精品解析：浙江省宁波市北仑区2023-2024学年下学期九年级中考模拟测试数学试题

北仑区2024年初中学业水平模拟考试数学卷 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共4页，有三个大题，23个小题．满分120分，考试用时120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满；将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域内书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如果把收入2024元记作，那么支出2024元记作（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：收入2024元记作，那么支出2024元记作， 故选：D 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，解答本题的关键是掌握中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 3. 据报道，第19届杭州亚运会的参赛运动员达到12500人，属于历史之最，12500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图所示的几何体是由一个圆锥体和一个圆柱体组成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，底层是一个矩形，上层的中间是一个等腰三角形． 故选：A． 5. 要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手，应关注的统计量是（ ） A. 众数 B. 方差 C. 中位数 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数、方差、中位数及平均数的意义． 根据方差的意义求解即可． 【详解】解：要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手，应关注的统计量是方差， 故选：B． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故选：B 7. 如图，在 中， 是高线， 是中位线，若的长度为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理求出 ，再根据含30度角的直角三角形的性质求出． 【详解】解：是 的中位线， ， 是高线， ， ， ， 故选：A． 8. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马 天可追上慢马，由题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设快马 天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设快马 天可追上慢马，由题意得 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系 中，点、、是抛物线上的三个点，若且，抛物线对称轴为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键． 当时，，由，可知图象开口向上，经过原点，由且，可知，，可作二次函数的图象，根据离对称轴距离越远，函数值越大，列不等式和，求解作答即可． 【详解】解：当时，， ∵， ∴图象开口向上，经过原点， ∵且， ∴，， 如图， ∴， 解得，， ∴， 解得，， ∴， 故选：C． 10. 如图，在 中，，点为 边上的中点，以为顶点作一个的角交 、 边于 、 两点，连结 ，则知道下列哪个条件就可以计算 的周长（ ） A. 的周长 B. 的周长 C. 的周长 D. 的周长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关性质与判定是银题的关键，此题综合性较强，有一定难度，属中考压轴题． 取 中点 ，连结 ，在上截取，连结，先证明，得，根据，得出，从而证得，即，得到，从而可证，得出，进而可证明，得到，即可得出 ，即可得出结论． 【详解】解：取 中点 ，连结 ，在上截取，连结，如图， 由， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ∴， ， ， 由相似可知：，， ， ， ， 即为 周长的一半． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 写一个比大的无理数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的大小比较即可求出答案． 【详解】解：因为3〉2， 所以〉. 故答案为（答案不确定，比大就行） 【点睛】考查实数比较，解题的关键是熟练掌握实数比较大小，本题属于基础题型． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 用提公因式的方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 一个不透明的袋子里装有1个白球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球为黑球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 用黑球的个数除以球的总数即可求得答案． 【详解】解： 袋子中共个球，其中黑球有3个， 从中随机摸出一个球为黑球的概率为， 故答案为：． 14. 如图，正八边形的边长为2，以顶点 为圆心， 的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法是解题的关键．根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故答案为：． 15. 如图， 顶点A落在轴上，斜边上的中线轴于点D、O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点，若的面积为 ，则 的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形中线的性质，面积法，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形的性质是解决问题的关键． 连接 ，依题意得，再根据和 的公共边 上的高相等得，再根据反比例函数比例系数 的几何意义得，据此可得 的值． 【详解】解：连接 ，如下图所示： 在 中，斜边上的中线轴于点 ，的面积为5， ，轴， 和 的公共边 上的高相等， ， 反比例函数经过直角顶点， 根据反比例函数比例系数 的几何意义得：， ， 反比例函数的图象在第一象限， ． 故答案为：10． 16. 如图，边长为6的菱形 中，是 边上的一点，，将四边形沿着 折叠得到四边形，当、 、点在同一条直线上时，______，此时交 边于点 ， 的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，延长 、相交于I，在上截取，连接，以、为邻边作，连接，先证明为等边三角形，得，，再证明，得，然后证明，即可求解． 【详解】解：连接，延长 、相交于I，在上截取，连接，以、为邻边作，连接，如图， ∵菱形 ，， ∴， ∵、 、三点在同一条直线上， ∴； ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 由折叠得：，，， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则 ∴，， ∵ ∴， 由折叠知： ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：． 故答案为：；． 【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．正确作出辅助线，构造平行四边形与等边三角形，相似三角形是解题的关键．此题难度较大，综合性强，属中考压轴题目． 三、解答题（本大题有7小题，共66分） 17. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，单项式乘多项式，平方差公式，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18. 在的方格纸中， 的顶点均在格点上，请按下列要求作图． （1）在图1中，作线段 ，使得，且 在格点上； （2）在图2中，作线段 ，使得 平分 ，且 在格点上． 【答案】（1） 如图1中，线段 即为所求； （2） 如图2中，线段 即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的判定画出图形； （2）取格点E，构造平行四边形，连接 即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ 平分 ． 【点睛】本题考查网格作图，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 19. 5月12日是我国“防灾减灾日”．为增强学生防灾减灾意识，某区举行防灾减灾安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在学校参加竞赛学生的成绩（用 表示）分为四组： 组组组， 组，绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）通过计算补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中 组所对应的圆心角的度数为 ； （3）根据小明学校成绩，估计全区参加竞赛的5000名学生中有多少人的成绩不低于80分？ 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图所示： （2） （3）3500人 【解析】 【分析】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，在本估计总体，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键． （1）先根据组是100人，占小明所在学校参加竞赛学生的，求出小明所在学校参加竞赛学生人数为400人，由此可求出 组的人数为80人，据此可补全频数分布直方图； （2）由 组是40人，求出 组人数占小明所在学校参加竞赛学生人数的百分比，进而可求出 组所对应的圆心角的度数； （3）利用样本估计总体思想即可求解． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可知：组是100人， 由扇形统计图可知：组占小明所在学校参加竞赛学生的， 小明所在学校参加竞赛学生人数为：（人， 组的人数为： 人）； 【小问2详解】 解：由频数分布直方图可知： 组是40人， 组人数占班级人数的百分比为：， 组所对应的圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：（人， 答：估计全区参加竞赛的5000名学生中有3500人的成绩不低于80分． 20. 某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． （1）如图1，求遮阳棚上的 点到墙面的距离； （2）如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线 与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据） 【答案】（1） （2）所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行，理由如下： 如图，延长光线交 于点，延长 交 于点， 可得，，， 在中，，， ， 由题意，四边形是矩形，则， 由可知，， 在中，， 即：， ， ，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点 作于 ，根据代入数据求出的值即可； （2）延长光线交 于点，延长 交 于点，利用勾股定理求得，再根据，求出的长与 比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：作于 ， 在中，， ． 即的 点到墙面的距离为； 【小问2详解】 略 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． （1）求的值； （2）直接写出不等式的解集； （3）过两点分别作 轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线 经过原点． 【答案】（1） （2）或 （3） 证明：由（1）可知，，， 根据题意可得，， 设直线 解析式为，代入、 坐标得： ，解得， 直线 解析式为， 故直线 经过原点． 【解析】 【分析】（1）将 点坐标代入直线解析式可得 ，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得 ； （2）根据函数图象直接写出不等式解集即可； （3）根据题意可得，，待定系数法求出直线 解析式是正比例函数即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求两个函数解析式是关键． 【小问1详解】 解：当 时，一次函数， ， 、两点都在反比例函数图象上． ，即， ． ，． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 根据函数图象可知不等式的解集为：或． 【小问3详解】 略 22. 周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识！通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间与地铁到停止线的距离之间的表格信息： （秒） 0 4 8 12 16 20 24 … S（米） 256 196 144 100 64 36 16 … 当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考： （1）依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法； （2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式； （3）地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间） 【答案】（1） 函数图象如图所示： （2）二次， （3）28秒 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，画函数图象，待定系数法求函数解析式，熟练掌掌握二次函数性质是解题的关键． （1）根据描点，连线，画出函数图象即可求解； （2）观察函数图象即可求解；待定系数法求二次函数解析式即可求解； （3）将代入，解方程即可求出的值，再用即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的二次函数， 设， 将，，代入中， 得：， 解得：， 该函数的表达式为； 【小问3详解】 解：依题意，当时，， 解得：， ， 地铁的停靠时间为28秒． 23. 如图，四边形 是 的内接四边形， ． （1） ； （2）如图2，若半径． ①求证：； ②若，求的值． （3）如图3，过 作于点 ，交 于点，的延长线恰好经过点F，若，，求的长． 【答案】（1） （2） ①证明：连接 ，如图： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴； ② （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，可推导出； （2）①推导出 ，即可证明；②连接 ，连接 延长交 于点 ，证明，可推导出，设，则，，分别求出，，即可得； （3）过点 作交于点，先证明，可得，再证明得，从而证明，设，，则，，由方程组，求出，求出，，，再求，，，可得，根据，求得，即可求． 【小问1详解】 连接，如图： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：①略 ②连接 ，连接 延长交 于点 ，如图： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中， ， ∵， ∴， 在 中， ， ∴； 【小问3详解】 解：过点 作交于点，如图： ， ∵ ， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同（2）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， 在和中，， 解得：， ∴，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的圆心角与圆周角的关系，垂径定理，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北仑区2024年初中学业水平模拟考试数学卷 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共4页，有三个大题，23个小题．满分120分，考试用时120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满；将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域内书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如果把收入2024元记作，那么支出2024元记作（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据报道，第19届杭州亚运会的参赛运动员达到12500人，属于历史之最，12500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由一个圆锥体和一个圆柱体组成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手，应关注的统计量是（ ） A. 众数 B. 方差 C. 中位数 D. 平均数 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中， 是高线， 是中位线，若的长度为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马 天可追上慢马，由题意得（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系 中，点、、是抛物线上的三个点，若且，抛物线对称轴为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在 中，，点为 边上的中点，以为顶点作一个的角交 、 边于 、 两点，连结 ，则知道下列哪个条件就可以计算 的周长（ ） A. 的周长 B. 的周长 C. 的周长 D. 的周长 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 写一个比大的无理数______． 12. 因式分解：______． 13. 一个不透明的袋子里装有1个白球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球为黑球的概率为______． 14. 如图，正八边形的边长为2，以顶点 为圆心， 的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留）． 15. 如图， 顶点A落在轴上，斜边上的中线轴于点D、O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点，若的面积为 ，则 的值为______． 16. 如图，边长为6的菱形 中，是 边上的一点，，将四边形沿着 折叠得到四边形，当、 、点在同一条直线上时，______，此时交 边于点 ， 的长为______． 三、解答题（本大题有7小题，共66分） 17. （1）计算： （2）化简： 18. 在的方格纸中， 的顶点均在格点上，请按下列要求作图． （1）在图1中，作线段 ，使得，且 在格点上； （2）在图2中，作线段 ，使得 平分 ，且 在格点上． 19. 5月12日是我国“防灾减灾日”．为增强学生防灾减灾意识，某区举行防灾减灾安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在学校参加竞赛学生的成绩（用 表示）分为四组： 组组组， 组，绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）通过计算补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中 组所对应的圆心角的度数为 ； （3）根据小明学校成绩，估计全区参加竞赛的5000名学生中有多少人的成绩不低于80分？ 20. 某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． （1）如图1，求遮阳棚上的 点到墙面的距离； （2）如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线 与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据） 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． （1）求的值； （2）直接写出不等式的解集； （3）过两点分别作 轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线 经过原点． 22. 周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识！通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间与地铁到停止线的距离之间的表格信息： （秒） 0 4 8 12 16 20 24 … S（米） 256 196 144 100 64 36 16 … 当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考： （1）依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法； （2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式； （3）地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间） 23. 如图，四边形 是 的内接四边形， ． （1） ； （2）如图2，若半径． ①求证：； ②若，求的值． （3）如图3，过 作于点 ，交 于点，的延长线恰好经过点F，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $