精品解析：2024年浙江省初中学业水平考试模拟试卷数学试题

浙江省2024年初中学业水平考试模拟试卷 数学 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必使用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、准考证号等信息． 3．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑． 卷I说明：本卷共有1大题，10小题、共30分．请用2B铅笔在“答题卷”上将你认为正确的选项对应的小方枢涂黑、涂满． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在，0，2，中选一个数与10相加使结果最小，应选（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法和大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先分别计算，再比较即可． 【详解】解：，，，， ∵， 故选：D． 2. 如图是一个五金零件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查三视图，解题关键是具备空间想象能力． 根据三视图的概念，通过空间想象直接判断即可． 【详解】根据题意得，它的主视图是 故选：C． 3. 转动转盘（如图），指针停留在无理数区域的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率，根据概率公式计算即可求解，掌握概率的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由转盘可知，转盘上共有个数，其中无理数有个， ∴指针停留在无理数区域的概率是， 故选：． 4. 不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则另一个不等式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及数轴的表示，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出的解集为，由数轴可得不等式组的解集为，故另一个不等式的解集为，，再从选项出发求解即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴可得不等式组的解集为， ∴另一个不等式的解集为，， A、，，故本选项不符合题意； B、，，故本选项不符合题意； C、，，故本选项符合题意； D、，，故本选项不符合题意， 故选：C． 5. 如图，在中，，将线段绕着点C顺时针旋转，点A的对应点D正好在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边对等角以及三角形内角和可求，而，故． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和，外角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 6. 一次函数与二次函数的交点个数为（ ）． A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，求出方程的的值，据此即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一次函数和二次函数的交点个数的关系是解题的关键． 【详解】当时， 整理得，， ∵， ∴一次函数与二次函数的交点有个交点， 故选：． 7. 某商场销售两种亚运会吉祥物纪念章，已知A种纪念章买两盒送一盒，每盒62元；B种纪念章打九折，原价每盒90元，东东需要的3盒A种纪念章和2盒B种纪念章共需（ ） A. 366元 B. 348元 C. 286元 D. 304元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，先列式，再计算即可． 【详解】解：由题意可得：东东需要的3盒A种纪念章和2盒B种纪念章共需 （元）， 故选：C． 8. 如图，D是的边上一点，且，过点D作，交于点E，取线段的中点F，连接．若，则中边上的中线长为（ ） A. 2 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线的定义，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 证明出，得到，即可求解． 【详解】解：取中点为H，连接，则为边上的中线， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵线段的中点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，依次是残破镜子上的三个点，弓形的弦的长为，，则这个镜子的直径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，设点为圆的圆心，连接，过点作于，由等腰三角形的性质可得，，又由圆周角定理可得，得到，最后解直角三角形即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设点为圆的圆心，连接，过点作于，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴镜子的直径长为， 故选． 10. 如图，在直角梯形中，，，E为的中点，F为线段上的动点，连结，将沿折叠得到．在点F从点B运动到点C的过程中，若射线与上底相交于点P，则点P相应运动的路径长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，则，，由翻折得，，继而可得，则，故，因此，代入求解得，因此． 【详解】解：∵在直角梯形中，，，， ∵点E为中点， ∴， 由翻折得，， ∴， 当点P与点D重合时，此时点F位置如图， 当点F与点C重合时，长即为点P的运动路径长，如图， 此时，连接， ∵，， ∴， ∴，， 由翻折得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12. 若扇形的弧长为，圆心角为，则它的半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，掌握弧长公式：是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故答案：． 13. 如图，在矩形中，，，点E在线段上，．连结，二者相交于点F，连结，与相交于点G，则___________． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，是解决本题的关键． 在中，由勾股定理，由，得到，故，而，则，故，因此． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴在中，由勾股定理， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸选镜所成的虚像，已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距为，则像的高为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得：，先证明字模型相似，从而可得，进而得到，然后再证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴像的高为， 故答案为：． 15. 如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，正确理解题意，找出规律是解题的关键． 当第50次时，共计走了条边，由题意得，从点A出发，走8条边即可回到点A，故，因此第50次时，相当于绕八边形159圈后回到点A，再顺时针走3条边，即到达顶点F，故第50次走到顶点F． 【详解】解：第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走50条边长，故当第50次时，共计走了条边， 由题意得，从点A出发，走8条边即可回到点A， ∴， ∴第50次时，相当于绕八边形159圈后回到点A，再顺时针走3条边，即到达顶点F， ∴第50次走到顶点F， 故答案为：F． 16. 如图2是东东用图1中的七巧板拼成的数字5，A，B，C均是七巧板中直角三角形和正方形的顶点，连结与的夹角为，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质及勾股定理对图中数据进行标记，过点B作的平行线，延长与之交于交于点M，N，可得，则，故，由题意得，，则，由题意得，，，则，故，，由得，则． 【详解】解：如图1，在正方形中，， 设， 则在中，由勾股定理得， 则由题意可将图中线段作出标记数据， 如图2，过点B作的平行线，延长与之交于交于点M，N， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共有8小题，共72分） 17. 如图是小明一道题计算过程： （1）请用下划线划出小明计算出错的地方． （2）请写出正确的计算过程． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据解答过程即可判断求解； （2）根据实数的运算法则进行即可即可求解； 本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， ． 18. 如图，在6×6的方格纸中，点A，B均在格点上，试按要求画出相应的格点图形（每小题只需画一个）． （1）在图1中作一条线段，使它与互相垂直平分． （2）在图2中作一个，使它是轴对称图形，且符合． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）连接，则，故四边形是菱形，因此与互相垂直平分，故即为所求； （2）由勾股定理得，，，故，，所以为等腰直角三角形，故为轴对称图形，则，故即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 连接， 则， ∴四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， 故即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ∵，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形，故为轴对称图形， ∴， 故即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 19. 在平面直角坐标系中，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的抛物线的顶点C在线段上（不包括点B）． （1）求b，c的值 （2）当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，将点B代入得，，则，故，由于顶点C在线段上（不包括点B），则，解方程即可； （2）把b，c代入，得：，即，转化为或，解不等式组即可． 小问1详解】 解：当，则， 解得，， ∴， 当，， ∴， 将点B代入 得，， ∴， ∴， ∵顶点C在线段上（不包括点B）， ∴， 解得：或（舍）； 【小问2详解】 解：把b，c代入， 得：， ∴， ∴或， 分别解得：或． 20. 为了落实“双减”政策．某校进行了课时作业分层设计课题研究，分别在A，B，C三个班开展比对实验．A班没有开展分层作业设计，B班开展“好、差”两层分层设计，C班开展“好、中、差”三层分层及个别学生特殊布置设计．一段时间后对实验前、后开展的前测和后测（难度、题型、总分相同的试卷，满分100分）数据进行整理比对，如表1和表2． 表1：前测数据 测试分数 A班（常态班） 28 9 9 3 1 B班（实验班） 25 10 8 2 1 C班（实验班） 26 9 8 1 2 表2：后测数据 测试分数 A班（常态班） 14 16 12 6 2 B班（实验班） 6 8 11 18 3 C班（实验班） 4 6 9 22 5 （1）请选择一种适当的统计量，分别比较A，B，C三个班的后测数据 （2）通过分析前测、后测数据，请对该校开展的课时作业分层设计实验效果进行评价． 【答案】（1）从中位数看，C班成绩最好，其次是B班，再是A班（答案不唯一） （2）从中位数看，作业分层越精细，成绩越好，故该校开展的课时作业分层设计实验效果显著（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了从表格中获取信息，中位数的理解，根据中位数分析，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）从中位数看，A班中位数在这一范围，B班中位数在这一范围，C班中位数在这一范围，那么C班成绩最好，其次是B班，再是A班； （2）从中位数看，作业分层越精细，成绩越好，故该校开展的课时作业分层设计实验效果显著． 【小问1详解】 解： A班共计50人，中位数是第25，26名同学的成绩的平均数，故中位数在这一范围，B班共计46人，中位数是第23，24名同学的成绩的平均数，故中位数在这一范围，C班共计46人，中位数是第23，24名同学的成绩的平均数，故中位数在这一范围， ∴从中位数看，C班成绩最好，其次是B班，再是A班； 【小问2详解】 解：从中位数看，作业分层越精细，成绩越好，故该校开展的课时作业分层设计实验效果显著． 21. 如图1是一手机直摇专用支架，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． （1）如图2，当支杆与地面垂直，悬杆与支杆之间的夹角且的长为时，求手机悬挂点D距离地面的高度． （2）在图2，所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得，同时调节的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为，求的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作于点E，解，得到，故； （2）过点D作的平行线交地面于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足为，过点C作于点H，设，分别解中，得，而，解中，得，由题意得，，故，解得． 【小问1详解】 解：过点D作于点E， ∵中，， ∴， ， 由题意得，， ∴点D距离地面的距离与相等，即为； 【小问2详解】 解：过点D作的平行线交地面于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足为，过点C作于点H，设， 由题意得，四边形，矩形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 由题意得，, ∴， ∴， 解得， 答：的长约为． 22. 已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且． （1）如图，求证：． （2）在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． （3）如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）由得，即得，得到，进而即可求证； （）．由（）得，，再利用即可求证； （）如图，连接，由垂直得，同理（）可得，得到为等腰直角三角形，即得，进而得，利用勾股定理得，设，，可得，，利用完全平方公式可得，得到，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：． 证明：由（）得，， 在和中， ， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， 同理（）可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，等角对等边，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，完全平方公式，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图1，在正方形中，，的边分别与对角线相交于点P，Q，请说明． 尝试解决： （1）小明给出了以下思路：将绕点A逆时针旋转得到，使与重合，连结，请帮小明完成解题过程． 类比探究： （2）如图2，在正方形内作，使与相交于点与相交于点Q，连结．已知，，求的面积． 拓展应用： （3）如图3，在长方形中，，，，P是上一点，Q是上一点，连结，求的面积的最小值． 【答案】（1）见详解；（2）15；（3） 【解析】 【分析】（1）可证明，，则，由于在中，，故； （2）延长至点G，使得，连接，则可得， 同（1）可证明，故，设正方形边长为a，则，在中，由勾股定理得，，解得，，故； （3）延长至点，使得，连接，先证明，则，，同上可得，，过点P作，故，可得，作的外接圆，记为，连接，作，则，设的半径为r，则，，由，得到，故，因此，故，则． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； （2）解：延长至点G，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同（1）可证明， ∴， 设正方形边长为a，则， ∴在中，由勾股定理得，， 解得，， ∴； （3）解：延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， 同上可得，， 过点P作， ∴， ∴， 作的外接圆，记为，连接，作， ∵， ∴， 设的半径为r， ∴在中，由勾股定理可得，， ∵，， ∴点H为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点 ，熟练掌握知识点，正确添加辅助线，识别“定角定高”模型求面积最值是解决本题的关键． 24. 如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点． （1）求的面积． （2）在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标． （3）如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积． 【答案】（1）15 （2）、、、 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，由，解得，，再由即可求解； （2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，，①当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，则，求得经过点N的反比例函数的表达式为，设，当，联立，可求，当，则，得到，解得：或（舍），则，当时，此种情况不存在；②当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，此时也为矩形，此时，同上可求反比例函数的表达式为，当，联立，解得，则，当时，此时点与点N重合，则，当时，此种情况不存在，综上所述，点D的坐标为：、、、； （3）设点，，当点E在上时，由题意可得，，因此， 所以，，，故；当点E在上时，同理可得． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由，解得或， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，，即， 设， ①当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形， 有， 解得， ∴， 代入得， ∴反比例函数的表达式为，设，如图， 当，联立， 解得， ∴， 当，则， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 当时，要使为直角三角形， 则， ，该方程无实数根， ∴不存在这样的在上，此种情况不存在； ②当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，此时也为矩形， 有， 解得， ∴， 同上可求反比例函数的表达式为，如图， 当，联立， 解得， ∴， 当时，此时点与点N重合， ∴， 当时，同①：此时不存在这样的点在上，此种情况不存在； 综上所述，点D的坐标为：、、、； 【小问3详解】 解：如图， 设点， ∵轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点， ∴， 当点E在上时，由题意可得，， ∴， ∵， ，， ∴； 当点E在上时，同理可得， 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，待定系数法求函数解析式，反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，平行四边形的存在性问题，直角三角形的存在性问题，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义等，难度很大，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省2024年初中学业水平考试模拟试卷 数学 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必使用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、准考证号等信息． 3．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑． 卷I说明：本卷共有1大题，10小题、共30分．请用2B铅笔在“答题卷”上将你认为正确的选项对应的小方枢涂黑、涂满． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在，0，2，中选一个数与10相加使结果最小，应选（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 如图是一个五金零件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 转动转盘（如图），指针停留在无理数区域的概率是（ ）． A. B. C. D. 4. 不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则另一个不等式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将线段绕着点C顺时针旋转，点A的对应点D正好在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数与二次函数的交点个数为（ ）． A. B. C. D. 不确定 7. 某商场销售两种亚运会吉祥物纪念章，已知A种纪念章买两盒送一盒，每盒62元；B种纪念章打九折，原价每盒90元，东东需要的3盒A种纪念章和2盒B种纪念章共需（ ） A. 366元 B. 348元 C. 286元 D. 304元 8. 如图，D是的边上一点，且，过点D作，交于点E，取线段的中点F，连接．若，则中边上的中线长为（ ） A 2 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，依次是残破镜子上的三个点，弓形的弦的长为，，则这个镜子的直径长为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在直角梯形中，，，E为的中点，F为线段上的动点，连结，将沿折叠得到．在点F从点B运动到点C的过程中，若射线与上底相交于点P，则点P相应运动的路径长为（ ） A. B. 5 C. D. 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____ 12. 若扇形的弧长为，圆心角为，则它的半径为___________． 13. 如图，在矩形中，，，点E在线段上，．连结，二者相交于点F，连结，与相交于点G，则___________． 14. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸选镜所成的虚像，已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距为，则像的高为_______． 15. 如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点__________． 16. 如图2是东东用图1中的七巧板拼成的数字5，A，B，C均是七巧板中直角三角形和正方形的顶点，连结与的夹角为，则的值是__________． 三、解答题（本题共有8小题，共72分） 17. 如图是小明一道题的计算过程： （1）请用下划线划出小明计算出错地方． （2）请写出正确的计算过程． 18. 如图，在6×6的方格纸中，点A，B均在格点上，试按要求画出相应的格点图形（每小题只需画一个）． （1）在图1中作一条线段，使它与互相垂直平分． （2）在图2中作一个，使它是轴对称图形，且符合． 19. 在平面直角坐标系中，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的抛物线的顶点C在线段上（不包括点B）． （1）求b，c的值 （2）当时，请直接写出x的取值范围． 20. 为了落实“双减”政策．某校进行了课时作业分层设计课题研究，分别在A，B，C三个班开展比对实验．A班没有开展分层作业设计，B班开展“好、差”两层分层设计，C班开展“好、中、差”三层分层及个别学生特殊布置设计．一段时间后对实验前、后开展的前测和后测（难度、题型、总分相同的试卷，满分100分）数据进行整理比对，如表1和表2． 表1：前测数据 测试分数 A班（常态班） 28 9 9 3 1 B班（实验班） 25 10 8 2 1 C班（实验班） 26 9 8 1 2 表2：后测数据 测试分数 A班（常态班） 14 16 12 6 2 B班（实验班） 6 8 11 18 3 C班（实验班） 4 6 9 22 5 （1）请选择一种适当统计量，分别比较A，B，C三个班的后测数据 （2）通过分析前测、后测数据，请对该校开展的课时作业分层设计实验效果进行评价． 21. 如图1是一手机直摇专用支架，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节长度． （1）如图2，当支杆与地面垂直，悬杆与支杆之间的夹角且的长为时，求手机悬挂点D距离地面的高度． （2）在图2，所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得，同时调节的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为，求的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 22. 已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且． （1）如图，求证：． （2）在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． （3）如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 23. 如图1，在正方形中，，的边分别与对角线相交于点P，Q，请说明． 尝试解决： （1）小明给出了以下思路：将绕点A逆时针旋转得到，使与重合，连结，请帮小明完成解题过程． 类比探究： （2）如图2，在正方形内作，使与相交于点与相交于点Q，连结．已知，，求的面积． 拓展应用： （3）如图3，在长方形中，，，，P是上一点，Q是上一点，连结，求的面积的最小值． 24. 如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点． （1）求的面积． （2）在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标． （3）如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $