精品解析：2024年上海市彭浦第三中学九年级下学期临考模拟卷（B卷）

2024学年上海市彭浦三中九下临考模拟卷B卷 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共24分） 1. 下列说法正确的数量为（ ） （1）平均数能反映一组数据中每一个数值的作用 （2）一组数据中的数据数值的改变会改变平均数，但不会改变中位数． （3）若数据只有1个个体，那么该数据没有中位数和众数 （4）在不运用π本身情况下，用有限加减乘除及根式运算可以得出π的值的概率为0 （5）方差与标准差不会因一组数据中数据的数值的加减而改变 （6）从数学平均分为130分，人数为24人的班级中，随机抽选5张试卷，恰好分数都为80分，则该样本即便是随机抽取的结果，也不能代表总体水平． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 分别选取下列图形进行作图，画出来的图形为中心对称图形是必然事件的数量为（ ） （1）平行四边形；（2）菱形；（3）矩形；（4）梯形；（5）等腰梯形；（6）直角梯形；（7）等腰三角形；（8）等边三角形；（9）直角三角形；（10）等腰直角三角形 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 分别选取下列图形进行作图，画出来的图形为中心对称图形是不可能事件的数量为（ ） （1）平行四边形；（2）菱形；（3）矩形；（4）梯形；（5）等腰梯形；（6）直角梯形；（7）等腰三角形；（8）等边三角形；（9）直角三角形；（10）等腰直角三角形 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 下列关于函数说法错误的个数为（ ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列关于矩形的说法有误的数量是（ ） （1）矩形的对角线交点到四个顶点的距离相等 （2）矩形的对角线交点到四条边的距离不相等 （3）过矩形对角线交点，向四边作高与四边交点，则四个交点连成的图形是菱形 （4）矩形对角线互相垂直是随机事件，概率为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 7. 下列事件为随机事件的个数是（ ） （1）梯形的对角线平分一组对角；（2）平行四边形的对角线平分一组对角；（3）梯形的对角线互相垂直；（4）直角三角形的斜边大于直角边 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共48分） 8. =_____． 9. 一个正多边形的中心角为，则它的半径与边心距之比和对角线条数与一个外角度数之比的乘积为_____． 10. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为______米． 11. 关于x的方程：，有两个相等实数根，则______，有两个不相等实数根，k的取值范围为______，两根之和为______，两根之积为 ______． 12. 已知抛物线，当抛物线经过一，二，三象限时，需满足_______，当抛物线经过一，二，四象限时，需满足_______． 13. 在矩形中，，点O在对角线上，圆O半径为2，若圆O与矩形各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是_______． 14. 在正方形中，E是边中点，将沿直线翻折，点A落在点F处，连接，则______． 15. 在和中，，点M，N分别在边和边上，使得，则______． 16. 新定义：正n边形最短对角线与最长对角线长度的比值为正n边形的特征值，则n的取值范围为_______，正六边形的特征值为______． 17. 已知在中，，．将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处．延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于___________． 18. 在矩形中，，E，F分别为边上的动点，连接，，将沿折叠，使得点D的对应点G落在边上，连接，将沿折叠，点B对应点为H，A，H，G三点共线，则的值为_______． 三、解答题（本大题共78分） 19. 今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 20. 中国石化推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，单价优惠0.3元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完，且油价一直不变． （1）某人购买一张加油卡，他实际支付了多少元？ （2）设油的原价为x元/升，优惠后油的单价为y元/升，求y关于x的函数解析式 （3）油的原价是元/升，求：优惠后油的单价比原价少多少元（保留2位有效数字）． 21. 如图，在中，，圆O是的外接圆，的延长线交边于D． （1）当是等腰三角形时，求：的余弦值； （2）当时，求：边的长． 22. 环境保护局统计了2013年世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A，B，C三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得数据整理后绘成如下条形统计图． （1）在A出口被调查游客中，购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的_____，请绘制扇形图，表示A出口被调查游客购买饮料数量以及对应的人数比例．扇形图的优势是_________． （2）小敏认为，由（1）可知，在A出口购买不少于2瓶饮料的游客的质量占全部A出口被调查游客质量的质量分数，也约为购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的百分比，你认为她的说法对吗，请说明理由． （3）已知B，C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表所示，若C出口的被调查人数比B出口的被调查人数多2万，且B，C两个出口的被调查游客在园区内公购买了49万瓶饮料，B出口的被调查游客人数是多少？ 出口 B C 人均购买饮料数量/瓶 3 2 （4）为给配合，参与调查的游客给予一定奖励，环境保护局决定给从B，C出口离开的游客发放可乐和冰红茶，已知可乐的单价为2元，冰红茶的价格为3元，选择要可乐的人比选择冰红茶的人数少1万人，那么环境保护局准备了多少资金来购买可乐和冰红茶？ 23. 如图1，分别是的内角的平分线且，过A作，交延长线于E． （1），求证：A，D，C，E四点共圆； （2）如图2，若，求的余角的正切值； （3）若与相似，请直接写出的正弦值以及其对应的值． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线解析式及点D坐标； （2）点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； （3）如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 25. 如图，是半圆O的直径，弦，动点P，Q分别在线段上，且，的延长线于射线交于E，与弦交于F（点F与C，D不重合），，，设，面积为y． （1）求证：； （2）求y关于x的函数解析式及其定义域； （3）当是直角三角形时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年上海市彭浦三中九下临考模拟卷B卷 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共24分） 1. 下列说法正确的数量为（ ） （1）平均数能反映一组数据中每一个数值的作用 （2）一组数据中的数据数值的改变会改变平均数，但不会改变中位数． （3）若数据只有1个个体，那么该数据没有中位数和众数 （4）在不运用π本身情况下，用有限加减乘除及根式运算可以得出π的值的概率为0 （5）方差与标准差不会因一组数据中数据的数值的加减而改变 （6）从数学平均分为130分，人数为24人的班级中，随机抽选5张试卷，恰好分数都为80分，则该样本即便是随机抽取的结果，也不能代表总体水平． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位线、个体、概率、方差与标准差、抽样等知识点，理解相关定义成为解题的关键． 根据平均数、中位线、个体、概率、方差与标准差、抽样的定义逐个判断即可． 【详解】解：（1）平均数能反映一组数据中每一个数值的作用，说法正确； （2）一组数据中的数据数值的改变会改变平均数，也可能改变中位数，故错误． （3）若数据只有1个个体，那么该数据中位数和众数均为其本身，故错误； （4）在不运用π本身情况下，用有限加减乘除及根式运算可以得出π的值的概率为0,说法正确； （5）方差与标准差不会因一组数据中数据的数值的加减而改变，说法正确； （6）从数学平均分为130分，人数为24人的班级中，随机抽选5张试卷，恰好分数都为80分，则该样本即便是随机抽取的结果，也不能代表总体水平，说法正确． 综上，正确的有4个． 故选D． 2. 分别选取下列图形进行作图，画出来的图形为中心对称图形是必然事件的数量为（ ） （1）平行四边形；（2）菱形；（3）矩形；（4）梯形；（5）等腰梯形；（6）直角梯形；（7）等腰三角形；（8）等边三角形；（9）直角三角形；（10）等腰直角三角形 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，逐个进行判断即可． 【详解】解：（1）平行四边形是中心对称图形； （2）菱形是中心对称图形； （3）矩形是中心对称图形； （4）梯形不是中心对称图形； （5）等腰梯形不是中心对称图形； （6）直角梯形不是中心对称图形； （7）等腰三角形不是中心对称图形； （8）等边三角形不是中心对称图形； （9）直角三角形不是中心对称图形； （10）等腰直角三角形不是中心对称图形； 综上：是中心图形的有（1）（2）（3）， ∴画出来的图形为中心对称图形是必然事件的数量为3， 故选：A． 3. 分别选取下列图形进行作图，画出来的图形为中心对称图形是不可能事件的数量为（ ） （1）平行四边形；（2）菱形；（3）矩形；（4）梯形；（5）等腰梯形；（6）直角梯形；（7）等腰三角形；（8）等边三角形；（9）直角三角形；（10）等腰直角三角形 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，逐个进行判断即可． 【详解】解：（1）平行四边形是中心对称图形； （2）菱形是中心对称图形； （3）矩形是中心对称图形； （4）梯形不是中心对称图形； （5）等腰梯形不是中心对称图形； （6）直角梯形不是中心对称图形； （7）等腰三角形不是中心对称图形； （8）等边三角形不是中心对称图形； （9）直角三角形不是中心对称图形； （10）等腰直角三角形不是中心对称图形； 综上：不是中心图形的有（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）， ∴画出来的图形为中心对称图形是不可能事件的数量为7， 故选：D． 4. 下列关于函数说法错误的个数为（ ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质等知识点，理解相关定义成为解题的关键． 根据反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质逐个判断即可． 【详解】解：（1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且，说法正确； （2）单曲线不是反比例函数，说法错误； （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数，说法正确； （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定，说法错误； （5）直线是常值函数，常值函数是函数，说法错误； （6）直线不是函数，说法错误． 综上，错误的有4个． 故选：D． 5. 下列关于矩形的说法有误的数量是（ ） （1）矩形的对角线交点到四个顶点的距离相等 （2）矩形的对角线交点到四条边的距离不相等 （3）过矩形对角线交点，向四边作高与四边交点，则四个交点连成的图形是菱形 （4）矩形对角线互相垂直是随机事件，概率为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：（1）矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线交点到四个顶点的距离相等，则（1）正确； （2）矩形对角线的交点到四条边的距离不一定相等，故（2）错误； （3）过矩形对角线交点，向四边作高与四边交点，则四个交点连成的图形是菱形，说法正确； （4）矩形对角线互相垂直是随机事件，但概率小于，故（4）错误． 综上，正确的有2个． 故选：B． 6. 已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】通过外切、内切的性质，列出方程组求解． 【详解】设⊙A的半径为X,⊙B的半径为Y,⊙C的半径为Z. 解得 故选C 【点睛】此题考查相切两圆的性质，解题关键在于列出方程 7. 下列事件为随机事件的个数是（ ） （1）梯形的对角线平分一组对角；（2）平行四边形的对角线平分一组对角；（3）梯形的对角线互相垂直；（4）直角三角形的斜边大于直角边 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查随机事件的定义，根据随机事件的定义对答案逐一分析，即可得到答案。 【详解】解：（1）梯形的对角线平分一组对角，属于必然事件； （2）平行四边形的对角线平分一组对角，属于必然事件； （3）梯形的对角线互相垂直，属于随机事件； （4）直角三角形的斜边大于直角边，属于必然事件。 综上所述只有一个选项符合，所以选A， 故选：A。 二、填空题（本大题共48分） 8. =_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、正切的定义、余弦的定义等知识点，正确构造三角形求出三角函数的值成为解题的关键． 先构造三角形求出和的值，然后求商即可解答． 【详解】解：如图：构造顶角的等腰三角形，则，且,则,， ∴， ∴， 作，设，则, ∵,， ∴， ∴,即，解得：（负值已舍去）， ∴,， ∴； 如图：构造等腰直角三角形，作的角平分线交于D,过D作于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 所以， 故答案为：． 9. 一个正多边形的中心角为，则它的半径与边心距之比和对角线条数与一个外角度数之比的乘积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆、三角函数等知识点，理解三角函数的定义成为解题的关键 先确定多边形为五边形，再和图形运用等腰三角形的性质可得，进而得到半径与边心距之比，再求出对角线条数与一个外角度数之比，最后求积即可． 【详解】解：∵一个正多边形的中心角为， ∴，即该正多边形为正五边形， 如图：∵,， ∴, ∴，半径与边心距之比， ∵正五边形， ∴每一个外角均为 ∵对角线条数为， ∴对角线条数与一个外角度数之比， ∴半径与边心距之比和对角线条数与一个外角度数之比的乘积为． 故答案为：． 10. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为______米． 【答案】120 【解析】 【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度． 【详解】解：由题意可得：tan30°＝==， 解得：BD＝(米)， tan60°＝==， 解得：DC＝(米)， 故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝(米) 故答案为． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 11. 关于x的方程：，有两个相等实数根，则______，有两个不相等实数根，k的取值范围为______，两根之和为______，两根之积为 ______． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系求解作答即可． 【详解】解：∵关于x的方程：有两个相等实数根， ∴， 解得，； ∵关于x的方程：有两个不相等实数根， ∴， 解得，； ∵， ∴两根之和为，两根之积为； 故答案为：，，，． 12. 已知抛物线，当抛物线经过一，二，三象限时，需满足_______，当抛物线经过一，二，四象限时，需满足_______． 【答案】 ①. ，， ②. ，， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线，经过一，二，三象限，可知抛物线开口向上，即；对称轴在轴左侧，即；抛物线交轴正半轴，即；由抛物线，经过一，二，四象限，可知抛物线开口向上，即；对称轴在轴右侧，即；抛物线交轴正半轴，即；求解作答即可． 【详解】解：∵抛物线，经过一，二，三象限， ∴抛物线开口向上，即；对称轴在轴左侧，即；抛物线交轴正半轴，即； ∴当抛物线，经过一，二，三象限时，，，； ∵抛物线，经过一，二，四象限， ∴抛物线开口向上，即；对称轴在轴右侧，即；抛物线交轴正半轴，即； ∴当抛物线，经过一，二，四象限时，，，； 故答案为：，，；，，． 13. 在矩形中，，点O在对角线上，圆O半径为2，若圆O与矩形各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、切线的性质、正弦函数等知识点，确定临界点成为解题的关键． 根据勾股定理得到，如图1，设与边相切于E，连接，如图2，设与边相切于F，连接，分别运用正弦的定义求得临界点时的取值，进而确定取值范围． 【详解】解： ∵在矩形中，， ∴，， ∴， 如图1，设与边相切于E，连接，则， ∵， ∴，解的：； 如图2，设与边相切于F，连接，则， 同上可得：， ∴， ∴如果圆O与矩形的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是． 故答案为：． 14. 在正方形中，E是边中点，将沿直线翻折，点A落在点F处，连接，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题、正方形的性质、勾股定理、正切的定义等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图：由折叠可得，由折叠的性质以及三角形外角性质可得，进而得；如图：过作,则四边形是矩形，设，,则,,运用勾股定理求得，即、,再运用勾股定理求得；过B作于M,利用等腰三角形的性质及勾股定理可得、，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：如图：由折叠可得， ∵正方形中，E是的中点， ∴, ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴, 如图：过作,则四边形是矩形， 设，,则,, ∴,即，解得：， ∴,即, ∴,, ∴, 过B作于M, ∵， ∴, ∴, ∴． 故答案为：3． 15. 在和中，，点M，N分别在边和边上，使得，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键． 由勾股定理可得，设，则，由全等三角形的性质可得，再证，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴, 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即，解得：， 经检验，是方程的解． ∴． 故答案为． 16. 新定义：正n边形最短对角线与最长对角线长度的比值为正n边形的特征值，则n的取值范围为_______，正六边形的特征值为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形对角线的定义、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、余弦的定义等知识点，发现正六边形的最短对角线和最长对角线的关系成为解题的关键． 根据对角线的形成条件可确定n的取值范围，再根据正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、余弦的定义即可求得正六边形的特征值． 【详解】解：由于正多边形存在对角线，则， 如图，正六边形中，对角线交于点O，连接． 易知是正六边形最长的对角线，是正六边形的最短的对角线， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为,． 17. 已知在中，，．将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处．延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于___________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：如图，由旋转的性质知，，， 过作交于， ∴， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为： ． 18. 在矩形中，，E，F分别为边上的动点，连接，，将沿折叠，使得点D的对应点G落在边上，连接，将沿折叠，点B对应点为H，A，H，G三点共线，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，由折叠的性质可知，，，由勾股定理得，，则，证明，则，即，求解作答即可． 【详解】解：如图， ∵矩形，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共78分） 19. 今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 【答案】，； 小器容米数量范围的解集在数轴上表示如下 ： 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意正确列出不等式组成为解题的关键． 设大器容x斛，小器容y斛，由题意得则，再根据可得，当，即时可得、，进而完成解答． 【详解】解：设大器容x斛，小器容y斛，由题意得: , 可得：，即：， ∵ ∴， 当，即时，，即，， ∴，． 20. 中国石化推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，单价优惠0.3元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完，且油价一直不变． （1）某人购买一张加油卡，他实际支付了多少元？ （2）设油的原价为x元/升，优惠后油的单价为y元/升，求y关于x的函数解析式 （3）油的原价是元/升，求：优惠后油的单价比原价少多少元（保留2位有效数字）． 【答案】（1）900元 （2） （3）元 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数乘法应用、一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，理解题意、正确的列出算式和一次函数解析式是解题的关键． （1）根据打九折列出算式计算即可； （2）根据每一升油，油的单价降低元,然后根据题意列出函数关系式即可； （3）当可得，根据优惠后油的单价比原价便宜元，据此计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意知，（元）， 答：实际花了900元购买会员卡． 【小问2详解】 解：由题意知，，整理得． ∴y关于x的函数解析式为． 【小问3详解】 解：当时，， ∵． ∴优惠后油的单价比原价便宜元． 21. 如图，在中，，圆O是的外接圆，的延长线交边于D． （1）当是等腰三角形时，求：的余弦值； （2）当时，求：边的长． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质、三角形外角的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、余弦函数、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，先证明可得，进而得到、，然后再分、、三种情况求解即可； （2）如图：连接并延长交于H，过A作交的延长线于E，则，再说明，即；设， 由勾股定理可得，进而得到，再结合即可解答． 【小问1详解】 解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：，即， ∴的余弦值为； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：，即， ∴的余弦值为； 当时，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，解得：，即， ∴的余弦值为； 当时， ∴，即D和A重合，不符合题意． 综上，的余弦值为或． 【小问2详解】 解：如图：连接并延长交于H，过A作交的延长线于E，则 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 设， 利用勾股定理可得：， ∴，解得：， ∴，即 ∴． 22. 环境保护局统计了2013年世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A，B，C三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得数据整理后绘成如下条形统计图． （1）在A出口被调查游客中，购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的_____，请绘制扇形图，表示A出口被调查游客购买饮料数量以及对应的人数比例．扇形图的优势是_________． （2）小敏认为，由（1）可知，在A出口购买不少于2瓶饮料的游客的质量占全部A出口被调查游客质量的质量分数，也约为购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的百分比，你认为她的说法对吗，请说明理由． （3）已知B，C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表所示，若C出口的被调查人数比B出口的被调查人数多2万，且B，C两个出口的被调查游客在园区内公购买了49万瓶饮料，B出口的被调查游客人数是多少？ 出口 B C 人均购买饮料数量/瓶 3 2 （4）为给配合，参与调查的游客给予一定奖励，环境保护局决定给从B，C出口离开的游客发放可乐和冰红茶，已知可乐的单价为2元，冰红茶的价格为3元，选择要可乐的人比选择冰红茶的人数少1万人，那么环境保护局准备了多少资金来购买可乐和冰红茶？ 【答案】（1） 画出扇形统计图如下： 60，可以更清楚的了解各部分数量同总数之间的关系． （2）她的说法不对， 理由如下：游客的质量与饮料购买没有必然联系． （3）B出口游客人数为9万人． （4）环境保护局准备的资金为万元 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、一元一次方程的应用等知识点，理解条形统计图以及根据题意列出一元一次方程成为解题的关键． （1）先根据条形统计图求得购买不少于2瓶饮料的游客人数的人数，然后画出扇形统计图并标记各个数量所对应的百分比，再根据扇形统计图的特点即可解答； （2）根据游客质量和购买饮料状况是否有关联即可解答； （3）设B出口人数为x万人，则C出口人数为万人．根据B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料列方程求解即可； （4）设选择冰红茶的人数为y万人，则选择可乐的人数为万人，然后列一元一次方程求得人数，最后求出费用即可． 【小问1详解】 解：由图可知，购买不少于2瓶饮料的游客人数为（万人）， 而总人数为：（万人）， 所以购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的． 根据题意画出扇形统计图如下： 因此，扇形统计图的优势：可以更清楚的了解各部分数量同总数之间的关系 故答案为：60，可以更清楚的了解各部分数量同总数之间的关系． 【小问2详解】 解：她的说法不对，理由如下：游客的质量与饮料购买没有必然联系． 【小问3详解】 解：设B出口人数为x万人，则C出口人数为万人． 则有，解得． 答：B出口游客人数为9万人． 【小问4详解】 解：由（3）易得：B出口游客人数为9万人，C出口游客11万人，共20万人． 设选择冰红茶的人数为y万人，则选择可乐的人数为万人． 则有，解得， 所以选择冰红茶的人数为万人，则选择可乐的人数为万人， 所以环境保护局准备的资金为万． 答：环境保护局准备的资金为万元． 23. 如图1，分别是的内角的平分线且，过A作，交延长线于E． （1），求证：A，D，C，E四点共圆； （2）如图2，若，求的余角的正切值； （3）若与相似，请直接写出的正弦值以及其对应的值． 【答案】（1） 设的中点为O，连接，过点E分别作边的垂线，垂足分别为F，G，H， ∵分别是的内角的平分线， ∴是的内角的平分线，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A，D，C，E四点共圆； （2） （3）的正弦值为：或者， 的值为：或者 【解析】 【分析】(1) 设的中点为O，连接，过点E作边的垂线，垂足分别为F，G，H，根据分别是角的平分线，得到是角的平分线，，，，根据垂直定义推出，得到，根据角平分线性质得到，得到，得到平分， ，得到，即得A，D，C，E四点共圆； (2) 延长交于点F，过点D作于点G，则，根据等腰三角形性质和角平分线定义得到，得到，得到，得到，根据角平分线性质推出，设，，根据勾股定理得到，得到，即得； (3) 过点D作，垂足分别为M，N，T，根据角平分线性质和切线长性质得到，设，根据，当时，得到四边形是正方形，，根据，推出，得到,，得到，，由勾股定理得到，得到；当，时，得到，得到，，，得到，得到，根据，由勾股定理得到，即得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交于点F，过点D作于点G，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵，， ∴的余角的正切值为：； 【小问3详解】 过点D作，垂足分别为M，N，T， ∵D为角平分线交点， ∴， 设， ∵与相似，，， ①当时， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， 由(1)知，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当，时， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故的正弦值为：或者， 的值为：或者； 【点睛】本题主要考查了三角形和圆综合，熟练掌握角平分线计算、判断和性质，直角三角形斜边中线性质 ，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内切圆性质，正方形的判定和性质，切线长定理，分类讨论，是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线解析式及点D坐标； （2）点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； （3）如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可． （3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：如图1，设对称轴与轴交于点， 平分， ， 又， ， ， ． 由（1）可知对称轴为直线，则 在中，，． ， ；． ①当时，直线解析式为：， 联立得． 解得：，， 点在对称轴右侧的抛物线上运动， ， ②当时，直线解析式为：， 同理可求：， 综上所述：点的坐标为：或； 【小问3详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， 直线经过，， 直线解析式为， 抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点， 坐标为； ， 设点坐标为，则，， ， ∴与全等，有两种情况， 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 25. 如图，是半圆O的直径，弦，动点P，Q分别在线段上，且，的延长线于射线交于E，与弦交于F（点F与C，D不重合），，，设，面积为y． （1）求证：； （2）求y关于x的函数解析式及其定义域； （3）当是直角三角形时，求的面积． 【答案】（1）证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定及性质等知识，分类讨论是本题的难点． （1）连接，证得后即可证得； （2）作，根据得到，从而得到，利用得当对应边的比相等即可得到函数解析式； （3）分当时、当时，当时三种情况讨论即可得到，再求出的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵延长线与相交于点F， ∴， ∵， ∴即， 当F与D重合时，， ∴x的取值范围为：； 【小问3详解】 解：当时，，（舍）； 当时，； 当时，如图，由（1）知， ∴， ∴， ∵（矛盾）， ∴此种情况不存在， ∴线段的长为8． ∴的面积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $