精品解析：2023年广东省中考考前数学热身训练（四）

2023年广东中考数学考前热身（四） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）． A. 2与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 用科学记数法表示数为，这个数原来是（　　） A. 4315 B. 431.5 C. 43.15 D. 4.315 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. ​ C. ​ D. ​ 5. 不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 从拼音“shuxue”中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则∠2的度数为（　　） A. B. C. D. 8 已知a是4的算术平方根，则方程的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 两个相等的实数根 C. 两个不相等的实数根 D. 不能确定 9. 如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是(　　) A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式的结果为__________． 12. 若一个正n边形的每个内角为，则n的值为______． 13. 如果将抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线对应的函数解析式是___． 14. 如图，是等腰直角三角形，以斜边AB的中点D为圆心作半圆，分别与AC、BC相切于点E、F，若，则的长度为________．（结果保留） 15. 如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝8，∠CAB＝60°，P是弧上的一个点，连接AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，在点P移动过程中，BD长的最小值为_____． 三.解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 已知分式：，及一组数据：，，，，．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个你喜欢的数代入求值． 17. 如图，在中，． （1）作AC的垂直平分线ED，交BC于点E，交AC于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）当，时，求周长． 18. 如图，四边形中，为上一点，且，求证：． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为了推动体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中的值为______； （2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？ 20. 某社区计划对面积为区域进行绿化；经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两队来完成；已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天； （1）求甲、乙两队每天能完成绿化的面积； （2）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如果施工总费用不超过10.4万元，那么乙队至少需施工多少天？ 21. 如图，在中，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点D，E，连接．已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点做反比例函数． （1）求出，的值； （2）为线段上的点，将点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； （3）在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 23. 已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点． （1）抛物线的解析式为___________，抛物线的顶点坐标为___________． （2）如图1，是否存在点P，使四边形的面积为9？若存在，请求出点Р的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接交于点，当时，请直接写出点D的坐标； （4）如图3，点E的坐标为，点C为x轴负半轴上的一点，，连接PE，若，请求出点Р的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年广东中考数学考前热身（四） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中，互为相反数一组是（ ）． A. 2与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的概念及性质逐项分析解答即可． 【详解】解：A、2与=2，不互为相反数，故选项错误，不符合题意； B、-2与-=2互为相反数，故选项正确，符合题意； C、与2不互为相反数，故选项错误，不符合题意； D、|-3|=3、=3，,3与3不互为相反数，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数． 2. 用科学记数法表示的数为，这个数原来是（　　） A. 4315 B. 431.5 C. 43.15 D. 4.315 【答案】A 【解析】 【分析】将小数点向右移动3位即可得出原数． 【详解】解：用科学记数法表示的数为，这个数原来是4315， 故选A． 【点睛】本题主要考查科学记数法—原数，科学记数法a×10n表示数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项的运算法则进行逐一计算即可． 【详解】A. 2x与3y不是同类项，不能合并，故本选项错误； B. 应为(−3x2y)3=−27x6y3，故本选项错误； C. ，正确； D. 应为(x−y)3=x3−3x2y+3xy2−y3，故本选项错误. 故选C. 【点睛】此题考查单项式乘单项式，多项式乘多项式，幂的乘方与积的乘方，解题关键在于掌握运算法则. 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判断识别，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合，判断即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：由2−x≥3得：x≤-1， 由得：x＞−5， ∴原不等式组的解集为：−5＜x≤−1． 在数轴上表示为： 故选：A． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键． 6. 从拼音“shuxue”中随机抽取一个字母，抽中字母u概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】拼音“shuxue”中，总共有6个字母，其中字母u的个数为2，根据概率公式求解即可． 【详解】解：拼音“shuxue”中，总共有6个字母，其中字母u的个数为2， 根据概率公式可得，抽中字母u的概率为 故选A 【点睛】此题考查了概率的求解方法，掌握概率的求解方法是解题的关键． 7. 如图，已知，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则∠2的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，对顶角的性质，直角三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．由平行线的性质及对顶角的性质可求解∠5的度数，利用直角三角形的性质及对顶角的性质可求解∠2的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 已知a是4的算术平方根，则方程的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 两个相等的实数根 C. 两个不相等的实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和一元二次方程根的判别式，根据a是4的算术平方根求得的值，代入到，然后利用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：是4的算术平方根， ， 方程化为， ， 所以此方程没有实数根． 故选：A． 9. 如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，根据垂径定理可得AE=BE=3，从而得到CE=1，然后设OE=x，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD， ∴， ∵AC＝4，BC＝2， ∴BA=6， ∴AE=BE=3， ∴CE=1， 设OE=x， ∴， ∵CD⊥OC， ∴， ∴或（舍去）． 故选：C 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 10. 如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分三种情况求出解析式，即可求解． 【详解】解：当0≤t≤1时，， ∴该图象y随x的增大而减小， 当1＜t≤2时，， ∴该图象开口向下， 当2＜t≤3，， ∴该图象开口向下， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，求出分段函数解析式是本题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可解答． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解答此题的关键． 12. 若一个正n边形的每个内角为，则n的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查多边形外角和定理，多边形的外角和是360度，先求出每个外角的度数，根据外角和360度求解即可． 【详解】根据题意有每个外角的度数为：， ， 故答案为：8． 13. 如果将抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线对应的函数解析式是___． 【答案】y=（x-1）2+3 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=（x-1）2； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x-1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=（x-1）2+3， 故答案为：y=（x-1）2+3． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 14. 如图，是等腰直角三角形，以斜边AB的中点D为圆心作半圆，分别与AC、BC相切于点E、F，若，则的长度为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出BC，再根据切线与中位线的性质得到DE的长，利用弧长公式即可求解． 【详解】如图，∵△ABC是等腰直角三角形 ∴BC=AC，BC2+AC2=AB2=16 ∴BC=2 ∵AC、BC是D的切线 ∴DE⊥AC，DF⊥BC，DE=DF ∴四边形DECF是正方形，DEBC，∠EDF=90° ∵D是AB中点 ∴DE是△ABC的中位线 ∴DE== ∴的长度为 故答案为：． 【点睛】此题主要考查弧长的求解，解题的关键是熟知切线的性质、等腰直角三角形的性质、中位线的性质及弧长公式的运用． 15. 如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝8，∠CAB＝60°，P是弧上的一个点，连接AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，在点P移动过程中，BD长的最小值为_____． 【答案】2﹣2 【解析】 【分析】以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC．在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D，利用勾股定理求出BO′即可解决问题． 【详解】解：如图，以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC，O'D， ∵CD⊥AP， ∴∠ADC＝90°， ∴在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∵AB＝8，∠CAB＝60°， ∴BC＝AB•sin60°＝，AC＝AB•cos60°＝4， ∴AO'＝CO'＝2， ∴BO'＝ ∵O′D+BD≥O′B， ∴当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D＝ 故答案为 【点睛】本题主要考查解直角三角形，勾股定理等，找到点D的运动轨迹是解题的关键. 三.解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 已知分式：，及一组数据：，，，，．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】根据平方差公式和分式化简的相关原则化简即可．注意取值时 【详解】解：原式 ， 可取，，． 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简，根据相关的公式和原则，分步化简即可． 17. 如图，在中，． （1）作AC的垂直平分线ED，交BC于点E，交AC于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）当，时，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作DE垂直平分AC； （2）根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，然后利用等线段代换得到△ABE的周长=AB+BC． 【小问1详解】 解：如图，ED为所作； 【小问2详解】 解：∵DE垂直平分AC， ∴EA=EC， ∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+5=8． 【点睛】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 18. 如图，四边形中，为上一点，且，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据，可得，再由等腰三角形的性质得到 ，从而，可证，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在和 中， ∵， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为了推动体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中的值为______； （2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？ 【答案】（1）40人，15 （2）35；36 （3）60双 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，中位数和众数： （1）根据条形统计图可得调查的学生人数；利用34号鞋的学生人数除以总人数可得的值； （2）根据众数和中位数的定义即可得； （3）利用200乘以35号鞋的学生所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次接受随机抽样调查的学生人数为（人）， ， 则， 故答案为：40人，15； 【小问2详解】 解：∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现的次数最多， ∴这组样本数据的众数为35； ∵将这组样本数据按从小到大进行排列后，第20个数和第21个数都是36， ∴这组样本数据的中位数为； 【小问3详解】 （双）， 答：建议购买35号运动鞋60双． 20. 某社区计划对面积为的区域进行绿化；经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两队来完成；已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天； （1）求甲、乙两队每天能完成绿化的面积； （2）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如果施工总费用不超过10.4万元，那么乙队至少需施工多少天？ 【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积为100m2，乙队每天能完成绿化的面积为50m2．（2）乙队至少需施工8天． 【解析】 【分析】（1）设乙队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲队每天能完成绿化的面积为2xm2，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为400m2区域的绿化时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设乙队需施工y天，则甲队需施工天，根据总费用＝甲队每天所需费用×甲队工作时间＋乙队每天所需费用×乙队工作时间结合施工总费用不超过10.4万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2， 根据题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原分式方程的解， ∴2x＝100． 答：甲队每天能完成绿化的面积为100m2，乙队每天能完成绿化的面积为50m2． （2）设乙工程队需施工y天，则甲队需施工天， 根据题意得：0.6×＋0.25y≤10.4， 解得：y≥8． 答：乙队至少需施工8天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 21. 如图，在中，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点D，E，连接．已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，根据，得出，再证明，即可得出结论； （2）根据特殊角的三角函数值得出，在求出，根据，得出，即得出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，切线的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点做反比例函数． （1）求出，的值； （2）为线段上的点，将点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； （3）在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先求得，，设，且，根据平移性质可得，即可求得答案； （3）在轴上存在点，使得，分两种情况：当点D在轴正半轴上时，在轴负半轴上时，分别求得点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：点在直线：上， ， ∴， ∵反比例函数经过点， 则， 解得：； 【小问2详解】 在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∵为线段上的点， 设，且， 将点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点， ∴， 点恰巧在反比例函数上， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当时，， ∴； 【小问3详解】 存在，理由如下， 当点在轴正半轴时，如图，过点作轴交轴于点， 则， 此时点 当点在轴负半轴上时， 如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合问题，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，平移的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 23. 已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点． （1）抛物线解析式为___________，抛物线的顶点坐标为___________． （2）如图1，是否存在点P，使四边形的面积为9？若存在，请求出点Р的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接交于点，当时，请直接写出点D的坐标； （4）如图3，点E的坐标为，点C为x轴负半轴上的一点，，连接PE，若，请求出点Р的坐标． 【答案】（1）；； （2）不存在满足条件的点 （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）设函数的表达式为：，即可求解； （2）利用，即可求解； （3），则，即可求解； （4），，则，故，即可求解． 【小问1详解】 解：设函数的表达式为：， 即：， 解得：． 故抛物线的表达式为：． 顶点坐标为； 故答案是：；； 【小问2详解】 不存在，理由： 如答图1，连接，过点作轴的平行线交于点， 由题意得：， ∴直线的表达式为：， 设点，点， 则， 整理得：， 解得：，故方程无解， 则不存在满足条件的点； 【小问3详解】 ∵， ， 过作于， ， ， ∴ ∴ ∴点； 【小问4详解】 如答图2，设直线交轴于点， ，， ， ， 则直线的表达式为：， 联立方程，得 解得：（舍去正值）， 故点，． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图形的面积计算，掌握函数图像上点的坐标特征，待定系数法是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$