精品解析：2024年浙江省杭州市数学学业水平考试模拟A试题

2024年杭州市初中学业水平考试模拟卷A数学 考生须知： 1.本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2.答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5.考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 试题卷 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 第届杨柳青国潮灯展主题活动引爆假日文旅市场，春节期间累计接待游客人次．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 多项式因式分解为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形的相邻两边的长分别是和，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点P位于x轴下方，距离x轴a个单位长度，位于y轴右侧，距y轴b个单位长度，且，则点P的坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点是的圆心，点A、B、C、D在上，为的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A B. C. D. 0 8. 已知二次函数图象上两点和，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 某数学兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年3月份连续6天的最低气温（单位：）：11，12，14，12，16，13．关于这组数，下列结论不正确的是（　　） A. 平均数是13 B. 众数是12 C. 中位数是 D. 方差是3 10. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算的结果是________． 12. 如图，在四边形中，，对角线交于点，若的面积为，的面积为，则的面积是______． 13. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和白球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，若白球有9个，则红球有_____________个． 14. 如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为__________（结果保留）． 15. 饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________． 16. 如图，在中，边在x轴上，边交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点D，与对角线交于点F．若，则k的值为_______ 三、解答题：（本大题有7个小题，共66分） 17. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 18. 2023年4月23日是第28个世界读书日．学校为营造“爱读书、多读书、读好书”浓厚氛围，开展了“书香校园，阅读有我”的读书活动．在5月份，为了解九年级学生的读书情况，随机调查了九年级40名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析： 数据收集 2 5 3 5 4 6 1 5 3 4 2 2 3 3 4 4 4 4 3 4 4 5 6 7 3 6 7 5 8 3 4 7 3 4 6 5 5 5 7 8 数据整理 本数 组别 频数 4 12 n 数据分析 绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图： 依据统计信息回答问题： （1）在统计表中，______；在条形统计图中，补全组别B的条形图示． （2）在扇形统计图中，C部分对应圆心角的度数为______度； （3）若该校九年级学生人数为240人，请根据上述调查结果，估计该校九年级学生读书在4本以上的人数． 19. 如图，在中，的平分线交于点D，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 21. 如图，在中，点E是中点．点F是中点．连接平分． （1）求证：四边形是菱形： （2）连接，与交于点O，连接．若，，求长． 22. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … （1）求该二次函数表达式； （2）将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 23. 如图，以为直径作，过点作的切线，连接，交于点，点是边的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年杭州市初中学业水平考试模拟卷A数学 考生须知： 1.本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2.答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5.考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 试题卷 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 第届杨柳青国潮灯展主题活动引爆假日文旅市场，春节期间累计接待游客人次．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：用科学记数法将数据表示为， 故选：C． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 3. 多项式因式分解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故选；C． 4. 如图，矩形的相邻两边的长分别是和，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的性质是解题的关键． 连接，根据勾股定理求得到，，即可计算周长． 【详解】解：解：连接、， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E、H分别是、的中点， ∴，， 同理，，， ∴∴四边形的周长， 故选A． 5. 已知点P位于x轴下方，距离x轴a个单位长度，位于y轴右侧，距y轴b个单位长度，且，则点P的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，利用x轴下方，y轴右侧得出点位于第二象限，再利用到坐标轴的距离得出点的坐标．先利用，得到，，求出，，再利用点P位于y轴右侧，x轴下方，得到P点在第四象限．从而利用坐标特点求出点P的坐标即可． 【详解】∵， ， ∴，． ∵点P位于y轴右侧，x轴下方， ∴P点第四象限． 又∵点P距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度， ∴点P的横坐标为2，纵坐标为-4，即点P的坐标为． 故选：A． 6. 如图，点是的圆心，点A、B、C、D在上，为的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．先根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数． 【详解】解：为的直径， ， ， ， 故选：B． 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，二次根式化简，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 由数轴可知，，所以，化简即可解答． 【详解】解：由数轴可知，， ， ． 故选：A． 8. 已知二次函数图象上的两点和，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数的图象及二次函数上点的坐标特征，先确定抛物线的开口方向和对称轴，找到关于对称轴对称的点的横坐标，结合可求出的取值范围 【详解】解： ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， 又两点分别为和，且， 所以，可得关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴开口向上，且， ∴的取值范围是， 故选：C 9. 某数学兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年3月份连续6天的最低气温（单位：）：11，12，14，12，16，13．关于这组数，下列结论不正确的是（　　） A. 平均数是13 B. 众数是12 C. 中位数是 D. 方差是3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数，求方差，求中位数和众数，熟知平均数，求方差，中位数和众数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、这组数据的平均数为，原结论正确，不符合题意； B、∵12出现了2次，出现的次数最多， ∴众数为12，原结论正确，不符合题意； C、把这组数据从小到大排列为11，12，12，13，14，16，处在最中间的两个数数12和13，则中位数为，原结论正确，不符合题意； D、方差为，原结论错误，符合题意； 故选：D． 10. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，由题意得，解得，即可求解． 【详解】解：过点D作交的延长线于点N， 由题意可得，两个正方形之间是4个相等的三角形， 设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x， 即，，， 由题意得，，解得， 在中，，则， ， 则， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，确定a、b和x之间的关系是解题的关键． 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，先利用算术平方根的定义求出，然后计算解法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，，对角线交于点，若的面积为，的面积为，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离相等，三角形的面积，由可得点、点到的距离相等，即得，进而得到，求出即可求解，掌握平行线之间的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点、点到的距离相等， ∴， ∴， 即， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和白球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，若白球有9个，则红球有_____________个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了概率简单计算，解决本题的关键在于熟练掌握概率公式，概率所求情况数与总情况数之比．先求出摸到白球的概率，即可求出口袋中球的总个数，即可求出红球的个数． 【详解】解：摸到红球的概率为， 摸到白球的概率为， 白球有9个， 口袋中球的总个数为：（个）， 红球的个数为：（个）， 故答案为：6． 14. 如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到，结合，得到，，根据侧面积公式计算即可，被看出来圆锥侧面积计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 16. 如图，在中，边在x轴上，边交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点D，与对角线交于点F．若，则k的值为_______ 【答案】4 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设点，则，．证明，结合相似三角形的性质以及可得，再证明，结合相似三角形的性质以及可得，即有，然后根据，可求得的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图 设点则 轴 又 轴，轴， 又 点F的纵坐标为 轴 点H横坐标为， 是对角线，， 即 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、反比例函数的图象与性质等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 三、解答题：（本大题有7个小题，共66分） 17. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 【答案】（1），另一个根为2 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查方程根的定义、解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明． 小问1详解】 解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为2； 【小问2详解】 ，，， ， 不论为何值时，方程总有两个实数根． 18. 2023年4月23日是第28个世界读书日．学校为营造“爱读书、多读书、读好书”浓厚氛围，开展了“书香校园，阅读有我”的读书活动．在5月份，为了解九年级学生的读书情况，随机调查了九年级40名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析： 数据收集 2 5 3 5 4 6 1 5 3 4 2 2 3 3 4 4 4 4 3 4 4 5 6 7 3 6 7 5 8 3 4 7 3 4 6 5 5 5 7 8 数据整理 本数 组别 频数 4 12 n 数据分析 绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图： 依据统计信息回答问题： （1）在统计表中，______；在条形统计图中，补全组别B的条形图示． （2）在扇形统计图中，C部分对应圆心角的度数为______度； （3）若该校九年级学生人数为240人，请根据上述调查结果，估计该校九年级学生读书在4本以上的人数． 【答案】（1）18，图形见解析； （2）108； （3）读书在4本以上的人数大约有108人． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，理解样本和总体的关系． （1）由随机调查的九年级40名学生读书数量的数据直接得出m的值； （2）根据读书数量在C组对应人数求出百分比再乘以360︒即可得到对应的圆心角； （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可． 【小问1详解】 由条形统计图可得： 【小问2详解】 解：，， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵40人中共有名学生读书在4本以上， ∴（人） 答：该校八年级学生读书在4本以上的人数为108人． 19. 如图，在中，的平分线交于点D，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】（1）答案见解析 （2）242 【解析】 【分析】对于（1），先根据定义说明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质得，即可得出，进而得出答案； 对于（2），先说明四边形是正方形，再求出，进而求出答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由是： ，， 四边形是平行四边形. 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 【小问2详解】 ， 四边形是正方形， ∴. ， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 四边形的面积为∶． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题； （1）将代入，即可确定，将点代入可确定点坐标，将，坐标代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【小问1详解】 解：将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 一次函数的表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． 21. 如图，在中，点E是中点．点F是中点．连接平分． （1）求证：四边形是菱形： （2）连接，与交于点O，连接．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形及F是AD中点，E是BC中点，可得四边形AECF是平行四边形，再根据EF平分∠AEC，易证得，则可得，继而证得结论； （2）过点O作于点G，由三角形面积公式可求的长，勾股定理可求，的长，的长即可求解. 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴， ∵F是AD中点，E是BC中点 ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 ∵EF平分∠AEC ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形AECF是菱形 【小问2详解】 解：∵四边形AECF是菱形 ∴，， ∵，， ∴ ∴， 过点O作于点G， ∵， 即 ∴， ∵ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形，三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，作出辅助线，用好数形结合的思想. 22. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … （1）求该二次函数的表达式； （2）将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键． （1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式； （2）写出关于x轴对称的顶点坐标，即可求二次函数的解析式． 【小问1详解】 解：由表格可知，二次函数经过点， 所以该抛物线的对称轴为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为 将代入得：； 即 将代入得： 【小问2详解】 解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得 ， 即． 23. 如图，以为直径作，过点作的切线，连接，交于点，点是边的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由切线的性质可得，再由直角三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据三角函数解答即可． 【小问1详解】 证明：∵是的切线， ∴． ∵点是边的中点， ∴． ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，， ∴，， 连接． ∵为直径作， ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴．， ∵点是边的中点， ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$