精品解析：2024年山东省日照市金海岸中学 九年级中考一模数学试题

2023-2024学年下学期 九年级数学阶段性监测 （卷面分值：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 据报道，2023年“十一”假期全国国内旅游出游合计826000000人次．数字826000000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（　　） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9人需要步行；若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人名多少？设有辆车，个人，根据题意，列方程组是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( ) A. 4 B. C. 6 D. 7. 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A. －26 B. －24 C. －15 D. －13 9. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间(包含端点)．下列结论中正确的是（ ） ①不等式的解集为或； ②； ③一元二次方程的两个根分别为，； ④． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 函数有意义，则自变量x的取值范围是___． 12. 已知关于的一元二次方程 ，若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，则 的值为______． 13. 如图，在正方形中，以A为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆，连接，若正方形边长为4，则图中阴影部分的面积为____________. 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 15. 如图，矩形的顶点，分别为反比例函数与，点，在轴上，，分别交轴于点，，则阴影部分的面积为______． 16. 在 中，，平分 ，是上一动点，取中点，连接、，若 ，则周长的最小值是______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 ． 18. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 19. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 20. 我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 21. 如图，中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论． 22. 如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且． （1）求证：BF是的切线； （2）若的直径为4，，求． 23. 综合与实践． （1）提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点O． ①的度数是___________． ②__________． （2）类比探究．如图2，在和中，，且，连接并延长交于点O． ①的度数是___________． ②___________． （3）问题解决．如图3，在等边中，于点D，点E在线段上（不与A重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为的中点，N为的中点． ①试说明为等腰三角形． ②求的度数． 24. 如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． （1）求两点的坐标； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点做轴的垂线，交线段于点，求当线段最长时点的坐标； （3）点为抛物线上的一个动点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年下学期 九年级数学阶段性监测 （卷面分值：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 据报道，2023年“十一”假期全国国内旅游出游合计826000000人次．数字826000000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：826000000； 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，多项式乘多项式，积的乘方，单项式乘单项式，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，计算错误，此选项不符合题意； B、，计算错误，此选项不符合题意； C、，计算错误，此选项不符合题意； D、，计算正确，此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查合并同类项，多项式乘多项式，积的乘方，单项式乘单项式．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 4. 图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2． 故选A． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 5. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9人需要步行；若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人名多少？设有辆车，个人，根据题意，列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设有辆车，个人，根据每辆车都坐2人，则9人需要步行可得方程，根据每辆车都坐3人，则两辆车是空的可得方程，据此建立方程组即可． 【详解】解：设有辆车，个人， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 6. 如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( ) A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BP，通过菱形的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值． 【详解】解：连接BP，如图， ∵菱形ABCD的周长为20， ∴AB=BC=20÷4=5， 又∵菱形ABCD的面积为24， ∴SABC=24÷2=12， 又SABC= SABP+SCBP ∴SABP+SCBP=12， ∴ ， ∵AB=BC， ∴ ∵AB=5， ∴PE+PF=12×=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值． 7. 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形，故①正确； ②， ， ∠AFB＝2∠ACB；故②正确； ③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确， ④四边形是矩形， ， 若AF平分∠BAC，， 则， ， ， ， ， ， ， CF＝2BF．故④正确； 故选B 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 8. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A. －26 B. －24 C. －15 D. －13 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式组的解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据分式方程的增根，确定a≠-2，计算即可． 【详解】∵ ， 解①得解集为，解②得解集为， ∵ 不等式组的解集为， ∴， 解得a＞-11， ∵ 的解是y=，且y≠-1，的解是负整数， ∴a＜1且a≠-2， ∴-11＜a＜1且a≠-2， 故a=-8或a=-5， 故满足条件的整数的值之和是-8-5=-13， 故选D． 【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键． 9. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，于，得到，，设，，根据勾股定理得到，求得，，，于是得到结论． 【详解】解：过作于，于， ，， 斜坡的斜面坡度， ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 10. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间(包含端点)．下列结论中正确的是（ ） ①不等式的解集为或； ②； ③一元二次方程的两个根分别为，； ④． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称轴及点A的坐标可以求出抛物线与x轴的另一交点，结合图象即可求出不等式的解集；利用对称轴 ，可知，进一步可求出；利用韦达定理求出方程根与系数的关系，可知，，进一步可以求出方程的两根；利用，可以推出，其中，再利用可知，利用c的范围可以求出的范围； 【详解】解：∵对称轴，， ∴抛物线交于x轴的另一点坐标为， ∴结合图象可知的解集为或，故①正确； ∵对称轴， ∴，即，故②错误； ∵中根与系数的关系：， 假设方程的根为和， ∴， ∴， 因式分解得： ∴， ∴的两个根分别为，，故③正确； ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，即，故④正确； 综上所述：正确的有①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像问题，韦达定理，要能够结合图象求出不等式解集，找出系数a、b、c之间的关系，求出二元一次方程的根，做该类题的关键是结合图象进行求解． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 函数有意义，则自变量x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件进行求解即可． 【详解】要使在实数范围内有意义， 必须 所以x≥1且， 故答案为：x≥1且． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 已知关于的一元二次方程 ，若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．先利用根与系数的关系得到，再根据，求出的值即可得到答案． 【详解】解：由根与系数的关系得到， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在正方形中，以A为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆，连接，若正方形边长为4，则图中阴影部分的面积为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了求不规则图形的面积，用到了扇形面积公式、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，根据题意得到，即可得到答案. 【详解】解：如图，设半圆与的交点为点E， 取的中点为点O，连接，设以A为圆心，为半径画弧交于点F， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为： 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理将转换到直角三角形中，利用勾股定理求出三角形各边长，即可求得的值． 【详解】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D， 连接AD、BD，根据圆周角定理可得， 每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均 在网格交点上， ， 则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键． 15. 如图，矩形的顶点，分别为反比例函数与，点，在轴上，，分别交轴于点，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．设点，求出的长，根据相似三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：设点， 则， 的纵坐标为， ， ， 的横坐标为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 在 中，，平分 ，是上一动点，取中点，连接、，若 ，则周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．延长交于点，连接，构造，得到周长的最小值是，即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，连接， 平分 ， ，， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点， ， 周长的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简求值，再将数值代入即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 将代入，原式． 18. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 【答案】（1）40人， 补全图形如下： （2）480人； （3） 【解析】 【分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图； （2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论； （3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可. 【详解】（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个， 因此A档共有：12-4=8人， 8÷20%=40人； （2）1200×（人） 答：全校B档的人数为480人， （3）用A表示七年级学生，用B 表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下， 所以P（2名学生来自不同年级）= 【点睛】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． 19. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． （2）购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【解析】 【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解； （2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=． 【小问1详解】 解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得 解得，， ， 答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． 【小问2详解】 解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w, 则，解得，故最小整数解为， ， ∵，则w随m的增大而增大， ∴时，w取最小值，最小值． 答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键． 20. 我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 【答案】古槐的高度约为13米 【解析】 【分析】过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，在Rt△AME中，根据锐角三角函数求出AM=12米，进而求出CN=8米，再在Rt△ENC中，根据锐角三角函数求出EN=32.08米，即可求出答案． 【详解】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N， 由题意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH， 在中，∠EAM=26.6°， ∴， ∴米， ∴BH=AM=12米， ∵BD=20， ∴DH=BDBH=8米， ∴CN=8米， 在中，∠ECN=76°， ∴， ∴米， ∴（米）， 即古槐的高度约为13米． 【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 21. 如图，中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵， ∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA． ∵点E是AC的中点， ∴AE=CE， ∴， ∴； （2）当时，四边形ADCF是菱形． 证明如下：由（1）知，， ∵， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵， ∴是直角三角形． ∵点D是AB的中点， ∴， ∴四边形ADCF是菱形． 【解析】 【分析】（1）由 得∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，结合，可证，根据全等三角形的性质即求解； （2）由，，易得四边形ADCF是平行四边形，若，点D是AB的中点，可得，即得四边形ADCF是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理． 22. 如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且． （1）求证：BF是的切线； （2）若的直径为4，，求． 【答案】（1）证明：如图，连接AE． ∵AB是的直径， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∵AB是的直径， ∴直线BF是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°； （2）过点C作于点H，求得AC、BF的长度，证出，根据相似三角形的性质求得CH、HF的长度，根据求得BH的长度，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点C作于点H． ∵，的直径为4， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴，即． ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点． 23. 综合与实践． （1）提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点O． ①的度数是___________． ②__________． （2）类比探究．如图2，在和中，，且，连接并延长交于点O． ①的度数是___________． ②___________． （3）问题解决．如图3，在等边中，于点D，点E在线段上（不与A重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为的中点，N为的中点． ①试说明为等腰三角形． ②求的度数． 【答案】（1）①．② （2）①．② （3）①连接，延长交于点P，交于点O 在等边中，于点D， 为的中点 又为的中点，N为的中点， 分别是、的中位线 ∵都是等边三角形， ∴ ， 在和中 ， 为等腰三角形； ② 【解析】 【分析】（1）①证明得到，进而证明，即可求出；②由全等三角形的性质可得，则； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到，，进而证明，得到，推出，则；②由相似三角形的性质可得； （3）①连接，延长交于点P，交于点O，证明分别是、的中位线，得到，再证明，得到，则，由此即可证明为等腰三角形；②由全等三角形的性质可得，进而求出，则，再由平行线的性质可得． 【小问1详解】 解：①， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵即， ∴，即 ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵在和中，，且， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①略 ② ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 又，即 ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理等等，正确理解题意通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． （1）求两点的坐标； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点做轴的垂线，交线段于点，求当线段最长时点的坐标； （3）点为抛物线上的一个动点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）当线段最长时点的坐标为； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、解直角三角形，掌握相关性质是解题的关键． （1）把代入抛物线，可求出抛物线为，当，即可求出两点的坐标； （2）先求出直线的解析式为：，设点，则点，可求出，即可求解； （3）过作交抛物线于点，作垂直平分线交轴于点，延长，交抛物线于点，根据函数的性质即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴抛物线， 又∵抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧）， ∴当时，， 整理得：， ∴， 解得：， ∴ 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则点， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴当线段最长时点的坐标为． 【小问3详解】 解：①∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 过作交抛物线于点，如图： ∴点的纵坐标为， 则 解得：，， ∴点， ②由①得，作垂直平分线交轴于点，延长，交抛物线于点，如图： ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得：， ∴， ∴点， 设解析式为且过， ∴， 解得：， ∴直线解析式为 ∴联立， 解得：或， ∴， 综上可知：点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $