1.2.2 空间中的平面与空间向量 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.2 空间中的平面与空间向量 学习目标 1.理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.(数学抽象、数学运算) 2.会用直线的方向向量和平面的法向量解决线面、面面的平行与垂直的有关问题.(逻辑推理、直观想象) 3.理解三垂线定理及其逆定理,并会用其解决线面、线线的垂直问题.(逻辑推理、直观想象) 教材认知·内化必备知识 一、平面的法向量 1.平面的法向量 (1)定义:如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个______向量,且表示n的 有向线段所在的直线与平面α______,则称n为平面α的一个法向量.此时也称n 与平面α垂直,记作______. 非零 垂直 n⊥α (2)性质:如果A,B是平面α上的任意不同两点,n为平面α的一个法向量,则: 1 若直线_____,则l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量 2 对任意实数λ≠0,λn也是平面α的一个法向量 3 向量 一定与向量n______,即 ·n=0 l⊥α 垂直 2.空间线面的位置关系与空间向量 若v是直线l的一个方向向量,n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,则: 1 ______ ⇒l⊥α1 2 n1⊥v⇒l∥α1,或_____ 3 n1⊥n2⇒_______ 4 n1∥n2⇒α1∥α2,或α1与α2______ n1∥v l⊂α1 α1⊥α2 重合 点睛　 (1)平面的一个法向量垂直于该平面的所有向量,一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行. (2)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量,因为零向量的方向是任意的,无法用其来描述空间直线与平面的位置. 思考　 求平面法向量的坐标时,为什么只构建两个方程求解? 提示:根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线,它就垂直于该平面内的任意一条直线,因此,法向量的坐标只要满足两个方程就可以了. 注意:平面的法向量有无数个,求解时,只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可. 二、三垂线定理及其逆定理 射影 已知空间中的平面α以及点A,过A作α的______l,设l与α相交于点A', 则A'就是点A在平面α内的射影,也称为投影 三垂线 定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的______ 垂直,则它也和这条斜线垂直 三垂线定理 的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和 这条斜线在该平面内的______垂直 垂线 射影 射影 点睛　 (1) 三垂线定理及其逆定理中,“平面内”这个条件不可省略,否则不一定成立. (2)三垂线定理及其逆定理通常用于判定空间直线互相垂直,在引用时要清楚:一是从条件上看,三垂线定理的条件是“和射影垂直”,其逆定理的条件是“和斜线垂直”;二是从功能上看,三垂线定理用于解决已知共面垂直,证明异面垂直的问题,逆定理正好相反. 【质疑辨析】 (1)已知直线l垂直于平面α,向量a平行直线l,则a是平面α的法向量. (　 　) 提示:向量a必须为非零向量. (2)直线的方向向量与平面的法向量垂直,则直线与平面平行. (　 　) 提示:此时直线可能与平面平行,也可能在平面内. (3)一个平面的法向量垂直于与该平面共面的所有向量. (　 　) × × √ 合作探究·形成关键能力 线面 平行 (1)求出直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,只需证明a⊥u,即a·u=0. (2)在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可 面面 平行 (1)转化为相应的线线平行或线面平行. (2)求出平面α,β的法向量u,v,证明u∥v即可说明α∥β 线面 垂直 求出平面内两条相交直线的方向向量,证明直线的方向向量和它们都垂直 面面 垂直 (1)转化为线面垂直. (2)求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直 类型一　求平面的法向量(数学运算) [例1](1)已知点A(2,-1,2)在平面α内,n=(3,1,2)是平面α的一个法向量,则下列 点P中,在平面α内的是 (　　) A.P(1,-1,1) B.P C.P D.P 【解析】选B.设P(x,y,z), 则=(x-2,y+1,z-2); 由题意知,⊥n,则n·=0; 所以3(x-2)+(y+1)+2(z-2)=0,化简得3x+y+2z=9. 验证得在A中,3×1-1+2×1=4,不满足条件; 在B中,3×1+3+2×=9,满足条件; 同理验证C,D不满足条件. (2)(多选题)(2023·扬州高二检测)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为 正方体,则下列结论中正确的是 (　　) A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(1,0,0) D.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1) 【解析】选ABD.设正方体棱长为a, 则B(a,0,0),B1(a,0,a),C(a,a,0),C1(a,a,a),D(0,a,0),D1(0,a,a), A选项,=(0,0,a)=a(0,0,1),故选项A正确; B选项,=(0,a,a)=a(0,1,1),故选项B正确; C选项,因为平面ABB1A1即为坐标平面xOz,所以与y轴平行的向量均为它的 法向量,故选项C错误; D选项,=(0,a,-a),=(a,0,-a).设平面B1CD1的一个法向量n=(x,y,z),则 , 取y=1,得x=1,z=1, 所以n=(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量,故选项D正确. (3)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中 点,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量. 【解析】因为在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为 PD的中点,AB=AP=1,AD=, 所以以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴, 建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),C(1,,0),D(0,,0),P(0,0,1),E(0,,),=(0,,),=(1,,0), 设平面ACE的一个法向量n=(x,y,z), 则 取y=-,得n=(3,-,3). 所以平面ACE的一个法向量为n=(3,-,3).(答案不唯一) 【总结升华】 　求平面ABC的一个法向量的方法 (1)平面垂线的方向向量法:证明一条直线为一个平面的垂线,则这条直线的一个方向向量即为所求. (2)待定系数法:步骤如下: 【即学即练】 1.(2023·常州高二检测)已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则平面ABC的一个 法向量是__________.  【解析】依题意,得=(-2,-1,3),=(1,-3,2).设平面ABC的一个法向量n=(x,y,z), 则,取y=1,得x=1, z=1,所以n=(1,1,1)是平面ABC的一个 法向量. 答案:(答案不唯一) 2.(2023·南京高二检测)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为 棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求: (1)平面BDD1B1的一个法向量; (2)平面BDEF的一个法向量. 【解析】(1)由题意,可得D,B,A,C,E, 连接AC,因为底面为正方形,所以AC⊥BD, 又因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC,且BD∩DD1=D, 则AC⊥平面BDD1B1, 所以=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.(答案不唯一) (2)由(1)可得,=(2,2,0),=(1,0,2). 设平面BDEF的一个法向量为n=(x,y,z), 则,所以所以 令x=2,得y=-2,z=-1. 所以n=(2,-2,-1)即为平面BDEF的一个法向量.(答案不唯一) 类型二　三垂线定理及其逆定理的应用(逻辑推理、直观想象) [例2]如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,若O,Q分别是△ABC和△PBC 的垂心,求证:OQ⊥平面PBC. 【思路导引】作出辅助线,利用三垂线定理证明. 【证明】如图,连接AO并延长交BC于点E,连接PE. 因为PA⊥平面ABC,AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心), 所以PE⊥BC,所以点Q在PE上. 因为⇒BC⊥平面PAE⇒BC⊥OQ.① 连接BO并延长交AC于点F,则BF⊥AC. 连接BQ并延长交PC于点M,则BM⊥PC. 连接MF.因为PA⊥平面ABC,BF⊥AC, 所以BF⊥PC(三垂线定理). 因为⇒PC⊥平面BMF⇒PC⊥OQ.② 由①②,知OQ⊥平面PBC. 【总结升华】 1.三垂线定理及其逆定理的关系 　　三垂线定理及其逆定理是证明线线垂直、线面垂直的有力工具,应用时要分清定理和逆定理的关系. 2.利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的基本环节 提醒:利用三垂线定理及其逆定理证明垂直的关键是找到平面的垂线、斜线、射影. 【即学即练】 　在四面体PABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求证:PC⊥AB. 【证明】过P作PH⊥平面ABC,连接AH并延长交BC于E, 连接BH并延长交AC于F,PH⊥平面ABC,PA⊥BC,而PA在平面ABC内的射影为AH, 由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH, 同理可证BF⊥AC.则H为△ABC的垂心,连接CH并延长交AB于G, 于是CG⊥AB,而CH是PC在平面ABC的射影,故PC⊥AB. 类型三　利用空间向量证明线面、面面位置关系(逻辑推理) [例3](教材提升·例1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为 棱BB1,CD,AA1的中点.求证: (1)C1M∥平面ADE; (2)平面ADE⊥平面A1D1F. 【思路导引】建立空间直角坐标系,求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解. 【证明】(1)以D为原点,向量,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1. 则D(0,0,0),A(1,0,0),E(1,1,),C1(0,1,1),M(1,0,),=(1,0,0),= (1,1,), =(1,-1,-). 设平面ADE的一个法向量为m=(a,b,c), 则⇒令c=2,得m=(0,-1,2), 因为m·=(0,-1,2)·(1,-1,-)=0+1-1=0,所以⊥m. 又C1M⊄平面ADE,所以C1M∥平面ADE. (2)由D1(0,0,1),A1(1,0,1),F(0,,0), 得=(1,0,0),= (0,,-1), 设平面A1D1F的一个法向量为n=(x,y,z), 则⇒ 令y=2,则n=(0,2,1). 因为m·n=(0,-1,2)·(0,2,1)=0-2+2=0, 所以m⊥n,所以平面ADE⊥平面A1D1F. 【补偿训练】 　　(变条件,变结论)在本例中设D1B1的中点为N,其他条件不变. 试证:EN⊥平面B1AC. 【证明】如本例建系,则E(1,1,), N(,,1),A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0). 所以=(-,-,),=(0,1,1),=(-1,1,0), 因为·=0,·=0, 所以⊥,⊥,即EN⊥AB1,EN⊥AC. 又AB1∩AC=A,所以EN⊥平面B1AC. 【总结升华】 　利用空间向量证明平行、垂直问题的常用思路 提醒:证明直线与平面垂直时也可运用直线的方向向量与平面的法向量平行. 【即学即练】 1.(2023·台州高二检测)若平面α,β的法向量分别为n1=,n2=,则 (　　) A.α∥β B.α⊥β C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确 【解析】选C.由|cos<n1,n2>|=||==,而<n1,n2>∈[0,π], 由所得向量夹角余弦值知,α,β相交但不垂直. 2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E,F分别为线段A1C1,AB,A1A的 中点,A1A=AC=BC,∠ACB=90°.求证: (1)DE∥平面BCC1B1; (2)EF⊥平面B1CE. 【证明】如图,建立空间直角坐标系, 设A1A=AC=BC=2, 则A(2,0,0),C(0,0,0),A1(2,0,2),B1(0,2,2), D(1,0,2),E(1,1,0),F(2,0,1), 所以=(2,0,0),=(0,1,-2),=(1,-1,1),=(0,2,2),=(-1,1,2). (1)显然,是平面BCC1B1的一个法向量, 因为·=0,所以⊥. 因为DE⊄平面BCC1B1, 所以DE∥平面BCC1B1. (2)设平面B1CE的一个法向量为n=(x,y,z),则 令z=-1,则y=1,x=-1,即n=(-1,1,-1),显然∥n,所以EF⊥平面B1CE. 3.(2023·大连高二检测)如图所示,在四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,底面ABCD 为正方形. (1)求证:AB⊥平面PAD; (2)已知AC∩BD=O,在棱PD上是否存在一点E,使PB∥平面ACE?如果存在请 确定点E的位置,并写出证明过程;如果不存在,请说明理由. 【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD, 在正方形ABCD中,AB⊥AD, 因为PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,AB⊄平面PAD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD. (2)存在,理由如下:建立空间直角坐标系如图所示, 设PA=z0,AB=AD=BC=CD=2t, 则E,A,B,C(2t,2t,0),D,P, 所以=,在平面ACE中,=,=, 设平面ACE的一个法向量为n=, 所以,即,解得, 当y=1时,,即n=(-1,1,), 若PB∥平面ACE,则⊥n,所以 ·n=·(-1,1,)=-2t-=0,解得y0=t, 所以E=, 所以当点E为线段PD的中点时,PB∥平面ACE. 【补偿训练】 　　在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形, AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°,AC⊥FB. (1)求证:AC⊥平面FBC; (2)线段ED上是否存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC?证明你的结论. 【解析】(1)因为AB=2BC,∠ABC=60°, 在△ABC中, 由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos 60°=3BC2, 所以AC2+BC2=4BC2=AB2, 所以∠ACB=90°,所以AC⊥BC. 又因为AC⊥FB,FB∩BC=B, 所以AC⊥平面FBC. (2)线段ED上不存在点Q, 使平面EAC⊥平面QBC. 证明如下:因为AC⊥平面FBC,所以AC⊥FC. 因为CD⊥FC,所以FC⊥平面ABCD. 所以CA,CF,CB两两互相垂直,如图,建立空间直角坐标系.在等腰梯形ABCD中, 可得CB=CD. 设BC=1,所以C(0,0,0),A(,0,0), B(0,1,0),D(,-,0),E. 所以=, =(,0,0),=(0,1,0). 设平面EAC的一个法向量为n=(x,y,z), 则所以 取z=1,得n=(0,2,1).假设线段ED上存在点Q, 设Q(0≤t≤1), 所以=. 设平面QBC的一个法向量为m=(a,b,c), 则所以 取c=1,得m=. 要使平面EAC⊥平面QBC,只需m·n=0, 即-t×0+0×2+1×1=0,此方程无解. 所以线段ED上不存在点Q, 使平面EAC⊥平面QBC. $$