1.3 二次函数的性质 课件 2024--2025学年浙教版九年级数学上册

1.3 二次函数的性质 第1章 二次函数 浙教版 九年级上册 学习目标 学习目标 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律， 掌握函数的最大值（或最小值 ）及函数的增减性的概念，会求二次函数的最值， 并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性. 复习回顾 二次函数y=a(x－m)2 +k(a≠0)的图象是___________，它的对称轴是直线_______，顶点是______________.当a＞0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线上的最___点；当a＜0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线上的最___点. 低 高 一条抛物线 上 下 y=a(x－m)2 +k y x O 【复习1】根据二次函数y=a(x－m)2 +k(a≠0)的图象性质填空： 复习回顾 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是___________，它的对称轴是直线_______，顶点是______________.当a＞0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线上的最___点；当a＜0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线上的最___点. 低 高 一条抛物线     上 下 【复习2】根据二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象性质填空： y=ax2+bx+c y x O 新知探究 【探究1】观察图中二次函数的图象，并填空： （1）对于函数 y = 2x2+4x-6的图象，y随x的增大而先______后_______； （2）对于函数 y = x2 -3x 的图象，y随x的增大而先______后_______. 减小 增大 减小 增大 【归纳1】当a＞0时，y随x的增大而先减小后增大. 新知探究 【探究2】观察图中二次函数的图象，并填空： （1）对于函数 的图象，y随x的增大而先______后_______； （2）对于函数 的图象，y随x的增大而先______后_______. 减小 增大 减小 增大 【归纳2】当a＜0时，y随x的增大而先增大后减小. 新知探究 【探究3】观察图中二次函数的图象，并填空： （1）对于函数 y = 2x2+4x-6的图象， 当________时，y随x的增大而_______. 当________时，y随x的增大而_______. 当________时，y达到最___值_______. （2）对于函数 y = x2 -3x 的图象， 当________时，y随x的增大而_______. 当________时，y随x的增大而_______. 当________时，y达到最___值_______. 减小 【归纳3】若a＞0，则当________时，y随x的增大而减小. 当________时，y随x的增大而增大.当________时，y达到最___值_______. 增大 减小 增大 新知探究 【探究4】观察图中二次函数的图象，并填空： （1）对于函数 的图象， 当________时，y随x的增大而_______. 当________时，y随x的增大而_______. 当________时，y达到最___值_______. （2）对于函数 的图象， 当________时，y随x的增大而_______. 当________时，y随x的增大而_______. 当________时，y达到最___值_______. 减小 【归纳4】若a＜0，则当________时，y随x的增大而减小. 当________时，y随x的增大而增大.当________时，y达到最___值_______. 增大 减小 增大 新知学习 【新知1】二次函数 y = ax2 +bx +c(a≠0) 的性质 条件 图象 增减性 最大(小)值 a＞0 b2 -4ac__0 b2 -4ac__0 b2 -4ac__0     a＜0     当x≤时，y随x的增大而减小； 当x≥时，y随x的增大而增大. 当x时， y达到最小值： ； 无最大值. 当x≤时，y随x的增大而增大； 当x≥时，y随x的增大而减小. 当x时， y达到最大值： ； 无最小值. 例题探究 【例1】已知函数 ． (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象. (2)当自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值. y x 例题探究 解：（1）∵, ∴. 所以函数的顶点坐标是(7，32)，对称轴是直线x=7. 由x=0，得y=，所以图象与y轴的交点是(0，). 由y=0，得， 解得x1= 15，x2=1. 所以图象与x轴的交点是(15，0) ，(1，0). 函数的大致图象如右图. 例题探究 （2）由图象可知， 当x≤7时，y随x的增大而增大； 当x≥7时，y随x的增大而减小. 当x=7时，函数y有最大值32. ⑵记当x1=3.5,x2= , x3= 时对应的函数值分别为y1,y2,y3,试比较y1,y2,y3,的大小? 例题探究 【例2】已知函数y=x2－3x－4. ⑴求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图象； y x 解：（1）∵ y=x2－3x－4 ＝(x－1.5)2－6.25, ∴图象顶点坐标为(1.5, －6.25); 又当y=0时， 得x2－3x－4＝0的解为： x1＝－1，x2＝4. 则与x轴的交点为(－1,0)和(4,0) 与y轴的交点为(0, －4) ⑵ y2＞ y1 ＞ y3 例题探究 【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋16的图象经过点(－2，40)和点(6，－8). (1)分别求a，b的值，并指出二次函数图象的顶点、对称轴； (2)当－2≤ x ≤6时，试求二次函数y的最大值与最小值. 例题探究 (2)由(1)知当x＝5时，y取得最小值－9，在－2≤x≤6中， 当x＝－2时，y取得最大值40， ∴最大值y＝40，最小值y＝－9. 新知探究 【探究】方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系？ y=ax2+bx+c y x O 新知探究 （1）一元二次方程 ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解就是二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的横坐标. y=ax2+bx+c y x O 【新知2】一元二次方程与二次函数的关系 （2）若一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的解为x1和x2，则二次函数 y=ax2+bx+c的表达式可以表示为 y=a(x －x1) (x －x2) (a≠0). 学以致用 D 【1】若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在抛物线y＝－x2＋4x＋c上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y3>y2>y1　　　　 B．y2>y1>y3 C．y3>y1>y2 D．y2>y3>y1 学以致用 【2】已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________． m≥－1 学以致用 【3】已知二次函数y＝(k－2)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是____________． k≤3且k≠2 解：∵二次函数y＝(k－2)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴b2－4ac＝22－4(k－2)＝12－4k≥0.∴k≤3. 又∵k－2≠0，∴k≠2.综上，k≤3且k≠2. 学以致用 【4】已知二次函数y＝ax2－(3a＋1)x＋3(a≠0)，下列说法正确的是(　　) A．点(1，2)在该函数的图象上 B．当a＝1且－1≤x≤3时，0≤y≤8 C．该函数的图象与x轴一定有交点 学以致用 解：当x＝1时，y＝a－(3a＋1)＋3＝2－2a. ∵a≠0，∴2－2a≠2. ∴点(1，2)不在该函数的图象上，故A错误； 当a＝1时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1, 抛物线的顶点坐标为(2，－1)．即当x＝2时，y＝－1<0，故B错误； 令y＝0，则ax2－(3a＋1)x＋3＝0. 学以致用 【答案】C 学以致用 【5】设二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)(a＞0，m，k是实数)，则(　　) A．当k＝2时，函数y的最小值为－a B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a C．当k＝4时，函数y的最小值为－a D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a 学以致用 学以致用 【答案】A ∵a＞0，∴当k＝2时，y有最小值，最小值为－a， 故A正确，B错误； 当k＝4时， 抛物线的对称轴为直线x＝m＋2. 把x＝m＋2代入y＝a(x－m)(x－m－4)，得y＝－4a. ∵a＞0，∴当k＝4时，y有最小值，最小值为－4a， 故C，D错误． 学以致用 【6】已知二次函数y＝－x2＋bx＋C． (1)当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当－1≤ x ≤3时，求y的取值范围． (2)当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 学以致用 解：(1)①当b＝4，c＝3时，y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7， ∴顶点坐标为(2，7)． ②∵顶点坐标为(2，7)，抛物线开口向下， ∴当－1≤x≤2时，y随x的增大而增大， 当2≤x≤3时，y随x的增大而减小，当x＝2时，y有最大值7. 又∵当x＝－1时，y＝－2；当x＝3时，y＝6， ∴当x＝－1时，y取得最小值－2. ∴当－1≤x≤3时，－2≤y≤7. 学以致用 课堂小结 【新知】二次函数 y = ax2 +bx +c(a≠0) 的性质 条件 图象 增减性 最大(小)值 a＞0 b2 -4ac__0 b2 -4ac__0 b2 -4ac__0     a＜0     当x≤时，y随x的增大而减小； 当x≥时，y随x的增大而增大. 当x时， y达到最小值： ； 无最大值. 当x≤时，y随x的增大而增大； 当x≥时，y随x的增大而减小. 当x时， y达到最大值： ； 无最小值. － eq \r(2) eq \r(2) 解：(1)根据题意，将点(－2,40)和点(6，－8)代入y＝ax2＋bx＋16， 得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a－2b＋16＝40，,36a＋6b＋16＝－8，))解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－10，)) ∴二次函数表达式为：y＝x2－10x＋16＝(x－5)2－9， 该二次函数图象的顶点坐标为：(5，－9)，对称轴为x＝5； D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧 ∵[－(3a＋1)]2－4×3a＝9a2－6a＋1＝(3a－1)2≥0， ∴该函数的图象与x轴一定有交点，故C正确； 当a＞0时，抛物线的对称轴为直线x＝＝＋>，∴该函数图象的对称轴一定在直线x＝的右侧， 故D错误． 解：令y＝0，则0＝a(x－m)(x－m－k)， 解得x1＝m，x2＝m＋k， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝. 当k＝2时， 抛物线的对称轴为直线x＝m＋1. 把x＝m＋1代入y＝a(x－m)(x－m－2)， 得y＝－a. （2）∵当x≤0时，y的最大值为2，当x＞0时，y的最大值为3，∴抛物线的对称轴x＝在y轴的右侧．∴b＞0. ∵抛物线开口向下，当x≤0时，y的最大值为2，∴c＝2. 又∵＝3，∴b＝±2. ∵b＞0，∴b＝2.∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋2. $$