精品解析：云南省保山市腾冲市第一中学2023--2024学年高一下学期第三次考试数学试卷

腾冲市第一中学2023—2024学年高一下学期第三次考试数学试卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、单选题 1. 已知集合，集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数函数的定义域，化简集合集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，集合， 所以由交集的定义可得，故选C. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 2. 下列函数是偶函数的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数定义进行判断选择. 【详解】定义域为R，，所以为奇函数； 定义域为R，，所以为偶函数； 定义域为R，，所以为奇函数； 定义域为，所以为非奇非偶函数， 故选：B 【点睛】本题考查判断函数奇偶性性质求参数，考查基本分析判断能力，属基础题. 3. 如图：正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝30°，侧棱AB＝2，BD平行于过点C的截面CB1D1，则截面CB1D1与正三棱锥A﹣BCD侧面交线的周长的最小值为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】把正三棱锥A﹣BCD的侧面展开，则两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值，然后根据已知的数据可求得答案 【详解】把正三棱锥A﹣BCD的侧面展开， 两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值． 正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝30°，所以AC⊥AC′，AB＝2， ∴CC′＝， ∴截面周长最小值是CC′＝． 故选：D． 4. 如图，在中，，，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以有， ， 故选：A 5. 若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论、研究有最小值情况下参数范围. 【详解】由在上递增，且值域为， 由，开口向上且对称轴为， 所以，二次函数在上递减，在上递增， 要使有最小值， 当时，显然不成立； 当时，，则，可得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B 6. 在平面直角坐标系中，已知向量，，，若，则x＝（ ） A. －2 B. －4 C. －3 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】 可由条件先求出，由此可求出，即可根据向量共线的坐标表示求出. 【详解】因为，所以，则． 所以． 因为，所以. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量关系的坐标表示，属于基础题. 7. 已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（　　） A. （2，4） B. （2，5） C. （1，5） D. （1，4） 【答案】A 【解析】 【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点，再根据函数的性质画图，再列式，根据对数函数的不等式解法求解即可 【详解】函数在区间上恰有8个零点，则函数与函数在区间上有8个交点 由知，是R上周期为2的函数，作函数与函数在区间上的图像如下， 由图像知，当时，图像有5个交点，故在上有3个交点即可，则； 故，解得； 故选：A． 8. 如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作，垂足为H，过点F作，交AB于点P，设，用表示，在中，求出的函数关系，可求t的取值范围. 【详解】如图，在平面内过点D作，垂足为H，连接HK．过点F作，交AB于点P． 设，，，所以． 设，则．因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又平面，所以． 又因为，，，平面，所以平面， 平面，所以，即． 在中，，， 因为和都是直角三角形，，， 所以，则有． 因为，所以，，， 所以，，得． 因为，所以． 故选：A. 二、多选题 9. 已知复数为z的共轭复数，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则z为实数 D. 和z在复平面内对应的点关于虚轴对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的相关概念和几何意义，逐项分析判断即可得解. 【详解】∵，∴A正确； 共轭复数的模相等，∴B正确； ，∴C正确. 和z在复平面内对应的点关于实轴对称，∴D错误； 故选：ABC 10. 已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（　 ） A. B. 恒过定点 C. 若时，关于轴对称 D. 若时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据为幂函数，可求得a值，即可判断A的正误；根据幂函数性质，可判断B的正误；当时，根据偶函数的定义及性质，可判断C的正误；根据m的范围，可得范围，根据幂函数的性质，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】因为为幂函数， 所以，解得，故A正确； 则，故恒过定点，故B正确； 当时，，， 所以为偶函数，则关于轴对称，故C正确； 当时，，则在上为增函数， 所以，故D错误. 故选：ABC 11. 在，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则必有两解 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则为锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B； 由已知得，结合正弦函数性质可判断C；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D. 【详解】对于A，由正弦定理可得，，或即，为等腰或直角三角形，故A错误； 对于B，，即，必有两解，故B正确； 对于C，是锐角三角形，，即，由正弦函数性质结合诱导公式得，故C正确； 对于D，利用二倍角的余弦公式知，即，即，，即C为锐角，不能说明为锐角三角形，故D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； 三、填空题 12. 从某果树上随机摘下11个水果，其直径为（单位：，则这组数据的第六十百分位数为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】第六十百分位数的位置为，即取第7位数20， 故第六十百分位数为20. 故答案为：20. 13. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的基本关系式，求得，再结合正切的倍角公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，所以， 所以， 又由，可得，即， 解得， 因为，可得，所以. 故答案为：. 14. 如图，在正四棱台中，，．若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作于点，底面，根据正四棱台的体积求出棱台的高，即可判断四棱台外接球的球心在的延长线上，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，则， 底面，平面，∴． 过作于点，则，∴底面． ∴该正四棱台的体积，∴． 连接，∵， ∴四棱台外接球的球心在的延长线上， 设，则，， ， 由，得，解得， 故，即外接球的半径， ∴外接球表面积为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是求出正四棱台的高，从而确定外接球的球心球心在的延长线上，利用勾股定理求出外接球的半径. 四、解答题 15. 自2022年动工至今，我市的“靓淮河”工程已初具规模．该工程以“一川清､两滩靓､三脉通､十景红”为总体布局，以生态修复与保护为核心理念，最终将促进城市防洪､交通､航运､生态､观光､商业等多种业态协同融合发展．为调查我市居民对“靓淮河”工程的满意程度，随机抽取了200位市民，现拟统计参与调查的市民年龄层次，将这200人按年龄（岁）分为5组，依次为，并得到频率分布直方图如下． （1）求实数的值； （2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）估计这200人年龄的中位数（精确到小数点后1位）． 【答案】（1） （2）41.5岁 （3）42.1岁 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，可求的值； （2）根据频率分布直方图，可直接估算平均数； （3）直接求频率在的数据就可估计中位数. 【小问1详解】 由题意：，解得． 【小问2详解】 由题意：， 估计这200人年龄的样本平均数为41.5岁． 【小问3详解】 由图可知，年龄在的频率为0.25，在的频率为0.35， ， 估计这200人年龄的样本中位数为42.1岁． 16. 设的内角所对的边分别是且向量满足. （1）求A； （2）若，求BC边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行关系得到方程，结合正弦定理得到，求出； （2）由余弦定理得到，根据三角形面积得到方程，求出答案. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又，解得； 【小问2详解】 因为，所以， 即 化简得，解得或(舍去)， 由的面积，又， 故，解得. 17. 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点. （1）求证：直线平面； （2）若正方体棱长为1，过三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积. 【答案】（1）证明：连接，由为的中位线，可得， 由平面平面，可得平面； （2）画图如下： 截面面积为 【解析】 【分析】（1）连接，由线面平行的判定定理结合中位线证明即可； （2）先由几何关系证明截面为平行四边形，再由边长关系得到，然后根据对角线乘积的一般求出面积即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，可得， 取的中点，连接，可得， 可得截面为平行四边形， 且，即平行四边形为菱形， 而， 所以截面的面积为. 18. 已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式，并求在区间上的值域； （2）若，且函数在区间上单调，求a的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，借助对称性求出，再利用正弦函数图象性质求出值域. （2）由（1）求出函数的单调区间，再借助集合的包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 由向量， 则， 由函数的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的周期，则， 于是，当时，， 当，即时，，当，即时，， 所以，在区间上的值域为. 【小问2详解】 由（1）知， 令，解得， 即函数的单调区间为，而函数在区间上单调， 因此，即， 解得，显然，且， 解得，则或，当时，；当时，， 所以实数的取值范围. 19. 已知函数，其中． （1）若，求的值； （2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； （3）令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，求得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据，可得，当且仅当时取等号，进而可求出. 【小问1详解】 函数， 若， 则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 由，解得； 【小问2详解】 ， ， ，所以或， 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有4个零点，要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为； 【小问3详解】 由题意， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取得最大值， 所以，所以， 所以满足条件的的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据，可得，当且仅当时取等号，是解决第三问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市第一中学2023—2024学年高一下学期第三次考试数学试卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、单选题 1. 已知集合，集合，则 A. B. C. D. 2. 下列函数是偶函数的是 A. B. C. D. 3. 如图：正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝30°，侧棱AB＝2，BD平行于过点C的截面CB1D1，则截面CB1D1与正三棱锥A﹣BCD侧面交线的周长的最小值为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 4. 如图，在中，，，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知向量，，，若，则x＝（ ） A. －2 B. －4 C. －3 D. －1 7. 已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（　　） A. （2，4） B. （2，5） C. （1，5） D. （1，4） 8. 如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数为z的共轭复数，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则z为实数 D. 和z在复平面内对应的点关于虚轴对称 10. 已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（　 ） A. B. 恒过定点 C. 若时，关于轴对称 D. 若时， 11. 在，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则必有两解 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题 12. 从某果树上随机摘下11个水果，其直径为（单位：，则这组数据的第六十百分位数为__________. 13. 已知，，则__________. 14. 如图，在正四棱台中，，．若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 四、解答题 15. 自2022年动工至今，我市的“靓淮河”工程已初具规模．该工程以“一川清､两滩靓､三脉通､十景红”为总体布局，以生态修复与保护为核心理念，最终将促进城市防洪､交通､航运､生态､观光､商业等多种业态协同融合发展．为调查我市居民对“靓淮河”工程的满意程度，随机抽取了200位市民，现拟统计参与调查的市民年龄层次，将这200人按年龄（岁）分为5组，依次为，并得到频率分布直方图如下． （1）求实数的值； （2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）估计这200人年龄的中位数（精确到小数点后1位）． 16. 设的内角所对的边分别是且向量满足. （1）求A； （2）若，求BC边上的高. 17. 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点. （1）求证：直线平面； （2）若正方体棱长为1，过三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积. 18. 已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式，并求在区间上的值域； （2）若，且函数在区间上单调，求a的取值范围． 19. 已知函数，其中． （1）若，求的值； （2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； （3）令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $