的充分不必要条件，所以或， 解得或， 故实数的取值范围为或. （2）:，又是的必要不充分条件， 因为，所以对应的集合不是空集， 所以，解得， 故实数的最大值为. 29．设集合，，． (1)若时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时， 所以或， 又，所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以， 当，即，解得，符合题意； 当时，则，解得， 当时，符合题意， 当时，符合题意， 综上可得实数的取值范围为. 30．已知. (1)若是的必要不充分条件，求实数的范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，不是空集， 因为是的必要不充分条件，所以，解得， 即实数的范围. （2）因为是的必要不充分条件，， 所以是的充分不必要条件，故，解得， 所以实数的范围为. 31．已知：：或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)． 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以，其中等号不能同时取到， 解得，即实数m的取值范围是． 五、充要条件的证明 32．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 33．设集合A，B，求证：是的充要条件． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性 因为，，所以， 所以当成立时，有成立， 故充分性成立． 必要性 因为，所以． 所以当成立时，也有成立， 故必要性成立 所以是的充要条件． 34．证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 【答案】证明见解析. 【详解】证明：充分性： 若，，，， 则等式自然恒成立． 必要性： 由于等式恒成立，分别令、1、、，并代入上式， 得 由此，可得，，，． 故，，，是等式恒成立的充要条件. 35．求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】证明：（1）充分性：由得. 即满足方程. 是方程的一个根 （2）必要性：是方程的一个根， 将代入方程得. 故是一元二次方程的一个根的充要条件 是 36．已知 ，求证：是的充要条件. 【答案】证明见解析 【详解】设，， 先证充分性： ∵， ∴，即， ∵，， ∴，即； 再证必要性： ∵， ∴， ∴； 综上：是的充要条件. 37．证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 【答案】证明见解析 【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下： 当时，， 所以方程有两个不相等的实根， 设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根， 故充分性成立， 必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下： 设方程一正一负根分别为，，则， 所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则， 故必要性成立， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 38．设a，b，．求证：，，的充要条件是，，． 【答案】证明见解析 【详解】证明：（必要性）由，，，显然有，，． （充分性）用反证法：假设，，不成立，则a，b，c中至少有一个不大于0． 由a，b，c的对称性，不妨设 由得，从而由，得，即 故，于是．这与矛盾，于是假设不成立． 因此，，，． 六、由命题的真假求参数 39．已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“”为假命题，则命题的否定“”是真命题， 因为，， 所以，又因为，所以， 故选：C. 40．已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 命题为真时恒成立，，即，， 命题为真时，即 ，解得：或. 命题“且”是真命题时，取交集部分，可得或， 所以命题“且”是假命题时，可得且， 故选： D. 41．（多选）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由命题“”为真命题等价于在上恒成立， 即，因，故有：在上恒成立， 设，因，故得：，则，即得：， 依题意， 应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项. 故选：ACD. 42．已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由命题“，”，可得， 因为命题为真命题，所以； 又由命题“，”，可得，解得或， 因为命题和命题都是真命题，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 43．命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由命题是假命题可知：命题是真命题， 即有：①当时，不等式恒成立； ②当时，须使 解得： 综上所述,可知的范围是 故选：D. 44．若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由“，使得成立”为假命题， 可得“，使得成立”为真命题， 设，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 45．若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知方程无实数解， 所以，解得， 故实数m的取值范围为. 故答案为：. 46．已知全集，集合，集合． (1)若，求实数的范围； (2)若，，使得，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则， 当时，则，， 当时，则，则不存在， 综上，，，实数的范围为． （2），，使得， ，且， 则，， 实数的范围为． 47．已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”． (1)已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，由， 得，即：若为真命题，则； 若为真命题，即恒成立， 则当时，满足题意； 当时，，解得， 故． 故若为假命题，为真命题， 则，解得， 即实数的取值范围为． （2）对于，且． 对于，，则：或． 因为是的充分不必要条件， 所以，解得． 故的取值范围是. 48．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$