2025年中考数学专题复习：等边三角形几何问题解法专题讲解--第一讲 旋转法

等边三角形几何问题解法专题讲解 第一讲 旋转法 旋转法 ①正三角形问题，首选旋转法———构造共顶点的两个正三角形. 1.【8上】【☆☆】正 A、D 在BC同侧,求证:AD=AB. 【法5】正△ADE,蓝黄△≌【SAS】两个α,【对顶点 【同旁等角】Ω=60°,ATF⊥平分 BD 【法 6】同上,略 【法7】黄△∽【AA】蓝△∽【SAS】两个 60°,斜边中线AD=AC=AB 2.【8上】【☆☆】△ABC,∠ABC=30°,正△ACD,∠CBE=120°,BC=BE,求证:AE=BD. 【简释】【旋转法】 【法1】AK=AE,【三线合一】BK=BE=BC,正△CBK,绿黄△≌【SAS】BD=AK=AE 【法2】正△ABK,蓝灰△≌【SAS】,黄△≌【SAS】AE=BD 【法3】正△DBK,绿△≌【SAS】,α+β=270°,灰△≌【SAS】AE=BK=BD 3.【8上】【☆☆】正△ABC,BD=BC,CD、BA 的延长线交于E,AC、BD 交于F,求证:AF=AE+FD. 【简释】α⇒60°+α、60°—2α、60°—α隐形2 倍角(作等腰)〗 【法1】【旋转法】黄△≌【SSS】60°—α⇒FC=FP、BP=BG=AE AF=BP+FD=AE+FD 【法2】【截补法】BG=BF,黄绿△≌【SAS】60°—α,AF=GD=GE=GA+AE=FD+AE 【法3】蓝△≌【SAS】CG=AE=m,∠FGB=60°-α=∠FBG,BF=FG=t FC=t-m,AK=k,AC=k+t-m=BC=BD=t+n,k=m+n(略) 【法4】灰绿△≌【SAS】∠GCE=60°—α,GE=GC=BF=t AB=t-m+k=BD=t+n(略) 4.【8上】【☆☆】△ABC,∠ABC=30°,正△ACM,CN⊥BC,∠BNC=30°,求证:MN=MB. 【简释】 【法1】正△CDE 蓝△≌【SAS】 α=60°,β=120° 黄△≌【SAS】 MN=MB 【法2】绿△≌【SAS】 ∠BWM=90° 中垂线 MW,MN=MB 5.【8上】【☆☆☆】正△ABC外一点D,∠ADC=120°,AD、BC 延长线交于F,E 在AB上,BE=CF,当DG=3,AF=8时,求BD. 【简释】 【法1】【旋转法】正△DCK,△ACK≌△BCD【SAS】两个α,β=60°-α 【法1.1】作ET∥DC,黄△≌【AAS】ET=CK=DC,蓝△≌【AAS】TG=DG=3,令BT=KF=m,6+m=BD=AK=8-m,m=1,BD=7 【法1.2】作∠LCE=60°,CL=CE,△ACL≌△BCE【SAS】AL=BE=FC AL∥CF,三个β、γ,蓝绿△≌【ASA】OA=OF 蓝黄△≌【ASA】GB=OA=4,BD=7 【法 两个α黄△≌【SAS】CP=AF=8,三个α, 中位线GB=0.5CP=4,BD=7 6.【8上】【☆☆☆】△ABC,D在AC上,AB=CD,AB∥ED,∠CAB=∠CBE=60°,求证:△BCE 为正△. 【简释】 【法1】正△ABF,正△FDG,BF=AB=CD⇒BG=CF蓝黄△≌【AAS】BE=BC 【法2】正△ACF,蓝黄△≌【SAS】∠CDF=∠ABC=∠CGB□DEBF,EB=DF=BC 【法3】正△ACF,正△CDG,AB=CD=CG,BF=FG,正△BFG ∠EGB=∠GBF=60°,蓝黄△≌【ASA】BE=BC,正△BCE 7.【8上】【☆☆☆】正△ABM,正△ACN,PM=PN,∠MPN=120°,PA 的延长线交BC于H,求证:∠AHB=90°. 【简释】 【法1】蓝△≌【SSS】DM=AN=AC,∠DMA=α+β=240°—∠MAN=∠BAC灰△≌【SAS】两个γ,PD=PA,∠APD=120°,∠PAD=30°,γ+θ=90° 【法2】菱形 PMQN,黄△≌【SAS】两个θ,蓝△≌【SAS】两个Ω∠BQC=120°,∠QCB=30°,∠HAC=α,∠QCN=∠PAN=120°-α∠BCN=150°—α,∠ACH=90°—α,故∠AHB=90° 【法3】灰△≌【SSS】,绿△≌【SAS】QC=PA=QB,∠BQC=120°,∠QCB=30°∠HAC=γ,∠QCA=∠PAN=120°-γ,∠ACH=90°—γ,∠AHB=90° 8.【8上】【☆☆☆☆】正△ABC,D、E在BC上,AD=AE,∠EAG=60°,GD∥AC交AB于F,求证:AB+BD=GD+GE. 【简释】△ADB≌△AEC【AAS】BD=EC,两个θ、(60°+θ)、三个θ 【法1】易证AF=DC=BE,作FP=AB,灰黄△≌【SAS】AP=AE=AD∠PAF=∠AEB=60°+θ,∠PAG=60°,△PAG≌△EAG【SAS】GE=GP=FP--FG=AB-(GD-FD)=AB-GD+BD故AB+BD=GE+GD 【法2】AF=DC=BE,作BN=FG,黄△≌【SAS】EN=AG,∠BEN=θ ∠AEN=60°,△AEN≌△EAG【SAS】 GE=AN=AB-BN=AB-GF(略) 【法3】【对角互补，外角等于内对角】【等腰法】作AQ=AG 4 个 G 灰黄△≌【SAS】GE=QD,△AQM≌△AGF【AAS】 MQ=GF,GE=QD=MD-MQ=AB-GF(略) 9.【8上】【☆☆☆☆】Rt△ABC,∠ABC=90°,正△ABD,正△ACE,EF⊥AB 于F,EF分别交AC、AD于G、H,CG=CH,求∠ACH. 【简释】 令∠BAC=α,β=90°—α,∠ACH=2α 作GK=HE,蓝△≌【SAS】 ∠KCH=∠ECA=60° ∠KCA=60°—2α,CK=CE=CA ∠CAK=60°+α,∠KAF=60° ∠AKF=30°=∠AHF,AK=AH ∠KAH=120°,【对角互补旋转法】 作 HL=KC,灰△≌【SAS】 AL=AC,60°—2α=2α,∠ACH=30° 10.【8下】【☆☆】A( ₃,0),B(0,2),正 ,则C 点的坐标是( ). 【简释】 【法 1】【旋转法】绿 中垂线 CE,中垂线 CF 【法 2】灰 梯形中位线 (略) 11.【☆☆☆】四边形 ABCD,正△ 求 BD. 【简释】【旋转法】 【法1】正△CDE,黄. ,中垂线 EH 灰△≌【ASA】DF=FB,中位线FH∥BC,∠BCD=90°,CD=2,BD 【法2】正△BDE,黄△≌【SAS】三个γ, ,灰△≌【SAS】 【法3】正△BDE,黄△≌【SAS】α+β═60°=∠DCF,FC=m,FD FE=2m=DC,蓝灰△ 、 12.【☆☆☆☆】正△ABC,D 在BC 中垂线上,∠ABD═90°,E、F 分别在BD、DC 的延长线上,∠EAF=30°,BC、AF 的延长线交于P, 求 CF. 【简释】 【同旁 30°】两个α 灰△∽【AA】DE==5 【△DEF 构型“587”】DF═8 BQ=CF=m,蓝△≌【SAS】 AQ=AF,∠FAQ=60° △AEF≌△AEQ【SAS】 EQ=EF=7,DQ=2 CD=BD=m+2 2m+2=DF=8,m=3 13.【☆☆】四边形ABCD,AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,(1)连接 DB,试确定DA、DB、DC三者的数量关系;(2)AB=1,点 E 在四边形ABCD 内部运动,且 ，求E 的路径长. 【简释】 【旋转法】∠BAD+∠BCD=270° (1)作正△BDP,蓝 (2)作正△AEF,黄 ∠AFB=150°=∠AEC,△AEC外接圆G,正△AGC,E 的路径长 说明〗只要E 在内部，且 EA、EB、EC 为勾股数，E 必在半径为1的圆上∠AEC=150°,或者∠AEB=150°,或者∠BEC=150°. 学科网（北京）股份有限公司 $$